In blu abbiamo le curve che si ottengono dall'intersezione del grafico della funzione e i piani
o
. In rosso le rette tangenti alle curve nel punto
che nel grafico è il punto di intersezione delle tangenti.
La derivata parziale rispetto ad x, o y, ci fornisce quindi la variazione istantanea di quota della funzione rispettivamente rispetto alla variabile x e alla variabile y!
Può tornare utile definire l'insieme delle "funzioni di classe C-uno su A" formato da tutte le funzioni definite, continue su A sottoinsieme aperto di
e con derivate parziali prime
e
continue su
. L'introduzione di questa simbologia serve a semplificare gli enunciati dei teoremi, ma che comunque noi non utilizzeremo se non in casi eccezionali.
Una volta definite le derivate parziali, è possibile introdurre un nuovo operatore matematico che possiede una bella interpretazione geometrica: il gradiente di una funzione.
Consideriamo una funzione definita su un insieme aperto di
a valori in
. Supponiamo che la funzione ammetta derivate parziali prime in
.
Si definisce gradiente della funzione nel punto
il vettore che ha per componenti le derivate parziali nel punto considerato, ossia:
E' ovvio che se sappiamo calcolare le derivate parziali prime, sappiamo anche calcolare il vettore gradiente. :) Si può dimostrare che geometricamente il gradiente ci fornisce la direzione per salire di quota seguendo il minor tragitto. Non è chiaro?
Ok, proviamo così, immaginiamo di essere ai piedi di una montagna e di volerla scalare percorrendo il minor percorso possibile (e questo equivale a scegliere il percorso che ci permette di salire più velocemente di quota!!). Benissimo! Non ci resta altro che calcolare il gradiente, esso ci fornirà la direzione da seguire! Per scalare una montagna non abbiamo bisogno solo di attrezzature adeguate ma anche di carta e penna, oppure un calcolatore portatile, fate vobis.
Buona Matematica a tutti!
Tags: definizione di derivate parziali - cos'è il gradiente di una funzione - relazione tra derivate parziali e derivate direzionali - significato geometrico delle derivate parziali.
Ultima modifica: