Derivate parziali

Dopo aver parlato di derivate direzionali, passiamo a trattare il caso delle derivate parziali di una funzione in due variabili. Questa lezione ha un approccio teorico e tratta la definizione e le considerazioni correlate: se ti interessa il metodo per il calcolo delle derivate parziali, ne parliamo della lezione successiva!

In particolare avremo modo di scoprire che le derivate parziali costituiscono un caso particolare delle derivate direzionali. Ma andiamo con ordine...

Cosa sono le derivate parziali

Partiamo dal concetto di derivata parziale del primo ordine. Come sempre prendiamo una funzione definita in un aperto non vuoto $D\subset\mathbb{R}^2$ e un punto $(x_0, y_0)\in D$ diremo che la funzione è derivabile parzialmente rispetto alla variabile x nel punto se esiste finito il limite in una variabile:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h, y_0)-f(x_0, y_0)}{h}$

diremo invece che essa è derivabile parzialmente rispetto ad y nel punto se esiste finito il limite:

$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)= \lim_{k\to 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0, y_0)}{k}$

Tendenzialmente si utilizzano tre simboli per indicare la derivata parziale:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\quad f_{x}(x,y)\quad\partial_x f(x,y)$ indicano la derivata parziale prima rispetto alla variabile x della funzione f;

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\quad f_{y}(x,y)\quad\partial_y f(x,y)$ indicano la derivata parziale prima rispetto alla variabile y della funzione f;

Queste definizioni non vanno dimenticate perché possono tornarvi utili in molti esercizi. D'altro canto non dobbiamo sempre procedere calcolando il limite, ma possiamo rifarci alle tecniche per il calcolo delle derivate che valgono per una funzione di una variabile. Di questo però ne parliamo nella lezione successiva, sappiate comunque che il calcolo non è per nulla complicato.

Esempio sulle derivate parziali con la definizione

Per il momento è interessante vedere un esempio con la definizione. Vogliamo calcolare la derivata rispetto alla variabile x della funzione $f(x,y)= x \sin(x +y)$ nel punto .

Consideriamo i vari termini che compongono il limite

$f(0+h,0)=h \sin(h)\qquad f(0,0)= 0$

di conseguenza

$\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{h \sin(h)}{h}= \lim_{h\to 0}\sin(h)= 0$

Il limite esiste finito, quindi possiamo asserire che $f_{x}(0,0)= 0$

Easy right? E' ovvio che per saper affrontare senza timori questa tipologia d'esercizi è necessario anche ripassare i limiti che tornano ciclicamente a perseguitarci.

Relazione tra derivate parziali e derivate direzionali

Non avete notato qualcosa di strano nelle precedenti definizioni? Ricordando brevemente com'è definita la derivata direzionale lungo una generica direzione $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (x,y)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t v_1, y+t v_2)-f(x,y)}{t}$

Proviamo a prendere come direzione quella rappresentata dal versore $\mathbf{u}=(1,0)$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} (x,y)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t, y)-f(x,y)}{t}$

e anche quella relativa alla direzione $\mathbf{w}=(0,1)$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} (x,y)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x, y+t)-f(x,y)}{t}$

Ohibò! Le derivate parziali rispetto alle variabili x e y sono due particolarissime derivate direzionali, non a caso quelle ottenute considerando come direzioni di derivazione proprio quelle che rappresentano rispettivamente l'asse $(\ (1,0)\ )$ e l'asse $(\ (0,1)\ )$ . Tutto qui.

Interpretazione geometrica della derivata parziale

Geometricamente, la derivata parziale rispetto ad x di una funzione in un punto rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva che si ottiene dall'intersezione del grafico della funzione con il piano , nel punto .

Simmetricamente, la derivata parziale rispetto ad y della funzione nello stesso punto rappresenta sempre la pendenza della retta tangente alla curva che si ottiene, stavolta, dall'intersezione del grafico della funzione con il piano nel punto

Cacchio è troppo complicato a parole, magari un piccolo disegno può essere d'aiuto

Derivate parziali

In blu abbiamo le curve che si ottengono dall'intersezione del grafico della funzione e i piani o . In rosso le rette tangenti alle curve nel punto che nel grafico è il punto di intersezione delle tangenti.

La derivata parziale rispetto ad x, o y, ci fornisce quindi la variazione istantanea di quota della funzione rispettivamente rispetto alla variabile x e alla variabile y!

L'insieme $C^{1}(A)$

Può tornare utile definire l'insieme delle "funzioni di classe C-uno su A" $C^{1}(A)$ formato da tutte le funzioni definite, continue su A sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^2$ e con derivate parziali prime $f_{x}(x,y)$ e $f_{y}(x,y)$ continue su . L'introduzione di questa simbologia serve a semplificare gli enunciati dei teoremi, ma che comunque noi non utilizzeremo se non in casi eccezionali.

Gradiente di una funzione

Una volta definite le derivate parziali, è possibile introdurre un nuovo operatore matematico che possiede una bella interpretazione geometrica: il gradiente di una funzione.

Consideriamo una funzione definita su un insieme aperto di $\mathbb{R}^2$ a valori in $\mathbb{R}$ . Supponiamo che la funzione ammetta derivate parziali prime in $(x,y)\in A$ .

Si definisce gradiente della funzione nel punto il vettore che ha per componenti le derivate parziali nel punto considerato, ossia:

$\nabla f(x,y)= \left(f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)\right)$

E' ovvio che se sappiamo calcolare le derivate parziali prime, sappiamo anche calcolare il vettore gradiente. :) Si può dimostrare che geometricamente il gradiente ci fornisce la direzione per salire di quota seguendo il minor tragitto. Non è chiaro?

Ok, proviamo così, immaginiamo di essere ai piedi di una montagna e di volerla scalare percorrendo il minor percorso possibile (e questo equivale a scegliere il percorso che ci permette di salire più velocemente di quota!!). Benissimo! Non ci resta altro che calcolare il gradiente, esso ci fornirà la direzione da seguire! Per scalare una montagna non abbiamo bisogno solo di attrezzature adeguate ma anche di carta e penna, oppure un calcolatore portatile, fate vobis.

In bocca al lupo a tutti!

Salvatore Zungri

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