Equazioni differenziali di ordine superiore al secondo non omogenee

Continuiamo con le equazioni differenziali di ordine superiore al secondo, e passiamo al caso non omogeneo: in questa lezione tratteremo le equazioni differenziali ordinarie lineari, non omogenee, a coefficienti costanti, di ordine superiore al secondo.

Tali equazioni si presentano nella forma:

$y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)$

con $a_i \in \mathbb{R}, \ \forall i \in \left\{0,1,...k-1\right\}$ e (termine noto) una funzione continua nel suo insieme di definizione.

Risoluzione delle equazioni differenziali lineari non omogenee di ordine superiore al secondo

Vediamo passo passo come procedere per trovare la sua soluzione di un'equazione differenziale del tipo

$y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=0$

(1) Si trova la soluzione dell'equazione omogenea ad essa associata. Indicheremo tale soluzione con .

(2) Si trova una soluzione (detta soluzione particolare) dell'equazione differenziale non omogenea:

$y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)$

che indicheremo con $\bar{y}(t)$ . Individueremo una tale soluzione con il metodo di Lagrange o con il metodo di somiglianza.

IMPORTANTE: se l'equazione differenziale che dobbiamo risolvere è del tipo:

$y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=h_1(t)+h_2(t)$

ovvero il termine noto è la somma algebrica di due (o più) termini, ripeteremo lo stesso ragionamento fatto al punto (2) per i due termini $h_1(t) \ \mbox{e} \ h_2(t)$ trovando due soluzioni particolari: $\bar{y}_1(t) \ \mbox{e} \ \bar{y}_2(t)$ .

La soluzione particolare $\bar{y}(t)$ dell'equazione differenziale di partenza sarà data dalla somma delle due soluzioni particolari:

$\bar{y}(t)=\bar{y}_1(t)+\bar{y}_2(t)$

(3) L'integrale generale dell'equazione di partenza è data da:

$y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)$

(4) Se siamo di fronte ad un problema di Cauchy, arrivati a questo punto andremo a imporre le condizioni iniziali.

Metodo di somiglianza per equazioni non omogenee di ordine superiore al secondo

Se il termine noto della nostra equazione è di tipo particolare, una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata possiamo trovare una soluzione particolare della non omogenea procedendo con il metodo di somiglianza. Niente paura! È solo una generalizzazione del metodo di somiglianza per le equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine - click!

Vediamone quindi un esempio andando a trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale del quarto ordine:

$y^{(4)}(t)-4y''(t)=12t$

Seguiamo passo passo il procedimento appena visto:

(1) Troviamo una soluzione particolare dell'omogenea associata all'equazione differenziale:

$y^{(4)}(t)-4y''(t)=0$

Il polinomio caratteristico ad essa associato è

$P(\lambda)=\lambda^4-4\lambda^2$

che ammette le radici:

$\lambda_1=0$ con molteplicità due; $\lambda_2=-2$ con molteplicità uno; $\lambda_3=2$ con molteplicità uno.

Per quanto visto nella lezione sulle omogenee (lezione precedente), la soluzione ad essa associata sarà:

$y_O(t)=c_1+tc_2+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}$

(2) Cerchiamo ora una soluzione particolare della non omogenea con il metodo di somiglianza (possiamo farlo visto che il termine noto è un polinomio).

$y^{(4)}(t)-4y''(t)=12t$

Il termine noto è del tipo $e^{\lambda t}Q(t)$

con $\lambda=0$ (che coincide con una delle soluzioni del polinomio caratteristico, la quale ha molteplicità 2) e (polinomio di primo grado).

La soluzione particolare $\bar{y}(t)$ sarà allora del tipo:

$\bar{y}(t)=t^2(At+B)=At^3+Bt^2$

Derivando fino all'ordine 4 avremo:

$\bar{y}'(t)=3At^2+2Bt$

$\bar{y}''(t)=6At+2B$

$\bar{y}^{(3)}(t)=6A$

$\bar{y}^{(4)}(t)=0$

Sostituendo nell'equazione di partenza ed uguagliando i coefficienti dei termini con lo stesso grado, verranno fuori i seguenti valori per le costanti A e B:

$A=-\frac{1}{2} \ \mbox{e} \ B=0$ .

La soluzione particolare cercata sarà quindi:

$\bar{y}(t)=At^3+Bt^2=-\frac{1}{2}t^3$

(3) La soluzione della equazione differenziale di partenza sarà:

$y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)=c_1+tc_2+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}-\frac{1}{2}t^3$

Metodo di Lagrange per equazioni non omogenee di ordine superiore al secondo

Vediamo ora come trovare la soluzione particolare della non omogenea con il metodo di Lagrange, noto anche con il nome di metodo del Wronskiano.

La ricerca della soluzione dell'omogenea associata all'equazione differenziale ci fornirà k integrali linearmente indipendenti:

$y_1{(t)}, \ y_2{(t)} \ ..... \ y_{k}(t)$

Cercheremo una soluzione particolare della non omogenea del tipo:

$(\spadesuit) \ \ \bar{y}(t)=\psi_1(t)y_1(t)+\psi_2(t)y_2(t)+.....+\psi_k(t)y_k(t)$

e lo faremo impostando il sistema

$\begin{cases}\psi'_1(t)y_1(t)+\psi'_2(t)y_2(t)+\dots +\psi'_k(t)y_k(t)=0 \\ \\ \psi'_1(t)y'_1(t)+\psi'_2(t)y'_2(t)+\dots +\psi'_k(t)y'_k(t)=0 \\ \\ \psi'_1(t)y''_1(t)+\psi'_2(t)y''_2(t)+\dots +\psi'_k(t)y''_k(t)=0 \\ \\ \dots \\ \\ \psi'_1(t)y^{(k-1)}_1(t)+\psi'_2(t)y^{(k-1)}(t)+\dots+\psi'_k(t)y^{(k-1)}_k(t)=g(t)\end{cases}$

Per ricordare meglio: nella costruzione del sistema lasciamo fisse ad ogni riga le $\psi'_i(t)$ e ad ogni cambio di riga aumentiamo l'ordine di derivazione delle fino all'ordine k-1. Inoltre a destra dell'uguale ci sono sempre zero, tranne nell'ultima riga, dove ci sarà il termine noto dell'equazione differenziale di partenza. In questo modo dovrebbe essere più facile ricordarsi come costruirlo.

Il precedente sistema è un sistema lineare, non omogeneo, di k equazioni nelle k incognite

$\psi'_1(t), \ \psi'_2(t), \ \dots \psi'_k(t)$

che, per come è stato costruito ammette unica soluzione.

Dopo aver trovato le k soluzioni $\psi'_1(t), \ \psi'_2(t), \ \dots \ \psi'_k(t)$ troveremo:

$\psi_1(t)= \int[\psi'_1(t)]dt, \ \ \psi_2(t)=\int[\psi'_2(t)]dt, \ \dots \ \psi_k(t)=\int[\psi'_k(t)]dt$

e lo sostituiremo in $(\spadesuit)$ , ottenendo così la soluzione particolare della non omogenea $\bar{y}(t)$ cercata.

Rivediamo ora lo stesso esempio di prima applicando però, questa volta, il metodo di Lagrange.

$y^{(4)}(t)-4y''(t)=12t$

Abbiamo già trovato l'integrale generale dell'omogenea associata:

$y_O(t)=c_1+tc_2+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}$

ovvero abbiamo i quattro integrali:

$y_1(t)=1, \ y_2(t)=t, \ y_3(t)=e^{2t}, \ y_4(t)=e^{-2t}$

La soluzione particolare sarà allora del tipo:

$\bar{y}(t)=\psi_1(t)y_1(t)+\psi_2(t)y_2(t)+\psi_3(t)y_3(t)+\psi_4(t)y_4(t)$

ovvero

$(\spadesuit) \ \ \bar{y}(t)=\psi_1(t)+\psi_2(t)t+\psi_3(t)e^{2t}+\psi_4(t)e^{-2t}$ .

Impostiamo il sistema per la ricerca della soluzione particolare:

$\begin{cases}\psi'_1(t) \overbrace{1}^{=y_1(t)}+\psi'_2(t)\overbrace{t}^{=y_2(t)}+\psi'_3(t)\overbrace{e^{2t}}^{=y_3(t)}+\psi'_4 \overbrace{e^{-2t}}^{=y_4(t)}=0 \\ \\ \psi'_1(t) \overbrace{0}^{=y_1'(t)}+\psi'_2(t) \overbrace{1}^{=y_2'(t)}+\psi'_3(t) \overbrace{2e^{2t}}^{=y_3'(t)}+\psi'_4(t) \overbrace{(-2e^{-2t})}^{=y_4'(t)}=0 \\ \\ \psi'_1(t) \overbrace{0}^{=y''_1(t)}+\psi'_2(t) \overbrace{0}^{=y''_2(t)}+\psi'_3(t) \overbrace{(4e^{2t})}^{=y''_3(t)}+\psi'_4(t) \overbrace{4e^{-2t}}^{=y''_4(t)}=0 \\ \\ \psi'_1(t) \overbrace{0}^{=y^{(3)}_1(t)}+\psi'_2(t) \overbrace{0}^{=y^{(3)}_2(t)}+\psi'_3(t) \overbrace{(8e^{2t})}^{=y^{(3)}_3(t)}+\psi'_4(t) \overbrace{(-8e^{-2t})}^{=y^{(3)}_4(t)}=\overbrace{12t}^{=g(t)}\end{cases}$

da cui:

$\begin{cases}\psi'_1(t)+t\psi'_2(t)+e^{2t}\psi'_3(t)+e^{-2t}\psi'_4=0 \\ \\ \psi'_2(t)+2e^{2t}\psi'_3(t)-2e^{-2t}\psi'_4(t)=0 \\ \\ 4e^{2t}\psi'_3(t)+4e^{-2t}\psi'_4(t)=0 \\ \\ 8e^{2t}\psi'_3(t)-8e^{-2t}\psi'_4(t)=12t\end{cases}$

Risolviamo rispetto alle incognite $\psi'_1(t), \ \psi'_2(t), \ \psi'_3(t), \ \psi'_4(t)$ ; dopo un bel po' di conti troviamo le soluzioni

$\begin{cases}\psi'_1(t)=3t^2 \\ \\ \psi'_2(t)=-3t \\ \\ \psi'_3(t)=\frac{3t}{4e^{2t}} \\ \\ \psi'_4(t)=-\frac{3t}{4e^{-2t}}\end{cases}$

Passiamo a calcolare gli integrali di ciascuna di esse

$\\ \psi_1(t)= \int[\psi'_1(t)]dt=t^3+k_1\\ \\ \\ \psi_2(t)=\int[\psi'_2(t)]dt=-\frac{3}{2}t^2+k_2\\ \\ \\ \psi_3(t)=\int[\psi'_3(t)]dt=-\frac{3}{16}e^{-2t}\cdot (2t+1)+k_3\\ \\ \\ \psi_4(t)=\int[\psi'_4(t)]dt=-\frac{3}{16}e^{2t}\cdot (2t-1)+k_4$

e sostituiamo le primitive che si ottengono uguagliando a zero le costanti additive in $(\spadesuit)$ . Otterremo così la soluzione particolare della non omogenea

$\bar{y}(t)=-\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}t^3$

L'integrale generale dell'equazione differenziale è quindi

$\\ y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)=c_1+t c_2+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}-\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}t^3=$

che possiamo riscrivere come:

$=c_1+\left(c_2-\frac{3}{4}\right) t+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}-\frac{1}{2}t^3=$

Ribattezzando la costante $c_2-\frac{3}{4}$ con $\bar{c}_2$ , ricaviamo la seguente espressione

$=c_1+\bar{c}_2 t+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}-\frac{1}{2}t^3$

che coincide con l'integrale generale ottenuto con il metodo di somiglianza.

Spero abbiate notato come il metodo di Lagrange, seppur sia sempre applicabile, si porti dietro una mole spropositata di calcoli. Meglio quindi, quando possibile, optare per metodo di somiglianza.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: metodo di Lagrange (metodo del Wronskiano) e di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari non omogenee di ordine superiore al secondo.