Equazioni differenziali di ordine superiore a 2 omogenee

Esauriti i metodi e la teoria relativa alle equazioni del secondo ordine, passiamo a vedere come si risolve un'equazione differenziale di ordine superiore al secondo omogenea, e lineare a coefficienti costanti.

Un'equazione differenziale omogenea, lineare, di ordine k superiore al secondo, a coefficienti costanti, si presenterà nella forma:

y^(k)(t)+a_(k-1)y^(k-1)(t)+a_(k-2)y^(k-2)(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t) = 0

con a_i ∈ R, ∀ i ∈ 0,1,...k-1 e g(t) (termine noto uguale a zero).

Per risolvere questo tipo di equazioni differenziali è strettamente necessario saper risolvere una qualsiasi equazione di grado k nel campo dei numeri complessi C  con k∈ N, k ≥ 2.

Prima di procedere, vediamo qualche premessa sulle radici di un polinomio nel campo complesso:

  • un polinomio di grado k possiede in C esattamente k radici contate con la loro molteplicità;
  • se α+iβ è una radice complessa di un polinomio, allora anche la sua coniugata ovvero α-iβ sarà radice dello stesso polinomio.

Chiarito ciò addentriamoci nel vivo della questione.

Come risolvere un'equazione differenziale omogenea di ordine superiore a 2

Supponiamo di trovarci di fronte ad un'equazione del tipo:

 

y^(k)(t)+a_(k-1)y^(k-1)(t)+a_(k-2)y^(k-2)(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t) = 0

con a_i ∈ R, ∀ i ∈ 0,1,...k-1 e vediamo passo passo come procedere.

(1) Scrivere il polinomio caratteristico (che diremo P(λ)) ad essa associato

 

P(λ) = λ^(k)+a_(k-1)λ^(k-1)+a_(k-2)λ^(k-2)+.....+a_1λ+a_0

 

sostituendo λ al posto di y(t) elevandola ad un esponente pari all'ordine di derivazione.

 

(2) Trovare in C le radici del polinomio caratteristico P(λ), ossia risolvere in C l'equazione

 

(spadesuit) λ^(k)+a_(k-1)λ^(k-1)+a_(k-2)λ^(k-2)+.....+a_1λ+a_0 = 0

Possono presentarsi i seguenti casi:

(2a) (spadesuit) ha esattamente k soluzioni reali distinte tutte con molteplicità 1. Supponiamo che esse siano: λ_1, λ_2, ......λ_k. La soluzione dell'equazione differenziale di partenza è

y(t) = c_1e^(λ_1t)+c_2e^(λ_2t)+....+c_ke^(λ_kt)

con c_1,c_2,...,c_k ∈ R.

(2b) (spadesuit) ha esattamente k soluzioni complesse e reali distinte tutte con molteplicità 1. Supponiamo che esse siano:

λ_1, λ_2, ......λ_r (sono r)   (reali)

μ_1, barμ_1, μ_2, barμ_2 ....... μ_s, barμ_s (sono 2s)   (complesse)

con μ_j = α_j+iβ_j, barμ_j = α_j-iβ_j ∀ j ∈ 1,2,...s tali che r+2s = k (grado equazione).

Le precedenti premesse evidenziano il fatto che la somma del numero delle radici deve coincidere con il grado dell'equazione differenziale, e che nelle radici complesse compaiono anche i coniugati.

La soluzione dell'equazione differenziale di partenza è dunque data da

y(t) = c_1e^(λ_1t)+c_2e^(λ_2t)+....+c_re^(λ_rt) (associate alle radici reali)+

+h_1e^(α_1t)cos(β_1t)+h'_1e^(α_1t)sin(β_1t) (associata a μ_1 e barμ_1)+

+....+h_se^(α_st)cos(β_st)+h'_se^(α_s t)sin(β_st) (associate a μ_s e barμ_s)

con c_1,c_2,...c_r, h_1, h'_1, ..... h_s,h'_s ∈ R.

(2c) (spadesuit) ha esattamente k soluzioni complesse e reali eventualmente multiple. Supponiamo che esse siano:

λ_1, λ_2, ......λ_r   quelle reali

μ_1, barμ_1, μ_2, barμ_2 ....... μ_s, barμ_s   quelle complesse,

con μ_j = α_j+iβ_j e barμ_j = α_j-iβ_j ∀ j ∈ 1,2,...s, e che:

λ_1 con molteplicità m_1

λ_2 con molteplicità m_2

⋮

λ_r con molteplicità m_r

μ_1 e barμ_1 con molteplicità n_1

μ_2 e barμ_2 con molteplicità n_2

⋮

μ_s e barμ_s con molteplicità n_s

Per le premesse viste precedentemente:

m_1+m_2+.....+m_r+2n_1+2n_2+.....+2n_s = k (grado equazione)

Passiamo a costruire la soluzione dell'equazione differenziale di partenza. In generale:

- se λ_0 ∈ R è soluzione di (spadesuit) con molteplicità m allora:

e^(λ_0t), te^(λ_0t), t^2e^(λ_0t)..... t^(m-1)e^(λ_0t) 

sono m soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale associate alla radice λ_0.

- Se μ = α+iβ e barμ = α-iβ sono soluzioni di (spadesuit) con molteplicità n allora:

e^(α t)cos(β t), te^(α t)cos(β t), ....., t^(n-1)e^(α t)cos(β t) (associate a μ)

e

e^(α t)sin(β t), te^(α t)sin(β t), ....., t^(n-1)e^(α t)sin(β t) (associate a barμ)

sono 2n soluzioni soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale associate alle radici μ, barμ. Di conseguenza, in base alla molteplicità di ogni soluzione, si costruisce la soluzione dell'equazione differenziale.

Esempi sulle equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo

A) Risolvere l'equazione differenziale:

y^(3)(t)-5y''(t)+4y'(t) = 0

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, omogenea, a coefficienti costanti, di ordine tre. Scriviamo il polinomio caratteristico ad essa associato

P(λ) = λ^3-5λ^2+4λ

e troviamone le radici in C risolvendo l'equazione di terzo grado:

λ^3-5λ^2+4λ = 0

che ammette come soluzioni: λ_1 = 0, λ_2 = 1, λ_3 = 4 tutte e tre con molteplicità 1. Siamo nel caso (2a).

La soluzione dell'equazione differenziale di partenza sarà allora data da

y(t) = c_1e^(λ_1t)+c_2e^(λ_2t)+c_3e^(λ_3t) = c_1+c_2e^(t)+c_3e^(4t)

B) Si risolva l'equazione differenziale omogenea di ordine superiore al secondo

y^(4)(t)+y''(t) = 0

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, omogenea, a coefficienti costanti, di ordine quattro. Partiamo come al solito dal polinomio caratteristico

P(λ) = λ^4+λ^2

e troviamone le radici in C risolvendo l'equazione di quarto grado

λ^4+λ^2 = 0

che ammette come soluzioni: λ_1 = 0 con molteplicità due, μ_1 = i e barμ_1 = -i con molteplicità uno. Siamo nel caso (2c).

Le soluzioni associate a λ_1 = 0 (che ha molteplicità m=2) sono

e^(λ_1t) = 1 e te^(λ_1t) = t

mentre quella associata a μ = i (ovvero α = 0 e β = 1) è

e^(α t)cos(β t) = cos(t)

La soluzione associata a barμ = -i (ovvero α = 0 e β = 1) è:

e^(α t)sin(β t) = sin(t)

Pertanto la soluzione della nostra equazione differenziale è:

y(t) = c_1+tc_2+c_3cos(t)+c_4sin(t)

Nella prossima lezione vedremo due metodi utili per risolvere le equazioni differenziali a coefficienti costanti, di ordine superiore al secondo e non omogenee.

Buona Matematica a tutti!

Redazione di YouMath

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