Equazioni differenziali di Bernoulli

Tra le possibili tipologie di equazioni differenziali non lineari del primo ordine possiamo incontrare le cosiddette equazioni differenziali di Bernoulli, di cui ci occuperemo in questo articolo.

Per risolvere questo tipo di equazioni differenziali è necessario oltre a saper derivare e integrare conoscere la formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del primo ordine perché, come vedremo fra poco, le equazioni differenziali di Bernoulli si riconducono, con un semplicissimo artificio, ad esse.

Cos'è un'equazione differenziale di Bernoulli

Un'equazione differenziale di Bernoulli si presenta nella forma

$y'(t)=a(t)y(t)+b(t)y^{\alpha}(t)$

con $\alpha \in \mathbb{R} - \left\{0,1\right\}$ . Come mai? Molto semplicemente:

- se $\alpha=0$ abbiamo , che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, di cui conosciamo la formula risolutiva;

- se $\alpha=1$ abbiamo che è anch'essa un'equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea di cui conosciamo la formula risolutiva.

Se doveste avere dubbi al riguardo vi invitiamo a leggere la lezione sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.

Come risolvere le equazioni differenziali di Bernoulli

Per risolvere le equazioni differenziali che si presentano nella forma:

$y'(t)=a(t)y(t)+b(t)y^{\alpha}(t)$

con $\alpha \neq 0;1$ . Vediamo il metodo di risoluzione passo-passo:

(1) Dividere ambo i membri per $y^{\alpha}$ ottenendo

$\frac{y'(t)}{y^{\alpha}(t)}=a(t)\frac{y(t)}{y^{\alpha}(t)}+b(t)$

ossia

$(\spadesuit)\ \ \ \frac{y'(t)}{y^{\alpha}(t)}=a(t)y^{1-\alpha}(t)+b(t)$

(2) Porre $y^{1-\alpha}(t)=z(t)$ .

(3) Derivare entrambi i membri dell'uguaglianza (2), ricavando

$z'(t)=(1-\alpha)y^{-\alpha}(t) y'(t)$

ossia

$z'(t)=(1-\alpha)\frac{y'(t)}{y^{\alpha}(t)}$

per cui

$\frac{y'(t)}{y^{\alpha}(t)}=\frac{z'(t)}{(1-\alpha)}$

(4) Sostituire i risultati ottenuti ai punti (3) e (4) in $(\spadesuit)$ ottenendo:

$\overbrace{\frac{z'(t)}{1-\alpha}}^{=\frac{y'(t)}{y^{\alpha}(t)}}=a(t)\overbrace{z(t)}^{=y^{1-\alpha}(t)}+b(t)$

che è un'equazione differenziale lineare, non omogenea, del primo ordine, di cui conosciamo la formula risolutiva.

(5) Tornare alla variabile ricordandosi dell'imposizione fatta al punto (2), ovvero: $y^{1-\alpha}(t)=z(t)$

Potrebbe sembrare qualcosa di difficile, ma non è così! Con il seguente esempio vi risulterà tutto più chiaro!

Esempio

Risolvere il problema di Cauchy:

$\begin{cases}y'(t)=y(t)-ty^2(t) \\ y(0)=1 \end{cases}$

Siamo di fronte ad un'equazione differenziale di Bernoulli con $\alpha=2$ . Per la risoluzione seguiamo passo passo il procedimento descritto in precedenza

(1) Dividiamo ambo i membri per $y^{2}$ ottenendo:

$\frac{y'(t)}{y^{2}(t)}=\frac{y(t)}{y^{2}(t)}-t$

ossia

$(\diamondsuit)\ \ \ \frac{y'(t)}{y^{2}(t)}=y^{-1}(t)-t$

(2) Poniamo $y^{-1}(t)=z(t)$ .

(3) Deriviamo quest'ultima uguaglianza ottenendo:

$z'(t)=-y^{-2}(t) y'(t)$

ossia

$z'(t)=-\frac{y'(t)}{y^{2}(t)}$

e dunque

$\frac{y'(t)}{y^{2}(t)}=-z(t)$

(4) Sostituire i risultati ottenuti ai punti (3) e (4) in $(\diamondsuit)$ ottenendo:

$\overbrace{-z'(t)}^{=\frac{y'(t)}{y^{2}(t)}}=\overbrace{z(t)}^{=y^{-1}(t)}-t$

Ci siamo così ricondotti a risolvere il problema di Cauchy:

$\begin{cases}z'(t)+z(t)=t \\ z(0)=1 \end{cases}$

che è un PdC definito mediante un'equazione differenziale lineare, del primo ordine, non omogenea, la cui soluzione è data dalla seguente formula risolutiva:

$z(t)=e^{-A(t)}\left[y_{0}+\int_{t_{0}}^{t}[g(s)\cdot e^{A(s)}]ds\right]$

dove $A(s)=\int_{t_{0}}^{t}[a_{0}(s)]ds$

In questo caso

$A(s)=\int_{0}^{t}[1]ds = [s]^{t}_{0}=t$

$z(t)=e^{-t}\left[1+\int_{0}^{t}[s e^{s}]ds\right]=e^{-t}[1+\overbrace{e^t(t-1)+1}^{=\int_{0}^{t}[s e^s]ds}] = e^{-t}+(t-1)+e^{-t}=$

$=2e^{-t}+t-1$

(5) Torniamo alla variabile ricordandoci dell'imposizione fatta al punto (2): $\frac{1}{y(t)}=z(t)$ . Abbiamo finalmente trovato la soluzione!

$y(t)=\frac{1}{z(t)}=\frac{1}{2e^{-t}+t-1}$

Per eventuali dubbi o problemi cerca le risposte alle tue domande con la barra di ricerca di YM: abbiamo risolto migliaia di problemi... E se ancora non bastasse apri una discussione nel Forum!

Alla prossima,

Galois

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