Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Dopo aver esaurito la parte relativa alle equazioni differenziali non lineari, passiamo a quelle lineari e cominciamo dal caso probabilmente più semplice: qui tratteremo le equazioni differenziali lineari del primo ordine.

Quello che stiamo per introdurre inoltre è l'unico tipo di equazione differenziale per cui è data una vera e propria formula risolutiva e proprio per questo motivo l'unica conoscenza di base richiesta per risolverle è saperle riconoscere e saper integrare (su questo non mi soffermo oltre visto che ne abbiamo già parlato in altre lezioni).

Come risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine

Sia

$(\spadesuit)\ \ \ y'(t)+a_{0}(t) y(t)=g(t)$

con $a_{0}, \ g$ funzioni reali di una variabile reale continue nel loro insieme di definizione, ossia:

$\begin{matrix} a_{0} \\ g \end{matrix} : I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} a_{0} \\ g \end{matrix} \in C^{0}(I)$

L'integrale generale (o famiglia delle soluzioni) dell'equazione differenziale $(\spadesuit)$ è data dalla formula

$y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right]$

dove

$A(t):=\int(a_{0}(t))dt$

Se ci dovessimo trovare di fronte ad un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè del tipo:

$\begin{cases} y'(t)+a_{0}(t)\cdot y(t)=g(t) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}$

si può procedere in due modi:

(1) procedere con la formula e alla fine imporre la condizione iniziale.

(2) Utilizzare direttamente la formula risolutiva:

$y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{t_0}^{t}\left(g(s)\cdot e^{A(s)}\right)ds\right]$

con

$A(t):=\int_{t_0}^{t}(a_{0}(s))ds$

(rispetto alla formula precedente abbiamo dovuto cambiare la variabile di integrazione in perché la compare come estremo superiore dell'integrale).

Notiamo un due aspetti molto importanti:

(1) Per poter utilizzare le formule precedenti è fondamentale che l'equazione differenziale sia scritta in questo modo:

$y'(t)+a_{0}(t) y(t)=g(t)$

cioè con termite noto a destra dell'uguale e tutto il resto a sinistra, altrimenti cambiano i segni ed è questo il motivo per cui a volte si trovano formule leggermente diverse.

(2) La formula vale anche per le omogenee! Infatti se dovessimo trovarci di fronte ad un'equazione del tipo

potremmo calcolarne l'integrale generale (o famiglia di soluzioni)

$y(t)=c_1e^{-A(t)}$

con

$A(t):=\int(a_{0}(t))dt$

che pur sembrando diversa è in realtà la stessa formula vista in precedenza, in cui però è scomparso l'integrale in quanto l'integranda è nullo. Vediamo ora qualche esempio...

Esempi di equazioni differenziali lineari del primo ordine

1) Risolvere l'equazione differenziale

Si vede subito che si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. Scriviamola innanzitutto nella forma $(\spadesuit)$ , ovvero

Abbiamo così

Ora possiamo applicare la formula risolutiva

$y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t)\cdot e^{A(t)}\right)dt\right]$

dove

$A(t):=\int(a_{0}(t))dt$

Calcoliamo innanzitutto

$A(t)=\int(-2)dt = -2t+k$

(che in questo caso è ininfluente e quindi possiamo togliere o meglio porre uguale a zero) da cui:

$e^{A(t)}=e^{-2t}$

$e^{-A(t)}=e^{2t}$

ed infine calcoliamo:

$\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt = \int\left(e^{-2t}\right)dt=-\frac{1}{2}e^{-2t}$

pertanto:

$y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right] = e^{2t}\left[c_1-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]=c_1e^{2t}-\frac{1}{2}$

2) Troviamo le soluzioni dell'EDO

$y'(t)+(\cos(t))y(t)=\sin(2t)$ .

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea già scritta in forma $(\spadesuit)$ , con:

$a_{0}(t)=\cos(t)$

$g(t)=\sin(2t)$

Calcoliamo quindi:

$A(t)=\int[\cos(t)]dt = \sin(t)$

da cui:

$e^{A(t)}=e^{\sin(t)}$

$e^{-A(t)}=e^{-\sin(t)}$

infine calcoliamo

$\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt = \int\left(\sin(2t) e^{\sin(t)}\right)dt=2e^{\sin(t)}\left(\sin(t)-1\right)$

pertanto l'integrale generale della nostra equazione differenziale è dato da

$y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right] = e^{-\sin(t)}\left[c_1+2e^{\sin(t)}(\sin(t)-1)\right]=$

$=c_1e^{-\sin(t)}+2(\sin(t)-1)$

3) Risolvere l'equazione differenziale:

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, del primo ordine, omogenea. Le soluzioni sono quindi date da:

$y(t)=c_1e^{-A(t)}$

con

$A(t):=\int(a_{0}(t))dt$

In questo caso abbiamo

dunque

$A(t)=\int(a_0(t))dt = \int (e^t)dt = e^t$

Pertanto le soluzioni sono date da:

$y(t)=c_1e^{-A(t)}=c_1e^{-e^t}$

4) Risolvere il problema di Cauchy:

$\begin{cases} y'(t)+\cos(t)y(t)=e^{-\sin(t)} \\ y(\pi)=\pi \end{cases}$

Si tratta di un PdC formato da un'equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, con:

$a_{0}(t)=\cos(t)$

$g(t)=e^{-\sin(t)}$

Possiamo applicare la formula risolutiva:

$y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{t_0}^{t}\left(g(s)\cdot e^{A(s)}\right)ds\right]$

con

$A(s):=\int_{t_0}^{t}(a_{0}(s))ds$

Calcoliamo

$A(s)=\int_{\pi}^{t}[\cos(s)]ds = \left[\sin(s)\right]_{\pi}^{t}=\sin(t)$

da cui

$e^{A(s)}=e^{\sin(s)}$

ed infine calcoliamo:

$\int_{\pi}^{t}\left(g(s) e^{A(s)}\right)ds = \int_{\pi}^{t}\left(e^{-\sin(s)} e^{\sin(s)}\right)ds=[s]_{\pi}^{t}=t-\pi$

In definitiva l'integrale generale dell'equazione differenziale considerata è dato da

$y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{\pi}^{t}\left(g(s) e^{A(s)}\right)ds\right] = e^{-\sin(t)}\left[\overbrace{\pi}^{=y_0}+t-\pi\right]=te^{-\sin(t)}$

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Alla prossima!

Galois

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