Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Dopo aver esaurito la parte relativa alle equazioni differenziali non lineari, passiamo a quelle lineari e cominciamo dal caso probabilmente più semplice: qui tratteremo le equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Quello che stiamo per introdurre inoltre è l'unico tipo di equazione differenziale per cui è data una vera e propria formula risolutiva e proprio per questo motivo l'unica conoscenza di base richiesta per risolverle è saperle riconoscere e saper integrare (su questo non mi soffermo oltre visto che ne abbiamo già parlato in altre lezioni).
Come risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine
Sia
con funzioni reali di una variabile reale continue nel loro insieme di definizione, ossia:
L'integrale generale (o famiglia delle soluzioni) dell'equazione differenziale è data dalla formula
dove
Se ci dovessimo trovare di fronte ad un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè del tipo:
si può procedere in due modi:
(1) procedere con la formula e alla fine imporre la condizione iniziale.
(2) Utilizzare direttamente la formula risolutiva:
con
(rispetto alla formula precedente abbiamo dovuto cambiare la variabile di integrazione in perché la
compare come estremo superiore dell'integrale).
Notiamo due aspetti molto importanti:
(1) Per poter utilizzare le formule precedenti è fondamentale che l'equazione differenziale sia scritta in questo modo:
cioè con termite noto a destra dell'uguale e tutto il resto a sinistra, altrimenti cambiano i segni ed è questo il motivo per cui a volte si trovano formule leggermente diverse.
(2) La formula vale anche per le omogenee! Infatti se dovessimo trovarci di fronte ad un'equazione del tipo
potremmo calcolarne l'integrale generale (o famiglia di soluzioni)
con
che pur sembrando diversa è in realtà la stessa formula vista in precedenza, in cui però è scomparso l'integrale in quanto l'integranda è nulla. Vediamo ora qualche esempio...
Esempi di equazioni differenziali lineari del primo ordine
1) Risolvere l'equazione differenziale
.
Si vede subito che si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. Scriviamola innanzitutto nella forma , ovvero
Abbiamo così
Ora possiamo applicare la formula risolutiva
dove
Calcoliamo innanzitutto
(che in questo caso è ininfluente e quindi possiamo togliere o meglio porre uguale a zero) da cui:
e
ed infine calcoliamo:
pertanto:
2) Troviamo le soluzioni dell'EDO
.
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea già scritta in forma , con:
Calcoliamo quindi:
da cui:
e
infine calcoliamo
pertanto l'integrale generale della nostra equazione differenziale è dato da
3) Risolvere l'equazione differenziale:
Si tratta di un'equazione differenziale lineare, del primo ordine, omogenea. Le soluzioni sono quindi date da:
con
In questo caso abbiamo
dunque
Pertanto le soluzioni sono date da:
4) Risolvere il problema di Cauchy:
Si tratta di un PdC formato da un'equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, con:
con
Calcoliamo
da cui
ed infine calcoliamo:
In definitiva l'integrale generale dell'equazione differenziale considerata è dato da
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Alla prossima!
Galois
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