Equazioni differenziali lineari del primo ordine

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Dopo aver esaurito la parte relativa alle equazioni differenziali non lineari, passiamo a quelle lineari e cominciamo dal caso probabilmente più semplice: qui tratteremo le equazioni differenziali lineari del primo ordine.

 

Quello che stiamo per introdurre inoltre è l'unico tipo di equazione differenziale per cui è data una vera e propria formula risolutiva e proprio per questo motivo l'unica conoscenza di base richiesta per risolverle è saperle riconoscere e saper integrare (su questo non mi soffermo oltre visto che ne abbiamo già parlato in altre lezioni).

 

Come risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine

 

Sia

 

(spadesuit) y'(t)+a_(0)(t) y(t) = g(t)

 

con a_(0), g funzioni reali di una variabile reale continue nel loro insieme di definizione, ossia:

 

a_(0) ; g : I ⊆ R arrow R, a_(0) ; g ∈ C^(0)(I)

 

L'integrale generale (o famiglia delle soluzioni) dell'equazione differenziale (spadesuit) è data dalla formula

 

y(t) = e^(-A(t))[c_1+∫(g(t) e^(A(t)))dt]

 

dove

 

A(t): = ∫(a_(0)(t))dt

 

Se ci dovessimo trovare di fronte ad un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè del tipo:

 

y'(t)+a_(0)(t)·y(t) = g(t) ; y(t_(0)) = y_(0)

 

si può procedere in due modi:

 

(1) procedere con la formula e alla fine imporre la condizione iniziale.

 

(2) Utilizzare direttamente la formula risolutiva:

 

y(t) = e^(-A(t))[y_0+∫_(t_0)^(t)(g(s)·e^(A(s)))ds]

 

con

 

A(t): = ∫_(t_0)^(t)(a_(0)(s))ds

 

(rispetto alla formula precedente abbiamo dovuto cambiare la variabile di integrazione in s perché la t compare come estremo superiore dell'integrale).

 

 

Notiamo due aspetti molto importanti:

 

 

(1) Per poter utilizzare le formule precedenti è fondamentale che l'equazione differenziale sia scritta in questo modo:

 

y'(t)+a_(0)(t) y(t) = g(t)

 

cioè con termite noto a destra dell'uguale e tutto il resto a sinistra, altrimenti cambiano i segni ed è questo il motivo per cui a volte si trovano formule leggermente diverse.

 

 

(2) La formula vale anche per le omogenee! Infatti se dovessimo trovarci di fronte ad un'equazione del tipo

 

y'+a_0(t) y(t) = 0

 

potremmo calcolarne l'integrale generale (o famiglia di soluzioni)

 

y(t) = c_1e^(-A(t))

 

con

 

A(t): = ∫(a_(0)(t))dt

 

che pur sembrando diversa è in realtà la stessa formula vista in precedenza, in cui però è scomparso l'integrale in quanto l'integranda g(t) è nulla. Vediamo ora qualche esempio...

 

Esempi di equazioni differenziali lineari del primo ordine

 

1) Risolvere l'equazione differenziale 

 

y'(t) = 2y(t)+1.

 

Si vede subito che si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. Scriviamola innanzitutto nella forma (spadesuit), ovvero

 

y'(t)-2y(t) = 1

 

Abbiamo così

 

a_0(t) = -2

 

g(t) = 1

 

Ora possiamo applicare la formula risolutiva

 

y(t) = e^(-A(t))[c_1+∫(g(t)·e^(A(t)))dt]

 

dove

 

A(t): = ∫(a_(0)(t))dt

 

Calcoliamo innanzitutto

 

A(t) = ∫(-2)dt = -2t+k

 

(che in questo caso è ininfluente e quindi possiamo togliere o meglio porre uguale a zero) da cui:

 

e^(A(t)) = e^(-2t)

 

e

 

e^(-A(t)) = e^(2t)

 

ed infine calcoliamo:

 

∫(g(t) e^(A(t)))dt = ∫(e^(-2t))dt = -(1)/(2)e^(-2t)

 

pertanto:

 

y(t) = e^(-A(t))[c_1+∫(g(t) e^(A(t)))dt] = e^(2t)[c_1-(1)/(2)e^(-2t)] = c_1e^(2t)-(1)/(2)

 

 

 

 

2) Troviamo le soluzioni dell'EDO

 

y'(t)+(cos(t))y(t) = sin(2t).

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea già scritta in forma (spadesuit), con:

 

a_(0)(t) = cos(t)

 

g(t) = sin(2t)

 

Calcoliamo quindi:

 

A(t) = ∫[cos(t)]dt = sin(t)

 

da cui:

 

e^(A(t)) = e^(sin(t))

 

e

 

e^(-A(t)) = e^(-sin(t))

 

infine calcoliamo

 

∫(g(t) e^(A(t)))dt = ∫(sin(2t) e^(sin(t)))dt = 2e^(sin(t))(sin(t)-1)

 

pertanto l'integrale generale della nostra equazione differenziale è dato da

 

y(t) = e^(-A(t))[c_1+∫(g(t) e^(A(t)))dt] = e^(-sin(t))[c_1+2e^(sin(t))(sin(t)-1)] =

 

= c_1e^(-sin(t))+2(sin(t)-1)

 

 

 

 

3) Risolvere l'equazione differenziale:

 

y'(t)+e^ty(t) = 0

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, del primo ordine, omogenea. Le soluzioni sono quindi date da:

 

y(t) = c_1e^(-A(t))

 

con

 

A(t): = ∫(a_(0)(t))dt

 

In questo caso abbiamo

 

a_0(t) = e^t

 

dunque

 

A(t) = ∫(a_0(t))dt = ∫ (e^t)dt = e^t

 

Pertanto le soluzioni sono date da:

 

y(t) = c_1e^(-A(t)) = c_1e^(-e^t)

 

 

 

 

4) Risolvere il problema di Cauchy:

 

y'(t)+cos(t)y(t) = e^(-sin(t)) ; y(π) = π

 

Si tratta di un PdC formato da un'equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, con:

 

a_(0)(t) = cos(t)

 

g(t) = e^(-sin(t))

 

Possiamo applicare la formula risolutiva:

 

y(t) = e^(-A(t))[y_0+∫_(t_0)^(t)(g(s)·e^(A(s)))ds]

 

con

 

A(s): = ∫_(t_0)^(t)(a_(0)(s))ds

 

Calcoliamo

 

A(s) = ∫_(π)^(t)[cos(s)]ds = [sin(s)]_(π)^(t) = sin(t)

 

da cui

 

e^(A(s)) = e^(sin(s))

 

ed infine calcoliamo:

 

∫_(π)^(t)(g(s) e^(A(s)))ds = ∫_(π)^(t)(e^(-sin(s)) e^(sin(s)))ds = [s]_(π)^(t) = t-π

 

In definitiva l'integrale generale dell'equazione differenziale considerata è dato da

 

y(t) = e^(-A(t))[y_0+∫_(π)^(t)(g(s) e^(A(s)))ds] = e^(-sin(t))[π (= y_0)+t-π] = te^(-sin(t))

 

 

 

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Alla prossima!

Galois

 

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