Equazioni differenziali non lineari del tipo y''(t)=f(y(t))

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A dir la verità le equazioni differenziali che presentiamo in questa lezione si affrontano raramente nei corsi di Analisi II: stiamo parlando delle equazioni differenziali non lineari del secondo ordine risolubili per sostituzione. Pur essendo rare potrebbe essere per voi un ottimo esercizio provare a risolverle.

Per affrontare tali equazioni differenziali nel migliore dei modi oltre a saper derivare e integrare è necessario conoscere il giusto metodo risolutivo per le equazioni differenziali a variabili separabili, di cui abbiamo abbondantemente parlato sia nella lezione dedicata ad esse sia in altre.

Equazioni differenziali non lineari del secondo ordine per sostituzione

Abbiamo già accennato al fatto che le equazioni che stiamo trattando sono non lineari del secondo ordine, e in particolare sono quelle che in forma normale si presentano come

$(\spadesuit)\ \ \ y''(t)=f(y(t))$

ossia mancano i termini e . Per la risoluzione di questo tipo di equazioni differenziali si procede come segue:

Moltiplichiamo entrambi i termini per ottenendo:

Moltiplichiamo e dividiamo la quantità a sinistra dell'uguale per (presto capirete perché)

$\frac{1}{2} (2 y'(t) y''(t))=f(y(t)) y'(t)$

ora

$2y'(t) y''(t)=\frac{d}{dt}[(y'(t))^2]$

Sostituiamolo nell'espressione precedente:

$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}[(y'(t))^2]=f(y(t)) y'(t)$

da cui

$\frac{d}{dt}[(y'(t))^2]=2 f(y(t)) y'(t)$

e dunque

$(y'(t))^2=2\int{[f(y(t)) y'(t)]}dt$ .

Infine, poiché

sostituendo nell'ultima espressione abbiamo

$(y'(t))^2=2\int{f(y(t))}dy = 2F(y(t))$

dove è una primitiva di , e quindi ci siamo ricondotti ad un'equazione differenziale del primo ordine non lineare

$y'(t)=\sqrt{2 F(y)}$

che però è a variabili separabili!

Esempio

Cerchiamo di risolvere l'equazione differenziale

Si vede subito che si tratta di un'equazione differenziale non lineare (c'è un 2 come esponente), del secondo ordine, del tipo $(\spadesuit)$ . Seguiamo il procedimento esposto poc'anzi.

Moltiplichiamo entrambi i termini per e otteniamo

Moltiplichiamo e dividiamo la quantità a sinistra dell'uguale per

$\frac{1}{2} \overbrace{(2\cdot y'(t) y''(t))}^{=\frac{d}{dt}[y'(t)]^2}=y^2(t) y'(t)$

ossia

$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}[(y'(t))^2]=y^2(t) y'(t)$

$\frac{d}{dt}[(y'(t))^2]=2 (y^2(t)) y'(t)$

da cui

$(y'(t))^2=2\int[(y^2(t)) \overbrace{y'(t)]dt}^{=dy}=2\int(y^2(t))dy=\frac{2}{3}y^3(t)+k$

$y'(t)=\sqrt{\frac{2}{3}y^3(t)+k}, \ k\in \mathbb{R}$

che è un'equazione differenziale non lineare, del primo ordine a variabili separabili che lascio a voi proprio per incoraggiarvi a fare un po' di pratica: e se doveste aver problemi, sappiate che trovate tutto quello che serve sapere nell'apposita lezione!

Abbiamo terminato la parte sui metodi di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie non lineari. Dalla prossima inizieremo a trattare le equazioni differenziali ordinarie lineari!

Alla prossima!

Giuseppe Carichino (Galois)

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