Equazioni differenziali esatte

In questa lezione tratteremo le equazioni differenziali esatte, un particolare di equazioni differenziali ordinarie non lineari del primo ordine, e mostreremo come procedere nella risoluzione di tali equazioni. Come al solito, vedremo insieme perché esse prendono questo nome.

 

Per risolvere le equazioni differenziali esatte, oltre a saper derivare e a saper calcolare i vari tipi di integrali indefiniti, è strettamente necessario conoscere un po' di teoria sulle forme differenziali chiuse e esatte. In particolare bisogna saper individuare una forma esatta e in tal caso essere in grado di trovarne un potenziale (non abbiate paura! In questa lezione, anche se non entreremo troppo nel dettaglio, cercheremo di farvi vedere e capire tutto).

 

Cosa sono le equazioni differenziali esatte?

 

Come abbiamo già detto le equazioni differenziali esatte sono equazioni differenziali non lineari, del primo ordine, che in forma normale si presentano in questo modo:

 

(\spadesuit)\ \ \ y'(x)=-\frac{a(x,y(x))}{b(x,y(x)}

 

Le soluzioni di questo tipo di equazioni differenziali si possono ottenere studiando la forma differenziale

 

\omega(x,y)=a(x,y)dx + b(x,y)dy

 

Prima di procedere vorremmo farvi notare due aspetti preliminari: innanzitutto nella forma normale (\spadesuit) è presente un segno meno a destra dell'uguale. Attenzione: quel meno ci deve essere! Se così non fosse dovremmo metterlo in evidenza cambiando il segno del numeratore.

 

Poi avrete visto che ho sottolineato che le soluzioni si possono ottenere. Come mai? Perché questo metodo si può utilizzare a patto che la forma differenziale associata all'equazione differenziale (\spadesuit) sia esatta (almeno localmente). Se così non fosse l'equazione differenziale che abbiamo di fronte non sarebbe esatta: ecco svelato il mistero del nome.

 

Torniamo a noi. Avendo di fronte un'equazione differenziale esatta del tipo (\spadesuit) si scrive la forma differenziale ad essa associata:

 

\omega(x,y)=a(x,y)dx + b(x,y)dy

 

e si verifica che essa sia esatta in modo da essere sicuri dell'esistenza di una sua primitiva. Chiamiamo la primitiva F(x,y): dopo averla determinata, le soluzioni dell'equazione differenziale (\spadesuit) saranno date da

 

F(x,y)=c

 

al variare di c in \mathbb{R}. Nel caso fosse possibile, e se non fosse troppo difficile, potremmo a questo punto scrivere le soluzioni in forma esplicita.

 

Esempi di equazioni differenziali esatte

 

Partiamo da un semplice esempio (1): vogliamo risolvere l'equazione differenziale:

 

y'(x)=\frac{e^{2x}-xy^2(x)}{x^2y(x)}.

 

Si vede subito che essa è quasi del tipo (\spadesuit); quasi perché manca un segno meno a destra dell'uguale. Provvediamo subito...raccogliamo un meno a numeratore e otteniamo:

 

y'(x)=-\frac{xy^2(x)-e^{2x}}{x^2y(x)}

 

Ottimo, ci siamo ricondotti alla forma (\spadesuit). Cerchiamo di stabilire se l'equazione differenziale è esatta; a tal proposito dobbiamo stabilire se la forma differenziale ad essa associata è esatta o meno

 

\omega(x,y)= (xy^2-e^{2x})dx + (x^2y) dy

 

ricordiamoci che una forma differenziale è esatta se è chiusa e se è definita su un aperto semplicemente connesso. Inoltre si dice chiusa se e solo se (per definizione):

 

\frac{\partial}{\partial y}[a(x,y)] = \frac{\partial}{\partial x}[b(x,y)]

 

Nel nostro caso la forma differenziale è definita su tutto \mathbb{R}^2, che è ovviamente semplicemente connesso. Inoltre è chiusa, infatti:

 

\frac{\partial}{\partial y}[xy^2-e^{2x}] = 2xy = \frac{\partial}{\partial x}[x^2y]

 

Pertanto è esatta! Determiniamone una primitiva:

 

\int{(x^2y)}dy = x^2 \int{(y)}dy = \frac{1}{2}x^2y^2+g(x)

 

\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{1}{2}x^2y^2+g(x)\right] = xy^2-e^{2x}

 

xy^2+g'(x)=xy^2-e^{2x}

 

g'(x)=-e^{2x}

 

g(x)=-\frac{1}{2}e^{2x}

 

Di conseguenza una primitiva della forma differenziale è data da

 

F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{1}{2}e^{2x}

 

e le soluzioni dell'equazione differenziale sono date da:

 

\frac{1}{2}x^2y^2(x) - \frac{1}{2}e^{2x}=c, \ c\in \mathbb{R}

 

Nulla ci vieta di scrivere le soluzioni in forma esplicita

 

y^2(x)=\frac{c+\frac{1}{2}e^{2x}}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{2c+e^{2x}}{x^2}

 

da cui

 

y(x)=\pm \sqrt{\frac{k+e^{2x}}{x^2}}

 

con k=2c, \ k\in \mathbb{R}. 

 

 

2) Esempio semplice ma molto significativo!

 

Vogliamo calcolare, se esiste, la soluzione del problema di Cauchy

 

\begin{cases} y'(x)=-\frac{x+2y(x)}{2x+y(x)} \\ y(0)=1 \end{cases}

 

Consideriamo l'equazione differenziale

 

y'(x)=-\frac{x+2y(x)}{2x+y(x)}

 

A prima vista siamo indotti a