Esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy
Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto il concetto di problema di Cauchy; lo scopo di questo articolo, diviso in due parti, sarà quello di fornire dei teoremi per l'esistenza e l'unicità delle soluzioni di un problema di Cauchy, locale e globale.
Rivediamo brevemente cos'è un problema di Cauchy.
Fissati in modo tale che
, dove
,
il relativo problema di Cauchy si scrive nella forma
In questa lezione proporremo condizioni sufficienti per:
- l'esistenza locale delle soluzioni (detta anche esistenza in piccolo), cioè in un intorno del punto del problema di Cauchy
- l'esistenza globale delle soluzioni (detta anche esistenza in grande), cioè in un intervallo assegnato a priori.
Esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy
Siano
, con
aperto di
;
;
un compatto contenuto in
,
dove per definizione di intorno in abbiamo
e il trattino alto indica la sua chiusura, ovvero:
Supponiamo inoltre che
sia continua in
sia localmente Lipschitziana rispetto a
, uniformemente rispetto a
, ossia:
allora esiste ed esiste un'unica funzione
tale da essere soluzione del problema di Cauchy
Inoltre .
Il teorema appena enunciato garantisce l'esistenza e l'unicità di una soluzione del problema di Cauchy in piccolo, ovvero definita in un intorno del punto
che, in generale, è un sottoinsieme proprio dell'intervallo
del teorema.
Ecco un grafico intuitivo a puro titolo esemplificativo:
Molto spesso la verifica diretta delle ipotesi del teorema può risultare ostica, ed in particolare la verifica dell'ipotesi per la lipschitzianità di rispetto alla variabile
. A tal proposito possiamo servirci del seguente risultato.
Corollario del teorema di esistenza e unicità locale
Siano
, con
aperto di
;
;
un compatto contenuto in
ciò premesso, se
è continua in
;
le derivate parziali di
rispetto alle variabili
sono continue in
e quindi in
;
allora esiste ed esiste un'unica funzione
tale da risolvere il problema di Cauchy
Inoltre .
Osservazione
Il teorema e corollario sono formalmente identici, l'unica differenza, a prima vista, è l'ultima ipotesi. In realtà la suddetta del corollario è semplicemente una condizione (sufficiente) che assicura la lipschitzianità locale di rispetto alla variabile
.
Con questo cosa vogliamo dire?
Sostanzialmente, per dimostrare l'esistenza di un'unica soluzione locale di un problema di Cauchy del tipo occorre dimostrare che la funzione
sia continua e localmente lipschitziana. Se poi si riesce a dimostrare direttamente la lipschitzianità (utilizzando la definizione) ben venga, altrimenti si ricorre allo studio della continuità della derivate parziali. :)
Domanda
Cosa accade se la la funzione è continua in
ma non è localmente lipschitziana rispetto a
? Una risposta ci è data dal seguente teorema.
Teorema di Peano
Siano
, con
aperto di
;
un compatto contenuto in
;
se
è continua in
,
allora esiste ed esiste una funzione
tale da risolvere il problema di Cauchy
.
Inoltre è derivabile in
.
In soldoni, tralasciando l'ipotesi di Lipschitzianità, si potrebbe perdere l'unicità della soluzione locale!
Perché si potrebbe? Ricordiamoci che la lipschitzianità locale è una condizione sufficiente e non necessaria per l'unicità della soluzione locale, quindi se la funzione fosse continua e localmente lipschitziana saremmo sicuri dell'esistenza di un unica soluzione locale. Se però non sussistesse lipschitzianità locale non potremmo dir nulla a priori, o meglio dovrebbe venirci il sospetto che la soluzione locale non sia unica, ma non potremmo affermarlo a meno di un'ulteriore analisi.
Non perderti la seconda parte della lezione: ci vediamo là! ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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