Esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy

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Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto il concetto di problema di Cauchy; lo scopo di questo articolo, diviso in due parti, sarà quello di fornire dei teoremi per l'esistenza e unicità delle soluzioni di un problema di Cauchy, locale e globale.

Rivediamo brevemente cos'è un problema di Cauchy.

Fissati $t_{0} \in \mathbb{R},\ y^{0} \in \mathbb{R}^n$ in modo tale che $(t_{0},y^{0}) \in \mbox{dom}(f)$ , dove

$f:A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ ,

il relativo problema di Cauchy si scrive nella forma

$(\clubsuit)\ \ \ \begin{cases} y'(t)=f(t,y(t)) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases}$

In questa lezione proporremo condizioni sufficienti per:

- l'esistenza locale delle soluzioni (detta anche esistenza in piccolo), cioè in un intorno del punto $t_{0}$ del problema di Cauchy $(\clubsuit)$

- l'esistenza globale delle soluzioni (detta anche esistenza in grande), cioè in un intervallo assegnato a priori.

Esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy

Siano

$\bullet)\ f: A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ , con aperto di $\mathbb{R}^n$ ;

$\bullet)\ (t_{0}, y^{0}) \in A,\mbox{ con } t_{0} \in \mathbb{R}, \ y^{0} \in \mathbb{R}^n$ ;

$\bullet)\ K:=[t_{0}-r, t_{0}+r] \times \bar{B}_{b}(y^{0})$ un compatto contenuto in ,

dove per definizione di intorno in $\mathbb{R}^n$ abbiamo

$B_{b}(y^{0}):=\left\{y\in \mathbb{R}^n \ : \ ||y-y^{0}|| \textless b \left\}$

e il trattino il trattino alto indica la sua chiusura, ovvero:

$\bar{B}_{b}(y^{0}):=\left\{y\in \mathbb{R}^n \ : \ ||y-y^{0}|| \le b \left\}$

Supponiamo inoltre che

$\bullet)\ f$ sia continua in

$\bullet)\ f$ sia localmente Lipschitziana rispetto a , uniformemente rispetto a $t \in \left\[t_{0}-r, t_{0}+r\right\]$ , ossia:

$\exists L>0 \mbox{ tale che } \forall (t,y),(t,z) \in K\mbox{ risulta } ||f(t,y)-f(t,z)|| \leq L||y-z||$

allora esiste $\delta > 0$ ed esiste un'unica funzione

$y:[t_{0}-\delta, t_{0}+\delta] \rightarrow \mathbb{R}$

tale da essere soluzione del problema di Cauchy

$(\clubsuit)\ \ \ \begin{cases}y'(t)=f(t,y(t)) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases} \ \ \ \forall t \in [t_{0}-\delta, t_{0}+\delta]$

Inoltre $y \in C^{1}([t_{0}-\delta, t_{0}+\delta])$ .

Il teorema appena enunciato garantisce l'esistenza e l'unicità di una soluzione del problema di Cauchy $(\clubsuit)$ in piccolo, ovvero definita in un intorno del punto $t_{0}$ che, in generale, è un sottoinsieme proprio dell'intervallo $[t_{0}-r, t_{0}+r]$ del teorema.

Ecco un grafico intuitivo a puro titolo esemplificativo:

Esempio di soluzione locale di un problema di Cauchy

Molto spesso la verifica diretta delle ipotesi del teorema può risultare ostica, ed in particolare la verifica dell'ipotesi per la lipschitzianità di rispetto alla variabile . A tal proposito possiamo servirci del seguente risultato.

Corollario del teorema di esistenza e unicità locale

Siano

$\bullet)\ f: A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ , con aperto di $\mathbb{R}^n$ ;

$\bullet)\ (t_{0}, y^{0}) \in A, \ con \ t_{0} \in \mathbb{R}, \ y^{0} \in \mathbb{R}^n$ ;

$\bullet)\ K:=[t_{0}-r, t_{0}+r] \times \bar{B}_{b}(y^{0})$ un compatto contenuto in

ciò premesso, se

$\bullet)\ f$ è continua in ;

$\bullet)$ le derivate parziali di rispetto alle variabili $y_{i}$ sono continue in e quindi in ;

allora esiste $\delta > 0$ ed esiste un'unica funzione $y:[t_{0}-\delta, t_{0}+\delta] \rightarrow \mathbb{R}$ tale da risolvere il problema di Cauchy

$(\clubsuit)\ \ \ \begin{cases} y'(t)=f(t,y(t)) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases} \ \ \ \forall t \in [t_{0}-\delta, t_{0}+\delta]$

Inoltre $y \in C^{1}([t_{0}-\delta, t_{0}+\delta])$ .

Osservazione

Il teorema e corollario sono formalmente identici, l'unica differenza, a prima vista, è l'ultima ipotesi. In realtà la suddetta del corollario è semplicemente una condizione (sufficiente) che assicura la lipschitzianità locale di rispetto alla variabile .

Con questo cosa vogliamo dire?

Sostanzialmente, per dimostrare l'esistenza di un'unica soluzione locale di un problema di Cauchy del tipo $(\clubsuit)$ occorre dimostrare che la funzione sia continua e localmente lipschitziana. Se poi si riesce a dimostrare direttamente la lipschitzianità (utilizzando la definizione) ben venga, altrimenti si ricorre allo studio della continuità della derivate parziali. :)

Domanda

Cosa accade se la la funzione è continua in ma non è localmente lipschitziana rispetto a ? Una risposta ci è data dal seguente teorema.

Teorema di Peano

Siano

$\bullet)\ f: A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ , con aperto di $\mathbb{R}^n$ ;

$\bullet)\ (t_{0}, y^{0}) \in A, \mbox{ con } t_{0} \in \mathbb{R}, \ y^{0} \in \mathbb{R}^n$

$\bullet)\ K:=[t_{0}-r, t_{0}+r] \times \bar{B}_{b}(y^{0})$ un compatto contenuto in ;

$\bullet)\ f$ è continua in ,

allora esiste $\delta > 0$ ed esiste una funzione $y:[t_{0}-\delta, t_{0}+\delta] \rightarrow \mathbb{R}$ tale da risolvere il problema di Cauchy $(\clubsuit)$ .

Inoltre è derivabile in $([t_{0}-\delta, t_{0}+\delta])$ .

In soldoni, tralasciando l'ipotesi di Lipschitzianità, si potrebbe perdere l'unicità della soluzione locale!

Perché si potrebbe? Ricordiamoci che la lipschitzianità locale è una condizione sufficiente e non necessaria per l'unicità della soluzione locale, quindi se la funzione fosse continua e localmente lipschitziana saremmo sicuri dell'esistenza di un unica soluzione locale. Se però non sussistesse lipschitzianità locale non potremmo dir nulla a priori, o meglio dovrebbe venirci il sospetto che la soluzione locale non sia unica, ma non potremmo affermarlo a meno di un'ulteriore analisi.

Non perderti la seconda parte della lezione: ci vediamo là! ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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