Determinante di una matrice

Il determinante di una matrice è un numero associato a ciascuna matrice quadrata, e ne esprime alcune proprietà algebriche e geometriche. Se A è una matrice quadrata, il suo determinante si indica con det(A), o più raramente con |A|, e si calcola in modi differenti a seconda della dimensione della matrice.

In questa lezione vedremo quali sono i metodi che permettono di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine n ≥ 1. Enunceremo e spiegheremo come si applica il teorema di Laplace, che vale per una qualsiasi matrice quadrata, ma prima riporteremo due metodi specifici: uno per il calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e l'altro per il calcolo del determinante di matrici di ordine 3, corredando il tutto con alcuni esempi.

Fatto ciò elencheremo le proprietà del determinante, per poi darne una definizione formale. Prima di procedere oltre, onde evitare di dire cose non corrette in sede d'esame, ribadiamo che il determinante è definito solamente per matrici quadrate, quindi non è possibile calcolare il determinante di una matrice rettangolare.

Determinante di matrici 2x2

Il determinante di una matrice quadrata di ordine 2 è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi dell'antidiagonale.

Dunque, se abbiamo una matrice 2x2 possiamo calcolarne il determinante con la formula

det[a b ; c d] = (a·d)-(b·c)

Nota bene: prima di vedere qualche esempio, è bene spendere due parole sul calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine 1: il determinante di una matrice formata da un solo elemento è uguale all'elemento stesso.

det[a_(11)] = a_(11)

Esempi sul determinante di una matrice di ordine 2

Calcolare il determinante delle matrici

A = [1 3 ; 4 5] B = [6 12 ; 3 6] C = [-2 5 ; 0 -1]

Svolgimento: applichiamo la formula per il calcolo del determinante a ciascuna matrice

det(A) = det[1 3 ; 4 5] = (1·5)-(3·4) = 5-12 = -7 ; det(B) = det[6 12 ; 3 6] = (6·6)-(12·3) = 36-36 = 0 ; det(C) = det[-2 5 ; 0 -1] = (-2·(-1))-(5·0) = 2-0 = 2

Determinante di matrici 3x3 - regola di Sarrus

Per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 possiamo applicare la regola di Sarrus, secondo cui:

det[a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(21) a_(22) a_(23) ; a_(31) a_(32) a_(33)] = a_(11)·a_(22)·a_(33)+a_(12)·a_(23)·a_(31)+a_(13)·a_(21)·a_(32)-(a_(13)·a_(22)·a_(31)+a_(12)·a_(21)·a_(33)+a_(11)·a_(23)·a_(32))

Ricordarla a memoria sarebbe quasi impossibile. Per fortuna c'è un modo comodo che permette di ricavarla: basta riscrivere la matrice accostando la matrice stessa sulla sua destra

a_(11) a_(12) a_(13) a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(21) a_(22) a_(23) a_(21) a_(22) a_(23) ; a_(31) a_(32) a_(33) a_(31) a_(32) a_(33)

per poi:

1) sommare i prodotti lungo le prime tre diagonali complete da sinistra verso destra;

2) sommare i prodotti lungo le ultime tre antidiagonali complete percorse da destra verso sinistra;

3) calcolare la differenza tra i risultati ottenuti ai punti 1) e 2).

Regola di Sarrus

Determinante di matrici 3x3 con la regola di Sarrus

Esempio di applicazione della regola di Sarrus

Applicando la regola di Sarrus calcolare il determinante della matrice

A = [2 -1 4 ; 1 2 0 ; 3 5 1]

Svolgimento: scriviamo due matrici l'una accanto all'altra e senza parentesi e tracciamo le tre diagonali complete procedendo da sinistra verso destra e le tre antidiagonali procedendo da destra verso sinistra.

2 -1 4 2 -1 4 ; 1 2 0 1 2 0 ; 3 5 1 3 5 1 

Sommiamo i prodotti lungo le prime tre diagonali principali

(2·2·1)+(-1·0·3)+(4·1·5) = 4+0+20 = 24

e quelli lungo le ultime tre antidiagonali

(4·2·3)+(-1·1·1)+(2·0·5) = 24-1+0 = 23

Sottraendo, nell'ordine, i due risultati otteniamo

det(A) = 24-23 = 1

Dopo aver fatto un po' di pratica possiamo svolgere i calcoli in un'unica formula:

det(A) = (2·2·1)+(-1·0·3)+(4·1·5)-[(4·2·3)+(-1·1·1)+(2·0·5)] = 4+0+20-(24-1+0) = 24-23 = 1

Determinante di matrici quadrate di ordine qualsiasi - teorema di Laplace

Il teorema di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice quadrata attraverso formule ricorsive, dette sviluppi di Laplace, che possono essere applicate per righe o per colonne, e che si possono applicare a matrici quadrate di ordine qualsiasi (anche a matrici 2x2 o 3x3).

Consideriamo una matrice quadrata di ordine n

A = [ a_(11) a_(12) ··· a_(1n) ; a_(21) a_(22) ··· a_(2n) ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; a_(n1) a_(n2) ··· a_(nn) ]

e denotiamo con A_(ij) la matrice che si ottiene eliminando la riga i e la colonna j della matrice A, e con det(A_(ij)) il suo determinante.

Fissato un qualsiasi elemento a_(ij) ∈ A, chiamiamo complemento algebrico (o cofattore) di a_(ij) il numero:

(-1)^(i+j)·det(A_(ij))

Sviluppo di Laplace per righe

Fissata una qualsiasi riga della matrice A, il determinante di A è pari alla somma dei prodotti degli elementi della riga scelta per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

det(A) = Σ_(j = 1)^n[a_(ij)·(-1)^(i+j)·det(A_(ij))]

(ci si muove lungo la i-esima riga).

Sviluppo di Laplace per colonne

Fissata una qualsiasi colonna di A, il suo determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della colonna fissata per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

det(A) = Σ_(i = 1)^n[a_(ij)·(-1)^(i+j)·det(A_(ij))]

(ci si muove lungo la j-esima colonna).

In base a cosa possiamo scegliere lo sviluppo per righe o per colonne? La regola è semplice e si basa su un principio di convenienza: usiamo il metodo che ci permette di risparmiare calcoli. Si tratta quindi di scegliere la riga o la colonna della matrice contenente più zeri, perché così facendo avremo il minor numero possibile di addendi nella formula scelta tra le precedenti. Risparmiare un addendo, d'altra parte, non è cosa da poco: ognuno di essi contiene a sua volta un determinante.

Esempio sul calcolo del determinante con gli sviluppi di Laplace

Proponiamoci di calcolare il determinante della seguente matrice con Laplace

A = [1 0 5 ; 2 -1 0 ; 7 -2 0 ; ]

Svolgimento: tra tutte le colonne e tutte le righe di A vediamo subito che la terza colonna contiene due zeri, quindi decidiamo di calcolare il determinante con uno sviluppo per colonna, scegliendone la terza. Procediamo!

Dobbiamo sommare i prodotti degli elementi della terza colonna per i rispettivi complementi algebrici. Se un elemento è 0, il prodotto per il suo complemento algebrico dà 0, quindi basta considerare solo gli elementi non nulli cioè

a_(13) = 5

il cui complemento algebrico è

(-1)^(1+3)·det(A_(13)) = (-1)^(4)·det[ 2 -1 ; 7 -2 ; ] = 1·[(2·(-2))-(-1·7)] = 1·(-4+7) = 1·3 = 3

Dunque

det(A) = a_(13)·(-1)^(1+3)·det(A_(13)) = 5·3 = 15

Lasciamo a voi il compito di verificare che si ottiene lo stesso risultato applicando la regola di Sarrus o sviluppando la regola di Laplace rispetto a un'altra qualsiasi riga o colonna.

Determinante di una matrice con Gauss Jordan

Un altro procedimento utile a calcolare il determinante di una matrice è il metodo di Gauss Jordan, che trovate accuratamente spiegato nella pagina del precedente link. ;)

Proprietà del determinante

Vediamo ora le principali proprietà del determinante che, oltre a rivestire un importante ruolo teorico, ci permettono di risparmiare un bel po' di tempo quando dobbiamo fare i calcoli. Per favorire chi è qui in fase di ripasso, elencheremo anche proprietà che richiedono nozioni che tratteremo nel prosieguo delle lezioni; nel caso stiate seguendo l'ordinamento delle lezioni, non preoccupatevene per il momento. ;)

Determinante nullo: il determinante di una matrice quadrata è uguale a 0 se e solo se

- ha una riga (o una colonna) tutta di elementi nulli, oppure

- due righe (o due colonne) sono proporzionali, oppure

- una riga (o una colonna) è combinazione lineare di due o più righe (o colonne).

Determinante di matrici triangolari: se la matrice quadrata di cui vogliamo calcolare il determinante è una matrice triangolare (superiore o inferiore), allora il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale.

Determinante del prodotto: se siamo di fronte a due matrici quadrate dello stesso ordine, tra le quali è quindi possibile eseguire il prodotto riga per colonna, il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti

det(AB) = det(A) det(B)

Tale proprietà è in realtà un vero e proprio teorema conosciuto con il nome di teorema di Binet.

Determinante dell'inversa: data una matrice invertibile, il determinante della matrice inversa è il reciproco del determinante della matrice di partenza

det(A^(-1)) = (1)/(det(A))

Determinante della trasposta: una matrice quadrata e la sua matrice trasposta hanno lo stesso determinante

det(A^T) = det(A)

Determinante del prodotto per uno scalare: il determinante del prodotto di una matrice per uno scalare è dato dal prodotto tra lo scalare elevato all'ordine della matrice e il determinante della matrice; dunque se A è una matrice quadrata di ordine n e λ è lo scalare abbiamo che

det(λ A) = λ^n·det(A)

Determinante di matrici simili: due matrici simili hanno lo stesso determinante.

Definizione formale di determinante

Finora ci siamo occupati del calcolo del determinante senza averne dato una vera e propria definizione; il motivo per cui abbiamo aspettato la fine dell'articolo è che la definizione di determinante tira in ballo lo spazio delle matrici e le applicazioni lineari, nozioni che il più delle volte non si conoscono quando lo si introduce per la prima volta.

Dunque, se non avete ancora affrontato questi argomenti potete passare oltre e poi tornarci a tempo debito; conoscere la definizione formale di determinante non è strettamente necessario per poter capire quanto diremo nelle successive lezioni.

Detto ciò, per ogni n ≥ 1 indichiamo con Mat(n,n,K) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K.

Inoltre, se A ∈ Mat(n,n,K), indicando con R_1, R_2, ..., R_n le sue righe, possiamo decomporre A nelle sue n righe, ossia pensare alla matrice A come a una collezione di righe

A = (R_1, R_2, ..., R_n)

Si definisce determinante una funzione

d_n : Mat(n,n,K) → K

che gode delle seguenti proprietà:

(A) si annulla sulle matrici che hanno due righe uguali, ossia

d_n(R_1, R_2, ..., R_(i),..., R_(j), ..., R_n) = 0 se R_i = R_j per i ≠ j

(B) è una funzione lineare in ciascuna riga, cioè fissato i ∈ 1,2,...,n e per ogni λ ∈ K si deve avere

d_n(R_1, R_2, ..., R_i+R'_i, ..., R_n) = d_n(R_1, R_2, ..., R_i, ..., R_n)+d_n(R_1, R_2, ..., R'_i, ..., R_n) ; d_n(R_1, R_2, ..., λ R_i, ..., R_n) = λ d_n(R_1, R_2, ..., R_i, ..., R_n)

(C) Se A = Id_n, cioè se A è la matrice identità, allora

d_n(Id_n) = 1

Se volete, è quasi immediato verificare che il determinante definito per le matrici di ordine 2 e quello definito attraverso le regole di Laplace verificano le condizioni (A), (B) e (C).

Come approfondimento finale, vi rimandiamo alla lettura della seguente discussione: significato geometrico del determinante.

Per controllare i risultati degli esercizi potete usare il tool per il calcolo del determinante online, se invece vi occorrono esempi di calcolo del determinante potete consultare la scheda correlata di esercizi svolti, o ancora trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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