Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

La somma e l'intersezione di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale sono due sottospazi dello spazio di partenza, per cui è possibile individuare una base per ciascuno di essi e calcolarne le dimensioni.

In questa lezione spiegheremo come determinare la dimensione e una base della somma e dell'intersezione di due sottospazi vettoriali. Il procedimento da seguire nella risoluzione pratica degli esercizi dipende da come sono descritti i sottospazi: vedremo quindi i vari metodi di risoluzione mostrando un esempio per ciascuna tipologia.

Concluderemo enunciando la formula di Grassmann, che mette in relazione le dimensioni dei sottospazi coinvolti con le dimensioni del sottospazio somma e del sottospazio intersezione.

Definizione di somma e di intersezione di sottospazi vettoriali

Consideriamo uno spazio vettoriale V su un campo K e due suoi sottospazi vettoriali S, T ⊆ V. Definiamo l'insieme somma dei due sottospazi vettoriali, e lo indichiamo con S+T, come

S+T: = v∈ V t.c. v = s+t, con s∈ S, t∈ T

Definiamo poi l'intersezione dei due sottospazi vettoriali, e la chiamiamo S ∩ T, l'intersezione tra i due insiemi

S ∩ T: = v∈ V t.c. v∈ S, v∈ T

Lasciamo a voi il compito di dimostrare che la somma e l'intersezione tra due sottospazi S, T ⊆ V sono, a loro volta, sottospazi vettoriali di V: basta usare il teorema di caratterizzazione, così come spiegato nella lezione come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale.

Dimensione e base di somma e intersezione di sottospazi vettoriali di Rn

Passiamo alla parte che interessa a chi ha difficoltà nella pratica partendo dal caso in cui S e T sono due sottospazi di V = R^n.

Nella stragrande maggioranza degli esercizi i due sottospazi sono assegnati:

- mediante equazioni cartesiane, oppure

- mediante sistemi di generatori.

Vediamo come trovare la dimensione e una base per il sottospazio somma S+T e per il sottospazio intersezione S ∩ T.

Dimensione e base della somma di due sottospazi

Il nostro scopo è fornire un metodo per determinare la dimensione e una base dello spazio somma nel modo più veloce e semplice possibile. Distinguiamo tre possibili casi e spieghiamo come procedere. Per vedere un esempio di applicazione vi rimandiamo alle pagine che linkeremo di volta in volta.

1) Dimensione e base della somma di sottospazi definiti mediante sistemi di generatori

Supponiamo che entrambi i sottospazi S, T siano definiti mediante sistemi di generatori; siano, cioè

S = Span(s_1,s_2,...,s_m) ; T = Span(t_1,t_2,...,t_n)

Con la dicitura "Span" si indica il sottospazio generato dai vettori compresi tra le coppie di parentesi tonde.

Per trovare una base del sottospazio somma S+T dobbiamo estrarre una base dai sistemi di generatori di S e T che indichiamo rispettivamente con mathcalB_(S) e mathcalB_(T)

mathcalB_S = s_1,s_2,...,s_M ; mathcalB_(T) = t_1,t_2,...,t_N con M ≤ m e N ≤ n

Consideriamo poi l'unione delle due basi, vale a dire

mathcalB_S U mathcalB_T = s_1,s_2,...,s_M,t_1,t_2,...,t_N

Tale insieme è un sistema di generatori per il sottospazio somma, dunque è sufficiente estrarne una base. Inoltre, il numero di elementi della base estratta è la dimensione dello spazio somma.

Esempio: come determinare dimensione e base della somma di sottospazi definiti da sistemi di generatori.

In alcuni casi può essere più comodo considerare l'unione dei sistemi di generatori, vale a dire l'insieme:

s_(1), s_(2), ..., s_(m), t_1, t_(2),..., t_(n)

Esso costituisce un sistema di generatori per S+T, per cui è sufficiente estrarne una base.

2) Dimensione e base della somma di sottospazi definiti da equazioni cartesiane

Se i due sottospazi vettoriali S, T sono entrambi definiti da equazioni cartesiane, il modo migliore di procedere consiste nel ricavare una base dalle equazioni cartesiane dei sottospazi, per poi considerare l'insieme formato dall'unione delle due basi (che è un sistema di generatori per S+T) e concludere estraendone una base.

Esempio: come determinare dimensione e base della somma di sottospazi definiti da equazioni.

3) Dimensione e base della somma di sottospazi in cui uno è definito da equazioni cartesiane e l'altro mediante un sistema di generatori

Se uno dei due sottospazi (S) è dato mediante un sistema di generatori e l'altro (T) è assegnato attraverso equazioni cartesiane, si deve ricavare una base per il sottospazio T e considerare l'unione di tale base con il sistema di generatori che definisce S.

Si ottiene così un sistema di vettori che genera lo spazio somma S+T e l'esercizio si conclude estraendone una base.

Esempio: come determinare dimensione e base della somma di sottospazi uno definito da equazioni e l'altro da un sistema di generatori.

Dimensione e base dell'intersezione dei due sottospazi

Seguiamo il filo logico introdotto in precedenza e distinguiamo anche qui tre possibili metodi di risoluzione, a seconda di come sono definiti i due sottospazi vettoriali S, T ⊆ R^n.

1) Dimensione e base dell'intersezione di sottospazi definiti mediante sistemi di generatori

Se entrambi i sottospazi sono definiti mediante sistemi di generatori, dobbiamo estrarre una base per ciascun sottospazio

mathcalB_(S) = s_1,s_2,...,s_M ; mathcalB_(T) = t_1,t_2,...,t_N

Fatto ciò osserviamo che un qualsiasi vettore v∈ R^n appartiene al sottospazio intersezione S ∩ T se e solo se v ∈ S e v ∈ T.

Ciò vuol dire che v può essere espresso come combinazione lineare sia dei vettori della base di S sia dei vettori della base di T, cioè esistono M scalari α_1, α_2, ..., α_M tali che

(*) v = α_1 s_1+α_2s_2+...+α_Ms_M

ed esistono N scalari β_1, β_2, ..., β_N tali che

(**) v = β_1 t_1+β_2t_2+...+β_Nt_N

Da qui possiamo scrivere

α_1 s_1+α_2s_2+...+α_Ms_M = β_1 t_1+β_2t_2+...+β_Nt_N

ossia

α_1 s_1+α_2s_2+...+α_Ms_M-β_1 t_1-β_2t_2-...-β_Nt_N = underline0

che è un sistema lineare nelle incognite α_1, α_2, ..., α_M e β_1, β_2, ..., β_N.

Determiniamo l'insieme delle soluzioni del sistema, che sono gli M+N scalari

α_1, α_2 ,..., α_M, β_1, β_2, ..., β_N

Per individuare una base dell'intersezione dei sottospazi S e T basta considerare le M soluzioni α_1, α_2 ,..., α_M e sostituirle nella generica combinazione lineare (*)

v = α_1 s_1+α_2s_2+...+α_Ms_M

In questo modo otteniamo tutti e soli i vettori dell'intersezione di S ∩ T. Il caso limite è quello in cui l'unica soluzione del sistema è il vettore nullo, cosicché l'intersezione è banale e costituita solamente da esso. In caso contrario possiamo estrarre una base di questo sottospazio. La cardinalità della base fornisce, infine, la dimensione del sottospazio intersezione.

Esempio: come determinare dimensione e base dell'intersezione di sottospazi definiti da sistemi di generatori.

2) Dimensione e base dell'intersezione di sottospazi definiti da equazioni cartesiane

Se i due sottospazi S, T sono descritti da equazioni cartesiane, trovare una base dell'intersezione S ∩ T è semplicissimo: basta costruire il sistema lineare omogeneo formato con le equazioni di S e con le equazioni di T ed estrarre una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo appena scritto.

Esempio: come determinare dimensione e base dell'intersezione di sottospazi definiti da equazioni.

3) Dimensione e base dell'intersezione di sottospazi in cui uno è definito da equazioni cartesiane e l'altro mediante un sistema di generatori

Se S è definito mediante un sistema di generatori e T da equazioni cartesiane, possiamo ricavare le equazioni cartesiane dal sistema di generatori che definisce S e applicare il metodo esposto nel punto 2).

Esempio: come determinare dimensione e base dell'intersezione di sottospazi uno definito da equazioni e l'altro da un sistema di generatori.

Somma e intersezione di sottospazi di polinomi e di matrici

Finora abbiamo visto come determinare la dimensione e una base della somma e dell'intersezione di sottospazi di R^n. Sebbene quest'ultima sia la tipologia più frequente, potrebbe capitare di trovarsi di fronte a esercizi in cui S e T sono sottospazi dello spazio dei polinomi R_n[x] o dello spazio delle matrici Mat(m,n,R).

In entrambi i casi è sufficiente seguire i passi elencati qui di di seguito.

1) Ricavare un sistema di generatori per entrambi i sottospazi S e T.

2) Scrivere le componenti di ciascun vettore (polinomio o matrice) dei due sottospazi rispetto alla base canonica dello spazio di partenza.

In particolare:

2a) se S e T sono sottospazi di R_n[x], possiamo associare a ciascun polinomio un vettore di R^(n+1). Si possono così definire i sottospazi tildeS e tildeT di R^(n+1), i cui elementi sono (n+1)-uple aventi per componenti le coordinate dei polinomi rispetto alla base canonica di R_n[x].

2b) Se S e T sono sottospazi di Mat(m,n,R), possiamo associare a ciascuna matrice un vettore di R^(m×n). Si possono così definire i sottospazi tildeS e tildeT di R^(m×n), i cui elementi sono (n×m)-uple aventi per componenti le coordinate delle matrici rispetto alla base canonica di Mat(m,n,R).

3) Determinare la dimensione e una base dei sottospazi somma e intersezione tildeS+ tildeT, tildeS ∩ tildeT così come spiegato nel caso di R^n per sottospazi definiti mediante sistemi di generatori.

4) Eseguire il procedimento inverso del punto 2), cioè a ciascun vettore delle basi di tildeS+ tildeT e tildeS ∩ tildeT associare il polinomio (o la matrice) i cui termini sono le componenti dei vettori della base.

Osservazione: un'alternativa al punto 2) del precedente procedimento è ricorrere all'isomorfismo coordinato, che a ogni vettore di uno spazio vettoriale V finitamente generato associa le sue coordinate rispetto a una fissata base.

In particolare, possiamo considerare:

- l'isomorfismo tra lo spazio dei polinomi R_n[x] e R^(n+1):

R_n[x] ≃ R^(n+1) ; a_0+a_1x+...+a_(n-1)x^(n-1)+a_nx^n ↦ (a_0, a_1, ..., a_(n-1), a_n)

- l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici Mat(m,n,R) e R^(m×n):

Mat(m,n,R) ≃ R^(m×n) ; [a_(11) a_(12) ··· a_(1n) ; a_(21) a_(22) ··· a_(2n) ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; a_(m1) a_(m2) ··· a_(mn) ] ↦ (a_(11), a_(12), ..., a_(1n), a_(21), a_(22), ..., a_(2n), ..., ..., ..., a_(m1), a_(m2), ..., a_(mn))

Quale che sia il metodo scelto, vi assicuriamo che è più difficile a dirsi che a farsi e i seguenti esempi vi aiuteranno a chiarire ogni dubbio:

- somma e intersezione di sottospazi di polinomi;

- somma e intersezione di sottospazi di matrici.

Formula di Grassmann per le dimensioni di somma e intersezione di due sottospazi

Per concludere in bellezza introduciamo una formula che si rivela estremamente utile per verificare la correttezza dei risultati ottenuti, e che permette di evitare a piè pari la ricerca della dimensione e di una base per l'intersezione in uno specifico caso.

Parliamo della formula di Grassmann, che fornisce una relazione tra le dimensioni del sottospazio somma e del sottospazio intersezione: la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei due sottospazi a cui va sottratta la dimensione del sottospazio intersezione, ossia:

dim(S+T) = dim(S)+dim(T)-dim(S ∩ T)

Nel caso particolare in cui, dopo aver determinato la dimensione dello spazio somma S+T, avessimo

dim(S+T) = dim(S)+dim(T)

potremmo concludere subito che

dim(S ∩ T) = 0

e in tal caso non dovremmo sforzarci di cercare una base dell'intersezione S ∩ T, perché l'unico spazio vettoriale avente dimensione nulla è lo spazio banale

S ∩ T = 0

Nell'eventualità in cui due sottospazi siano a intersezione banale, la loro somma S+T è detta somma diretta e si indica con S+T.

Per il momento è tutto! Nella lezione successiva vedremo tutto quello che c'è da sapere sulla somma diretta. Nel frattempo, se vi servono altri esempi su dimensione e base dei sottospazi somma e intersezione, ne potete trovare a tonnellate usando la barra di ricerca interna di YouMath o consultando la scheda correlata di esercizi risolti. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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