Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica definita a partire da un insieme di vettori, da un campo di scalari e da due operazioni binarie, dette somma tra vettori e prodotto di un vettore per uno scalare, che devono soddisfare delle specifiche proprietà.

Tra poco avremo modo di dare la definizione rigorosa di spazio vettoriale e di vedere numerosi esempi, ma prima è bene sapere che gli spazi vettoriali sono la struttura principe dell'Algebra Lineare, che si occupa proprio dello studio degli spazi vettoriali e delle funzioni definite tra spazi vettoriali, con particolare riguardo a una specifica classe di funzioni, le cosiddette applicazioni lineari.

Con ciò non vogliamo spaventarvi, ma solo ribadire che è un argomento davvero importante, quindi dedicategli il giusto tempo e non siate frettolosi. ;)

Definizione di spazio vettoriale

Per fornire la definizione di spazio vettoriale ci servono quattro ingredienti:

- un campo, solitamente indicato con K e detto campo di scalari. Per fissare le idee, nella maggior parte delle applicazioni pratiche il campo K coincide col campo R dei numeri reali o col campo C dei numeri complessi.

- Un insieme V, chiamato spazio di vettori, e i cui elementi sono generalmente indicati in grassetto per non generare confusione con gli elementi del campo K.

- Un'operazione binaria interna, indicata con + e detta somma di vettori:

+: V×V → V ; (v, w) ↦ v+w

- Un'operazione binaria esterna, indicata con · e detta prodotto di un vettore per uno scalare:

·: K×V → V ; (λ, v) ↦ λ·v

Si dice che (V,+,·) è uno spazio vettoriale sul campo K se l'insieme V munito delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare è una struttura algebrica che soddisfa le seguenti proprietà:

per ogni u, v, w ∈ V e per ogni λ, β ∈K risulta che

1) la struttura (V,+) è un gruppo commutativo, ossia

1a) l'operazione binaria + gode della proprietà associativa

(u+v)+w = u+(v+w)

1b) Esiste in V l'elemento neutro rispetto a +, cioè esiste un elemento 0_V ∈ V tale che

v+0_V = v = 0_V+v

1c) Ogni elemento v ∈ V ammette inverso rispetto a + in V, cioè per ogni v ∈ V, esiste w ∈ V tale che

v+w = 0_V = w+v

Tale elemento si indica con -v

1d) L'operazione di somma tra vettori gode della proprietà commutativa:

v+w = w+v

2) L'operazione binaria esterna · di prodotto di un vettore per uno scalare soddisfa le seguenti proprietà:

2a) Omogeneità (detta talvolta al variare delle fonti pseudo-associatività, o compatibilità)

λ·(β·v) = (λ β)·v

2b) Esistenza dell'elemento neutro rispetto a ·, cioè esiste un elemento 1∈K tale che:

1·v = v

2c) Proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori:

λ·(v+w) = λ·v+λ·w

2d) Proprietà distributiva rispetto alla somma tra scalari:

(λ+β)·v = λ·v+β·v

Abbiamo quindi ben 8 proprietà! A una prima lettura la definizione di spazio vettoriale potrebbe sembrare insostenibile, ma con qualche esempio e continuando con la lettura delle lezioni che seguono apparirà tutto molto semplice, fidatevi!

D'altra parte, con un po' di allenamento si è subito in grado di riconoscere ad occhio le precedenti proprietà, che sono sì numerose, ma anche molto basilari.

Esempi di spazi vettoriali

Tra poco vedremo numerosi esempi di spazi vettoriali, ma prima ci teniamo a precisare che non ha alcun senso chiedersi se un insieme V è o non è uno spazio vettoriale senza precisare qual è il campo di scalari e senza sapere come sono definite le operazioni di somma e di prodotto di un vettore per uno scalare.

Solo dopo aver fissato il campo K e le due operazioni si può verificare se sussistono le otto proprietà elencate in precedenza, e quindi stabilire se V è uno spazio vettoriale.

A) Consideriamo l'insieme R^n, i cui elementi sono le n-uple ordinate di numeri reali, comunemente dette vettori, cioè

R^n: = (x_1,x_2,...,x_n) tali che x_i∈R ∀ i ∈ 1,2,...,n

R^n è uno spazio vettoriale sul campo R rispetto alle seguenti operazioni tra vettori:

- somma di vettori

+:R^n×R^n → R^n

che a x = (x_1, x_2, ..., x_n) e y = (y_1, y_2, ..., y_n) associa il vettore

x+y = (x_1, x_2, ..., x_n)+(y_1, y_2, ..., y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, ..., x_n+y_n)

- prodotto di un vettore per uno scalare

·: R×R^n → R^n

che a λ ∈ R e x = (x_1, x_2, ..., x_n) ∈ R^n associa il vettore

λ·x = λ·(x_1, x_2, ..., x_n) = (λ x_1, λ x_2, ..., λ x_n)

Dimostrarlo è semplicissimo: provate a mettervi di buona pazienza e a verificare che le otto proprietà sussistono.

Allo stesso modo C^n, con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare analoghe a quelle definite nel caso di R^n è uno spazio vettoriale sul campo complesso C.

B) Un altro esempio standard è dato dallo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più n a coefficienti reali, solitamente indicato con R_n[x]

R_n[x]: = a_0+a_1x+...+a_(n-1)x^(n-1)+a_nx^n t.c. a_i∈R ∀ i∈ 0,1,...,n

In particolare, R_n[x] è uno spazio vettoriale sul campo R se lo dotiamo delle operazioni di somma tra vettori

p(x)+q(x) = (a_0+a_1x+...+a_(n-1)x^(n-1)+a_nx^n)+(b_0+b_1x+...+b_(n-1)x^(n-1)+b_nx^n) = (a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...+(a_(n-1)+b_(n-1))x^(n-1)+(a_n+b_n)x^n

e di prodotto di un vettore per uno scalare di R

λ·p(x) = λ·(a_0+a_1x+...+a_(n-1)x^(n-1)+a_nx^n) = λ a_0+λ a_1x+...+λ a_(n-1)x^(n-1)+λ a_nx^n

Osservazione (sul significato del termine vettore)

Da notare che, pur lavorando con dei polinomi, abbiamo parlato anche in questo caso di vettori riferendoci agli elementi dello spazio vettoriale R_n[x] su R.

Il fatto è che siamo abituati sin da piccini a indicare con la parola vettore una sequenza di numeri del tipo (... , ..., ...), mentre in termini matematici rigorosi il termine vettore sta ad indicare un elemento di uno spazio vettoriale, indipendentemente da quale sia lo spazio considerato.

C) In determinati contesti, la parola "vettore" può indicare anche una funzione, come nel caso dello spazio vettoriale delle funzioni continue su un intervallo reale, cioè lo spazio vettoriale delle funzioni di una variabile reale

f:I ⊆ R → R

definite su un intervallo I ⊆ R e ivi continue.

Tale insieme, indicato con C(I) o anche con C^0(I), è uno spazio vettoriale sul campo R se dotato delle seguenti operazioni tra funzioni:

- somma di funzioni

(f+g)(x): = f(x)+g(x)

- prodotto di una funzione per uno scalare

(λ f)(x) = λ·f(x)

dove la funzione λ f è la funzione definita dal prodotto di λ per l'immagine di x mediante f.

D) L'insieme Mat(m,n,R) delle matrici di m righe ed n colonne a coefficienti reali

Mat(m,n,R): = A = (a_(ij)) t.c. a_(ij)∈R, ∀ i ∈ 1,...,m, ∀ j∈1,...,n

è uno spazio vettoriale sul campo R se lo dotiamo delle operazioni di:

- somma tra matrici

A+B = (a_(ij))+(b_(ij)) = (a_(ij)+b_(ij))

- prodotto di una matrice per uno scalare

λ·A = λ·(a_(ij)) = (λ a_(ij))

Si noti che in questo contesto si suole denominare vettore il generico elemento dello spazio vettoriale delle matrici di m righe ed n colonne a coefficienti reali, anche se in realtà si tratta di matrici.

Nella lezione successiva affronteremo la nozione di sottospazio vettoriale. Problemi con la teoria o con gli esercizi? Ne abbiamo spiegati migliaia ad altrettanti studenti, ed è tutto online, a portata di un click! Vi basta usare la barra di ricerca interna oppure, se preferite, partire dalla scheda correlata di esercizi svolti sugli spazi vettoriali. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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