Matrice di cambiamento di base

La matrice di cambiamento di base (o matrice di passaggio) è una matrice quadrata e invertibile che permette di effettuare il passaggio da una base di uno spazio vettoriale a un'altra base dello stesso spazio vettoriale.

Se e sono due basi di uno spazio vettoriale , la matrice del cambiamento di base dalla base alla base permette di ottenere le componenti di un vettore date rispetto a esprimendole rispetto a .

Lo scopo di questa lezione è quello di fornire un metodo pratico che permetta di scrivere la matrice di cambiamento di base; ovviamente vedremo svariati esempi, ma per cogliere a pieno quanto diremo tra poco vi consigliamo di dare prima un'occhiata alla precedente lezione sulle coordinate rispetto a una base.

Definizione di matrice di cambiamento di base

Per definire la matrice di cambiamento di base consideriamo uno spazio vettoriale di dimensione e siano

due basi distinte di .

Per definizione di base di uno spazio vettoriale, un qualunque vettore si può scrivere come

dove sono le componenti (o coordinate) di rispetto alla base .

Anche è una base di , dunque

dove sono le coordinate di rispetto alla base .

D'altra parte, ogni vettore è un elemento dello spazio vettoriale , quindi può essere espresso attraverso una combinazione lineare dei vettori della base , cioè

dove gli indici utilizzati per le coordinate fanno riferimento al vettore della base  mediante il secondo pedice; il primo pedice della coordinata si riferisce al vettore della base .

Nella relazione al posto dei vettori sostituiamo le precedenti combinazioni lineari

Raccogliamo secondo i vettori della base

Da un confronto con

seguono le uguaglianze

che forniscono le relazioni che legano le coordinate del vettore rispetto alle basi e .

La matrice

la cui -esima colonna è costituita dalle coordinate del vettore della base rispetto alla base è detta matrice del cambiamento di base dalla base alla base , è una matrice invertibile e la indicheremo con 

In definitiva, se

è espresso in coordinate riferite alla base , le sue coordinate rispetto alla base

si ottengono moltiplicando la matrice del cambiamento di base dalla base alla base per il vettore colonna formato dalle componenti del vettore .

Ragionando in termini di vettori colonna possiamo scrivere la seguente formula

dove con abbiamo indicato il prodotto riga per colonna.

Osservazione importante sulla denominazione della matrice di cambiamento di base

Attenzione! Per noi, come per diverse altre fonti, la matrice è la matrice che permette di effettuare il cambiamento di base da a .

Alcuni docenti / libri di testo, al contrario chiamano la matrice precedentemente ottenuta matrice del cambiamento di base da a , intendendo esattamente la stessa matrice che svolge lo stesso compito descritto fin qui, ma invertendone il nome.

Si tratta puramente di una questione semantica, che però non è da poco! A questo proposito vi raccomandiamo, alla fine di questa lezione, di:

- leggere l'approfondimento presente in questa discussione: possibile errore nella lezione sulla matrice di cambiamento di base?

- Capire qual è la convenzione adottata dal vostro docente / dal vostro libro di testo, perché quello sarà il vostro termine di riferimento finale. ;)

Da qui e in qualsiasi lezione / esercizio / approfondimento / spiegazione presente su YouMath, noi ci atterremo scrupolosamente alla nomenclatura della matrice di cambiamento di base per come l'abbiamo definita. :)

Come scrivere la matrice del cambiamento di base

Date le basi

di uno spazio vettoriale di dimensione vogliamo ora capire come, all'atto pratico, si scrive la matrice che esprime il passaggio dalla base alla base .

Come suggerito dai passaggi che ci hanno permesso di definire la matrice di cambiamento di base, basta esprimere i vettori della base come combinazioni lineari dei vettori di

La matrice di passaggio da a si ricava disponendo i coefficienti delle combinazioni lineari per colonna in una matrice.

Attenzione: abbiamo preso i coefficienti delle righe e li abbiamo scritti per colonna!

Equivalentemente, la matrice di cambiamento di base da a si ottiene disponendo per colonna in una matrice le coordinate dei vettori della base di partenza  rispetto ai vettori della base di arrivo .

Se ora volessimo scrivere la matrice del cambiamento di base che effettua il passaggio inverso, cioè da a , non dovremmo fare altro che ragionare in modo analogo, ma opposto.

Dovremmo quindi scrivere i vettori di come combinazioni lineari di quelli di

e poi comporre la matrice avente per colonne i coefficienti delle combinazioni lineari delle singole righe:

In alternativa, è immediato dimostrare che la matrice di passaggio dalla base alla base è l'inversa della matrice che effettua il passaggio dalla base alla base . In formule:

Per convincersene basta considerare un vettore . Se

sono le coordinate di rispetto alla base e

sono le componenti di rispetto alla base , dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che:

e, analogamente

Sostituendo quest'ultima relazione nella precedente si ottiene

da cui segue che

dove denota la matrice identità. Di conseguenza

Esempi di matrice di passaggio tra due basi

1) Sia . Scrivere la matrice del cambiamento di base che permette di passare dalla base

alla base canonica di

Svolgimento: per comporre la matrice di passaggio dobbiamo determinare i coefficienti delle combinazioni lineari che permettono di scrivere i vettori della base rispetto alla base . Evidentemente, per com'è definita la base canonica:

La matrice di passaggio si ottiene disponendo per colonne i coefficienti delle precedenti combinazioni lineari

A questo punto, se venisse richiesta anche , cioè la matrice di passaggio da a , basterebbe calcolare l'inversa della matrice oppure esprimere i vettori della base rispetto a quelli della base e comporre la matrice.

2) Consideriamo le basi di date da

Vogliamo scrivere la matrice del cambiamento di base che esprime il passaggio da a .

Svolgimento: a tale scopo dobbiamo esprimere i vettori di come combinazioni lineari dei vettori di .

Il compito non è così immediato come nell'esempio precedente, e per trovare i coefficienti della combinazione lineare dobbiamo impostare le seguenti uguaglianze

vale a dire: coordinate dei vettori della base di partenza rispetto ai vettori della base d'arrivo.

Per riuscirci dobbiamo ricavare i valori degli scalari che costituiranno la matrice di passaggio.

Dalla prima relazione

svolgendo le operazioni tra vettori segue che

Due vettori sono uguali se hanno le stesse componenti, quindi la precedente uguaglianza è soddisfatta dalla soluzione del sistema lineare

Risolviamolo usando metodo di sostituzione

Dunque e quindi

Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che

La matrice di passaggio da a è

Anche in questo caso, se dovessimo determinare ci basterebbe calcolare l'inversa della matrice , oppure costruirla determinando i coefficienti delle combinazioni lineari dei vettori della base rispetto alla base .

3) Sia lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2. Scrivere le matrici di passaggio dalla base

alla base canonica di

Svolgimento: iniziamo col determinare la matrice . A tal scopo esprimiamo i vettori di come combinazione lineare dei vettori di .

Dunque

A voi il compito di verificare che la matrice che effettua il passaggio inverso è

Caso particolare: matrice di cambiamento di base con base canonica

Se una tra le due basi coincide con la base canonica, il procedimento per la scrittura delle matrici di passaggio resta teoricamente lo stesso, ma si semplifica di molto all'atto pratico. A scanso di equivoci chiameremo le due basi coinvolte e , dove indica la base canonica dello spazio vettoriale .

Come risulta evidente dagli esempi 1) e 3) precedentemente svolti, in questo contesto possiamo scrivere direttamente la matrice di passaggio dalla base alla base canonica , semplicemente disponendo le coordinate dei vettori della base per colonna in una matrice.

Ribadiamo ancora una volta che la matrice così formata effettua il passaggio dalla base arbitraria alla base canonica e per determinare la matrice che effettua il cambiamento di base inverso, cioè , basta calcolare l'inversa della precedente matrice

oppure calcolare le componenti dei vettori della base canonica rispetto ai vettori della base .

È tutto! Se volete vedere parecchi esercizi svolti, nonché tutti gli esempi possibili e immaginabili, potete passare direttamente alla scheda correlata di esercizi risolti. In alternativa vi basta effettuare una ricerca qui su YM: potete trovare tutto quello che vi serve in un click!

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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