Operazioni tra vettori

Le prime operazioni tra vettori che vengono studiate sono la somma, la differenza e il prodotto di un vettore per uno scalare; per quanto semplici non vanno assolutamente sottovalutate, infatti sono fondamentali per lo studio degli argomenti che affronteremo nelle prossime lezioni, primo tra tutti il concetto di spazio vettoriale.

In questa lezione ci occupiamo delle operazioni di somma e differenza tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare, lavorando in R^n. Considereremo come casi particolari il piano e lo spazio, indicati rispettivamente con R^2 e R^3, dove le operazioni di somma e differenza tra vettori possono essere risolte anche geometricamente per mezzo della regola del parallelogramma o del metodo punta-coda.

Per ogni operazione daremo la definizione, elencheremo le varie proprietà e mostreremo qualche esempio, spiegando come si applicano la regola del parallelogramma e il metodo punto coda ai vettori del piano e dello spazio. Se non l'avete già fatto, prima di cominciare vi consigliamo di dare un'occhiata alla nostra lezione sui vettori.

Somma e differenza tra vettori

Siano u = (u_1, u_2, ..., u_n) e v = (v_1, v_2, ..., v_n) due vettori di R^n.

1) La somma tra vettori è un'operazione interna

+: R^n×R^n → R^n ; (u, v) ↦ u+v

che associa ai vettori u e v un nuovo vettore, detto vettore somma, le cui componenti sono date dalla somma delle componenti di u e di v

u+v = (u_1+v_1, u_2+v_2, ..., u_n+v_n)

2) L'operazione di differenza tra vettori è una legge che associa ai vettori u e v il vettore differenza u−v le cui componenti sono date dalla differenza delle rispettive componenti.

u−v = (u_1−v_1, u_2−v_2, ..., u_n−v_n)

Esempio di somma e di differenza tra vettori

Calcolare la somma e la differenza tra i vettori

u = (1,−5, 7, 4) ; v = (−2, 8,−12, 3)

Svolgimento:

u+v = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3, u_4+v_4) = (1+(−2), −5+8, 7+(−12), 4+3) = (−1, 3,−5, 7) ; u−v = (u_1−v_1, u_2−v_2, u_3−v_3, u_4−v_4) = (1−(−2), −5−8, 7−(−12), 4−3) = (3,−13, 19, 1)

Somma algebrica di vettori

Si è soliti definire la differenza tra due vettori u e v come la somma tra u e l'opposto di v. In simboli

u−v = u+(−v)

dove −v ha per componenti gli opposti delle componenti di v, per intenderci le componenti di v cambiate di segno.

In questo modo la differenza tra vettori altro non è se non una somma e, proprio per questo, non si parla di somma e differenza, ma semplicemente di somma algebrica tra vettori.

Metodi grafici per la somma e la differenza tra vettori

Descriviamo ora due metodi con cui è possibile individuare graficamente il vettore somma e il vettore differenza associati a due vettori u e v del piano o dello spazio.

Regola del parallelogramma

Siano overrightarrowAB un rappresentante del vettore u e overrightarrowCD un rappresentante del vettore v.

Per trovare il vettore somma u+v e il vettore differenza u−v con la regola del parallelogramma si procede nel modo seguente:

- con una traslazione (che lascia quindi invariati modulo, direzione e verso) spostiamo il segmento orientato overrightarrowCD in modo che la sua origine C coincida con l'origine A del segmento orientato overrightarrowAB;

- costruiamo il parallelogramma avente come lati i due segmenti AB e CD.

Il vettore somma è il segmento orientato overrightarrowAE, mentre il vettore differenza è overrightarrowDB, ciascuno dei quali coincide con una diagonale del parallelogramma, da cui deriva il nome di questo metodo grafico.

Regola del parallelogramma

Somma e differenza di due vettori con la regola del parallelogramma

Metodo punta coda

Prima di parlarvi del metodo punta coda è bene specificare che la coda di un vettore applicato è il suo punto di applicazione, mentre con punta si intende il suo estremo finale, quello in corrispondenza della punta della freccia.

Siano u e v due vettori del piano o dello spazio.

Per determinare il vettore somma col metodo punta coda dobbiamo traslare il vettore v in modo che la sua coda coincida con la punta di u.

Il vettore somma u+v è quello che unisce la coda di u con la punta di v.

Metodo punta coda

Somma di due vettori col metodo punta coda.

Per individuare il vettore differenza si deve trovare l'opposto del vettore v, che ha stesso modulo e stessa direzione di v ma verso opposto, e procedere allo stesso modo usando i vettori u e −v.

Proprietà della somma tra vettori

Qui di seguito abbiamo riportato le proprietà della somma algebrica tra vettori, indicando con u, v, w tre vettori qualsiasi di R^n, con n arbitrario.

1) Proprietà commutativa

u+v = v+u

2) Proprietà associativa

u+(v+w) = (u+v)+w

3) Elemento neutro: il vettore nullo 0 funge da elemento neutro della somma, ossia:

v+0 = v = 0+v

4) Esistenza dell'opposto: per ogni vettore v esiste uno ed un solo vettore, detto l'opposto di v e indicato −v, tale che

v+(−v) = 0 = −v+v

Per chi ha affrontato l'Algebra universitaria, tali proprietà ci permettono di affermare che (R^n,+) è un gruppo commutativo, detto anche gruppo abeliano.

Prodotto di un vettore per uno scalare

Siano λ ∈ R un numero reale, che d'ora in poi diremo scalare, e v = (v_1, v_2, ..., v_n) un vettore di R^n.

Il prodotto di uno scalare per un vettore è un'operazione esterna

R×R^n → R^n ; (λ, v) ↦ λ v

che alla coppia (λ, v) associa un nuovo vettore, le cui componenti si ottengono moltiplicando ogni componente di v per lo scalare λ.

λ v = λ(v_1, v_2, ..., v_n) = (λ v_1, λ v_2, ..., λ v_n)

Esempio di prodotto di un vettore per uno scalare

Siano v = (−1, 3, 5,−9) e λ = −2. Calcolare il prodotto tra il vettore v e lo scalare λ.

Svolgimento:

λ v = −2(−1, 3,5,−9) = (−2(−1), −2(3), −2(5), −2(−9)) = (2,−6,−10,18)

Metodo geometrico per il prodotto di un vettore per uno scalare

Se v è un vettore del piano o dello spazio diverso dal vettore nullo, il prodotto di v per lo scalare λ è:

- il vettore nullo, se λ = 0

In caso contrario, cioè se λ ≠ 0, λ v è un vettore avente:

-- direzione: uguale a quella del vettore v;

-- verso: uguale a quello di v se λ > 0, opposto a quello di v se λ < 0;

-- modulo: dato dal prodotto del valore assoluto di λ per il modulo di v, ossia:

||λ v|| = |λ| ||v||

Proprietà del prodotto di un vettore per uno scalare

Concludiamo questa lezione riportando le proprietà dell'operazione di prodotto di un vettore per uno scalare, dove abbiamo indicato con λ e μ due qualsiasi scalari e con u e v due generici vettori di R^n.

1) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma tra vettori:

λ (u+v) = λ u+λ v

2) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma tra scalari:

(λ+μ) v = λ v+μ v

3) Proprietà di omogeneità

λ (μ v) = (λ μ) v

4) Esistenza dell'elemento neutro:

1 v = v

Per il momento è tutto! Nel prossimo articolo ci occuperemo del prodotto scalare tra vettori di R^n e nei successivi affronteremo il prodotto vettoriale e il prodotto misto, operazioni definite solo per i vettori di R^3.

Nel frattempo, se qualche dubbio vi affligge, potete cercare le risposte ai vostri interrogativi con la barra di ricerca interna, e dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi sulle operazioni tra vettori. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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