Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un'operazione tra vettori definita solo nello spazio tridimensionale, e che restituisce un nuovo vettore perpendicolare ai vettori di partenza, il cui modulo dipende dai moduli dei vettori iniziali e dall'ampiezza dell'angolo convesso da essi formato, e il cui verso si determina con la regola della mano destra.

 

In questa lezione, oltre a dare la definizione di prodotto vettoriale come operazione di \mathbb{R}^3, ne descriveremo le principali proprietà, specificando quali sono e come si determinano verso, modulo e direzione del vettore risultante.

 

Vedremo, inoltre, qual è l'interpretazione geometrica del prodotto vettoriale e forniremo il metodo per calcolare il prodotto vettoriale tra vettori di cui sono note le componenti.

 

Definizione di prodotto vettoriale

 

Diciamo prodotto vettoriale tra due vettori \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3, e lo indichiamo con \vec{v} \times \vec{w} o con \vec{v} \wedge \vec{w}, l'operazione:

 

\\ \times: \ \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \\ \\ (\vec{v}, \vec{w}) \mapsto \vec{v} \times \vec{w}

 

che alla coppia ordinata di vettori (\vec{v}, \vec{w}) associa il vettore \vec{v} \times \vec{w} così definito:

 

- il modulo di \vec{v} \times \vec{w} è dato da:

 

||\vec{v} \times \vec{w}||=||v|| \ ||w|| \sin{(\theta)}

 

dove ||\vec{v}||, \ ||\vec{w}|| indicano rispettivamente la norma euclidea di \vec{v} e di \vec{w}, mentre \theta \in [0, \pi] è l'angolo convesso formato dai vettori \vec{v} e \vec{w}.

 

- la direzione di \vec{v} \times \vec{w} è la direzione ortogonale al piano che contiene i vettori \vec{v} e \vec{w};

 

- il verso di \vec{v} \times \vec{w} si ricava con la regola della mano destra: si dispone il pollice della mano destra nella direzione e nel verso del vettore \vec{v}, e l'indice nella direzione e nel verso di \vec{w}. Distendendo il dito medio perpendicolarmente al palmo della mano, si ha la direzione e il verso in cui punta il prodotto \vec{v} \times \vec{w}.

 

 

Regola della mano destra

Regola della mano destra

 

Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

 

Il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori non nulli \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3 è l'area del parallelogramma avente come lati consecutivi i rappresentanti \overrightarrow{AB} di \vec{v} e \overrightarrow{CD} di \vec{w}, applicati nel medesimo punto A \equiv C.

 

Per convincersene rappresentiamo due vettori aventi lo stesso punto di applicazione, indichiamo con \theta l'angolo convesso da essi formato e costruiamo il parallelogramma avente come lati consecutivi questi due vettori, così come mostrato nella seguente immagine

 

 

Interpretazione geometrica prodotto vettoriale

Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

 

 

L'area di un parallelogramma si calcola come prodotto tra le misure di base e altezza

 

\mbox{Area}_{ADEB} = \overline{AD} \cdot \overline{BH}

 

Osserviamo ora che:

 

- la misura del segmento AD=CD coincide con la norma del vettore \vec{w}

 

\overline{AD} = \overline{CD} = ||\vec{w}||

 

- BH è un cateto del triangolo rettangolo di vertici A, \ H, \ B, dunque per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo:

 

\overline{BH}=\overline{AB} \sin(\theta) = ||\vec{v}|| \sin(\theta)

 

Di conseguenza

 

\mbox{Area}_{ADEB} = \overline{AD} \cdot \overline{BH} = ||\vec{w}|| \cdot \left(||\vec{v}|| \sin(\theta)\right) = ||\vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \sin(\theta)

 

ed è proprio la relazione che esprime il modulo del prodotto vettoriale \vec{v} \times \vec{w}:

 

||\vec{v} \times \vec{w}||=||\vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \sin(\theta)

 

Proprietà del prodotto vettoriale

 

Elenchiamo ora le proprietà algebriche del prodotto vettoriale, che tornano spesso e volentieri utili nella risoluzione degli esercizi; siano \vec{v}, \vec{w}, \vec{u} \in\mathbb{R}^3 \mbox{ e } \lambda \in\mathbb{R}.

 

1) Proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori:

 

\\ \vec{v} \times (\vec{w}+\vec{u})= \vec{v} \times \vec{w} + \vec{v} \times \vec{u} \\ \\ (\vec{v}+\vec{w}) \times \vec{u}=\vec{v} \times \vec{u}+ \vec{w} \times \vec{u}

 

Se siete interessati alla dimostrazione della proprietà distributiva del prodotto vettoriale vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

 

2) Proprietà di bilinearità:

 

\lambda \vec{v} \times \vec{w} = \lambda (\vec{v} \times \vec{w})= \vec{v} \times \lambda \vec{w}

 

3) Non vale la proprietà associativa, ossia

 

(\vec{v} \times \vec{w}) \times \vec{u} \neq \vec{v} \times (\vec{w} \times \vec{u})

 

4) Proprietà anticommutativa, detta anche antisimmetrica, vale a dire

 

\vec{v} \times \vec{w}=- \vec{w} \times \vec{v}

 

5) Identità di Jacobi:

 

\vec{v} \times (\vec{w} \times \vec{u}) + \vec{w} \times (\vec{u} \times \vec{v})+ \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w})= \vec{0}

 

6) Condizione di parallelismo tra vettori: il prodotto vettoriale tra vettori non nulli restituisce il vettore nullo se e solo se i due vettori sono paralleli

 

\vec{v} \times \vec{w}= \vec{0} \iff \vec{u} \parallel \vec{v}

 

Per convincersene è sufficiente osservare che il modulo del prodotto vettoriale di due vettori non nulli

 

||\vec{v} \times \vec{w}|| = ||\vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \sin(\theta)

 

è zero se e solo se si annulla \sin(\theta), e ciò avviene per \theta = 0 \ \vee \ \theta = \pi, cioè quando i due vettori hanno la stessa direzione, e quindi sono paralleli.

 

7) Valgono, infine, delle proprietà molto carine e facili da ricavare che legano i versori coordinati \vec{i}, \ \vec{j}, \ \vec{k} associati agli assi del sistema di riferimento cartesiano in \mathbb{R}^3

 

\\ \vec{i} \times \vec{j} = -\vec{j} \times \vec{i} = \vec{k} \\ \\ \vec{j} \times \vec{k} = -\vec{k} \times \vec{j} = \vec{i} \\ \\ \vec{k} \times \vec{i} = -\vec{i} \times \vec{k} = \vec{j} \\ \\ \vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}

 

Come calcolare il prodotto vettoriale

 

Fissiamo un riferimento ortonormale di assi cartesiani in \mathbb{R}^3, in modo da poter ottenere una rappresentazione in coordinate di qualsiasi vettore.

 

In questo contesto è possibile fornire una formula per il prodotto vettoriale tra \vec{v}=(v_1, v_2, v_3) e \vec{w}=(w_1, w_2, w_3), in termini espliciti e in coordinate.

 

Chiamiamo (\vec{i}, \ \vec{j}, \ \vec{k}) i tre versori degli assi coordinati. Vale la formula

 

\vec{v} \times \vec{w}= (v_2w_3-v_3w_2)\vec{i}+(v_3w_1-v_1w_3)\vec{j}+(v_1w_2-v_2w_1)\vec{k}

 

Poiché le formule imparate a memoria sono spesso e volentieri inutili, vale la pena di imparare un metodo semplicissimo che ci permette di calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori qualsiasi. Per poterlo utilizzare bisogna però saper calcolare il determinante di una matrice 3x3, ad esempio con la regola di Sarrus. Se non siete qui per ripassare, e dunque non sapete di cosa stiamo parlando, potete tornare qui dopo aver studiato cos'è e come si calcola il determinante di una matrice.

 

Si tratta di disporre, in una matrice 3x3:

 

- nella prima riga le lettere \vec{i}, \ \vec{j}, \ \vec{k} che indicano i versori degli assi cartesiani;

 

- nella seconda riga le coordinate del vettore \vec{v}=(v_1, v_2, v_3);

 

- nella terza quelle di \vec{w}=(w_1, w_2, w_3).

 

\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}

 

Dopo aver composto tale matrice ne calcoliamo il determinante con Sarrus

 

\\ \vec{v}\times \vec{w}= \mbox{det}\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =v_2w_3 \vec{i}+v_3w_1 \vec{j}+v_1w_2 \vec{k} - w_1v_2 \vec{k} -v_1w_3\vec{j}-v_3w_2\vec{i}

 

riordiniamo il tutto, raccogliamo rispetto a \vec{i}, \ \vec{j}, \ \vec{k} e ci siamo:

 

\vec{v}\times \vec{w}= (v_2w_3-v_3w_2)\vec{i}+(v_3w_1-v_1w_3)\vec{j}+(v_1w_2-v_2w_1)\vec{k}

 

o, in forma vettoriale

 

\vec{v}\times \vec{w}=(v_2w_3-v_3w_2 , \ v_3w_1-v_1w_3, \ v_1w_2-v_2w_1)

 

Prima di vedere un esempio è giusto fare una piccola precisazione. Quella che abbiamo appena chiamato matrice in realtà non lo è, infatti i suoi elementi non sono tutti dello stesso tipo: la prima riga contiene dei vettori, mentre nelle altre due righe abbiamo riportato le componenti di due vettori.

 

Il determinante di una matrice inoltre restituisce per definizione uno scalare. Di conseguenza non è concettualmente corretto identificare il prodotto vettoriale come risultato del calcolo di un determinante; si tratta di un abuso di linguaggio necessario per fornire un metodo di calcolo che permette di non imparare formule a memoria. Tutto qui. :)

 

 

Esempio sul calcolo di un prodotto vettoriale

 

Calcolare il prodotto vettoriale tra \vec{v}=(1, -1, 2) e \vec{w}=(1, 2, 3)

 

Svolgimento: formiamo la "matrice" che ci permette di calcolare il prodotto vettoriale disponendo nella prima riga i versori \vec{i}, \ \vec{j}, \ \vec{k}, nella seconda le componenti del vettore \vec{v}=(1, -1, 2) e nella terza le componenti del vettore \vec{w}=(1, 2, 3)

 

\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}

 

Calcoliamone il determinante con la regola di Sarrus:

 

- riscriviamo la "matrice" accostando la matrice stessa alla sua destra

 

\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}

 

- consideriamo le diagonali principali complete che partono dai primi tre elementi della prima riga. Per ciascuna di esse calcoliamo il prodotto degli elementi situati sulla diagonale, dopodiché sommiamo i prodotti

 

\vec{i}(-1)(3) + \vec{j}(2)(1) + \vec{k}(1)(2)

 

- consideriamo le antidiagonali principali complete che partono dagli ultimi tre elementi della prima riga. Per ciascuna di esse calcoliamo il prodotto degli elementi situati sull'antidiagonale, dopodiché sommiamo i prodotti

 

\vec{k}(-1)(1) + \vec{j}(1)(3) + \vec{i}(2)(2)

 

- il determinante della matrice 3x3 è dato dalla differenza tra il primo termine e il secondo

 

\vec{v} \times \vec{w}= (-1)(3) \vec{i} + (2)(1) \vec{j} + (1)(2) \vec{k}\ \ - \ \ [ (-1)(1) \vec{k} + (1)(3) \vec{j} + (2)(2) \vec{i}] = \\ \\ = -3\vec{i} + 2\vec{j}+2\vec{k}+\vec{k}-3\vec{j}-4\vec{i} = \\ \\ = -7\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}

 

Finito! Le componenti del prodotto vettoriale sono le seguenti

 

\vec{v} \times \vec{w}= (-7, -1, 3)

 

 


 

La lezione successiva è l'ultima dedicata alle operazioni tra vettori, dove vedremo come si calcola il prodotto misto. Se doveste avere dubbi o domande usate barra di ricerca, su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi risolti. Per il resto vi consigliamo di usare il tool per il prodotto vettoriale online, utile a controllare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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