Sistema di generatori

Nel contesto degli spazi vettoriali un sistema di generatori (o insieme di generatori) di uno spazio o di un sottospazio vettoriale è un insieme di vettori che permette di ricostruire, mediante combinazioni lineari, tutti i vettori dello spazio.

Vediamo di essere più precisi partendo dalla definizione e vedendo alcuni esempi, per poi mostrarvi un metodo utile per stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori.

Dopo l'indipendenza lineare, il concetto di sistema di generatori è il secondo ingrediente che ci permetterà di definire la nozione di base di uno spazio vettoriale, dunque non sottovalutatelo.

Definizione di sistema di generatori di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Diciamo che un insieme di vettori v_1, v_2, ..., v_n ⊆ V è un sistema di generatori (o insieme di generatori) di V se ogni elemento di V si può esprimere mediante una combinazione lineare di tali vettori.

In altri termini, v_1, v_2, ..., v_n ⊆ V è un sistema di generatori di V se e solo se (per definizione) per ogni w ∈ V esistono n scalari a_1, a_2, ..., a_n ∈ K tali che

a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n = Σ_(i = 1)^(n)a_iv_i = w

Dunque, cos'è un sistema di generatori? È un insieme di vettori appartenenti allo spazio considerato che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio mediante opportune combinazioni lineari.

Il senso della definizione è proprio questo: basta un insieme di vettori a generare tutto lo spazio, cioè comunque si prenda un vettore dello spazio esiste una combinazione lineare dei vettori del sistema che restituisce il vettore dato.

Sembra poco chiaro? Per il momento è normale e qualche esempio chiarirà subito ogni eventuale dubbio.

Esempi di sistemi di generatori

1) Consideriamo lo spazio vettoriale R^2 dei vettori a due componenti reali, e consideriamo l'insieme

(0,2), (1,0), (1,1) ⊆ R^2

Esso costituisce un sistema di generatori di R^2, infatti per ogni w∈R^2, ossia per ogni (w_1,w_2)∈R^2, possiamo trovare dei coefficienti a_1, a_2, a_3∈R tali che

(w_1,w_2) = a_1(0,2)+a_2(1,0)+a_3(1,1)

Per fissare le idee proviamo, ad esempio, col vettore

w = (w_1,w_2) = (27,4)

Se consideriamo i coefficienti

a_1 = 2, a_2 = 27, a_3 = 0

allora

a_1(0,2)+a_2(1,0)+a_3(1,1) = 2·(0,2)+27·(1,0)+0·(1,1) = (0,4)+(27,0)+(0,0) = (27,4)

Ci teniamo a farvi osservare che, in generale, la scelta degli scalari a_1, a_2, a_3∈R non è unica. Anche considerando

a_1 = 1, a_2 = 25, a_3 = 2

si può costruire una combinazione lineare che genera il vettore w = (27,4), infatti

a_1(0,2)+a_2(1,0)+a_3(1,1) = 1·(0,2)+25·(1,0)+2·(1,1) = (0,2)+(25,0)+(2,2) = (27,4)

2) Dato lo spazio dei polinomi di grado al più due e a coefficienti reali

R_2[x]: = a+bx+cx^2, con a,b,c∈R

possiamo prendere come sistema di generatori l'insieme

1,x,x^2 ⊆ R_2[x]

Qualsiasi polinomio p(x) può infatti essere espresso come combinazione lineare degli elementi del precedente sistema

p(x) = a+bx+cx^2

D'altra parte, anche

1,x,x^2,x+3x^2

è un sistema di generatori di R_2[x]. Basta osservare che

p(x) = a+bx+cx^2+0(x+3x^2)

3) Nello spazio delle matrici quadrate di ordine 2 e a coefficienti reali

Mat(2,2,R): = [a b ; c d], con a,b,c,d ∈ R

l'insieme

[1 0 ; 0 0 ], [0 1 ; 0 0], [0 0 ; 1 0], [0 0 ; 0 1]

è un insieme di generatori.

Per convincersene è sufficiente osservare che una qualsiasi matrice quadrata

A = [a b ; c d]

si può ottenere attraverso la seguente combinazione lineare

[a b ; c d] = a·[1 0 ; 0 0 ]+b·[0 1 ; 0 0]+c·[0 0 ; 1 0]+d·[0 0 ; 0 1]

dove · denota il prodotto di una matrice per uno scalare e + è l'operazione di somma tra matrici.

Osservazioni

A) Non unicità: per ogni spazio vettoriale V ≠ 0 esistono infiniti sistemi di generatori.

B) Relazione tra base e sistema di generatori: per chi ha già studiato la nozione di base è utile tenere presente che:

- una base di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori;

- un sistema di generatori non è necessariamente una base.

Daremo la spiegazione di questi semplici fatti nella lezione sulle basi.

Come stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori

Per capire il seguente metodo, utile per verificare se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un assegnato spazio vettoriale, è necessario conoscere il teorema di Rouché Capelli e sapere cos'è e come si calcola il rango di una matrice.

Da un punto di vista teorico la nozione di sistema di generatori non dovrebbe creare problemi. Ciò che invece potrebbe confondere è il metodo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un dato spazio o sottospazio vettoriale.

Sia V uno spazio vettoriale qualsiasi su un campo K e immaginiamo di avere un insieme di n vettori v_1, v_2,...,v_n, ciascuno dei quali appartiene a V.

Stando alla definizione di sistema di generatori, per effettuare la verifica dobbiamo considerare un generico vettore w∈ V e stabilire se esistono n scalari a_1, a_2, ..., a_n ∈ K tali che

a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n = w (*)

Data l'arbitrarietà del vettore w, se tali scalari esistono allora v_1, v_2,...,v_n è un sistema di generatori di V, non lo è in caso contrario.

Il trucco consiste nello svolgere i calcoli al primo membro dell'equazione (*), ricavando un'uguaglianza tra vettori, a cui associamo un sistema lineare nelle incognite a_1, a_2, ..., a_n.

In particolare:

- se V = R^n, l'equazione (*) si traduce nell'uguaglianza tra due vettori di R^n, che consente di formare il sistema lineare imponendo l'uguaglianza componente per componente;

- se V = R_(n)[x], ossia lo spazio dei polinomi di grado al più n, l'equazione vettoriale (*) si tramuta in un sistema lineare le cui equazioni si ottengono mediate il principio di identità dei polinomi;

- se V = Mat(m,n,R), ossia lo spazio delle matrici di dimensione m×n e a coefficienti in R, l'equazione vettoriale (*) si tramuta in un'uguaglianza tra matrici. Le equazioni del sistema lineare si ottengono imponendo l'uguaglianza tra gli elementi delle matrici che occupano la medesima posizione.

Quale che sia lo spazio vettoriale in esame, al sistema lineare nelle incognite a_1, a_2, ..., a_n associamo la forma matriciale

Ax = b

dove A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore colonna delle incognite a_1, a_2, ..., a_n e b è il vettore colonna dei termini noti.

Affinché v_1, v_2,...,v_n sia un sistema di generatori, Ax = b deve ammettere soluzione, dunque il tutto si traduce nello studio della compatibilità del sistema lineare.

Per il teorema di Rouché Capelli, Ax = b ammette soluzione se e solo se il rango della matrice incompleta A è uguale al rango della matrice completa (A|b) associata al sistema.

In definitiva:

- se rk(A) = rk(A|b) l'insieme dei vettori considerati è certamente un sistema di generatori;

- se rk(A) ≠ rk(A|b) allora l'insieme di vettori non è un sistema di generatori per lo spazio vettoriale.

Onde evitare di confondevi con le notazioni proposte, vediamo subito qualche esempio che renderà subito chiaro il metodo di verifica.

Esempi: come stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori

1) Vogliamo capire se il seguente insieme di vettori è un sistema di generatori di R^3

(1,0,1), (0,0,3), (1,2,1), (1,-1,0)

Svolgimento: tali vettori generano R^3 se e solo se per ogni w∈ R^3 esistono quattro scalari a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ R tali che

a_1(1,0,1)+a_2(0,0,3)+a_3(1,2,1)+a_4(1,-1,0) = w

Scriviamo le coordinate del generico vettore w

w = (w_1,w_2,w_3) ∈ R^3

sostituiamole nella precedente relazione e svolgiamo i calcoli al primo membro

a_1(1,0,1)+a_2(0,0,3)+a_3(1,2,1)+a_4(1,-1,0) = (w_1,w_2,w_3) ; (a_1,0,a_1)+(0,0,3a_2)+(a_3,2a_3,a_3)+(a_4,-a_4,0) = (w_1,w_2,w_3) ; (a_1+a_3+a_4, 2a_3-a_4, a_1+3a_2+a_3) = (w_1,w_2,w_3)

Uguagliando le componenti otteniamo il seguente sistema lineare parametrico nelle incognite a_1, a_2, a_3, a_4

a_1+a_3+a_4 = w_1 ; 2a_3-a_4 = w_2 ; a_1+3a_2+a_3 = w_3

Scriviamo la matrice incompleta A e la matrice completa (A|b) a esso associate

A = [1 0 1 1 ; 0 0 2 -1 ; 1 3 1 0 ] ; (A|b) = (1 0 1 1 ; 0 0 2 -1 ; 1 3 1 0 | w_1 ; w_2 ; w_3)

I vettori in esame sono un sistema di generatori di R^3 se e solo se

rk(A) = rk(A|b)

La matrice (A|b) contiene i parametri w_1, w_2, w_3 e la matrice A è una sua sottomatrice, dunque per lo studio del rango conviene usare il metodo di eliminazione gaussiana e ridurre a scala la matrice completa; in questo modo otterremo anche una riduzione della matrice incompleta e potremo ricavare il rango di entrambe in un colpo solo.

(A|b) = (1 0 1 1 ; 0 0 2 -1 ; 1 3 1 0 | w_1 ; w_2 ; w_3)

Effettuiamo la sostituzione

R_3 → -R_1+R_3 = [-1 0 -1 -1 | -w_1]+[1 3 1 0 | w_3] = [0 3 0 -1 | -w_1+w_3]

e riportiamola nella precedente matrice

(A|b)'= (1 0 1 1 ; 0 0 2 -1 ; 0 3 0 -1 | w_1 ; w_2 ;-w_1+w_3)

Scambiando la seconda riga con la terza si ottiene la matrice ridotta

(A|b)''= (1 0 1 1 ; 0 3 0 -1 ; 0 0 2 -1 | w_1 ;-w_1+w_3 ; w_2)

che ha tre pivot: a_(11)''= 1, a_(22)''= 3, a_(33)''= 2.

Possiamo allora concludere che

rk(A) = rk(A|b) = 3

per qualsiasi valore di (w_1, w_2, w_3).

I vettori assegnati costituiscono dunque un sistema di generatori di R^3.

2) Sia R_2[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 e siano

p_1(x) = 1+x+x^2 ; p_2(x) = 2+x ; p_3(x) = 4+3x+2x^2

tre suoi elementi. Verificare se l'insieme p_1(x), p_2(x), p_3(x) ⊆ R_2[x] è un insieme di generatori per R_2[x].

Svolgimento: i polinomi dati generano lo spazio vettoriale R_2[x] se e solo se ogni

p(x) = a+bx+cx^2 ∈ R_2[x]

può essere scritto come una loro combinazione lineare.

Siano allora a_1, a_2, a_3 ∈ R tre scalari e imponiamo

a_1 p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x) = p(x) ; a_1(1+x+x^2)+a_2(2+x)+a_3(4+3x+2x^2) = a+bx+cx^2 ; a_1+a_1x+a_1x^2+2a_2+a_2x+4a_3+3a_3x+2a_3x^2 = a+bx+cx^2 ; a_1+2a_2+4a_3+(a_1+a_2+3a_3)x+(a_1+2a_3)x^2 = a+bx+cx^2

Per il principio di identità dei polinomi la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare

a_1+2a_2+4a_3 = a ; a_1+a_2+3a_3 = b ; a_1+2a_3 = c

le cui incognite, attenzione, sono a_1, a_2, a_3.

Scriviamo le matrici associate al sistema

A = [1 2 4 ; 1 1 3 ; 1 0 2 ] ; (A|b) = (1 2 4 ; 1 1 3 ; 1 0 2 | a ; b ; c)

e riduciamo a scala la matrice completa con il metodo di eliminazione di Gauss effettuando dapprima le sostituzioni

R_2 → -R_1+R_2 = [-1 -2 -4 | -a]+[1 1 3 | b] = [0 -1 -1 | -a+b] ; R_3 → -R_1+R_3 = [-1 -2 -4 | -a]+[1 0 2 | c] = [0 -2 -2 | -a+c]

che ci permettono di annullare gli elementi della prima colonna sottostanti a_(11) = 1

(A|b)'= (1 2 4 ; 0 -1 -1 ; 0 -2 -2 | a ;-a+b ;-a+c)

Per concludere la riduzione a scala sostituiamo la terza riga della precedente matrice con

R_3 → -2R_2+R_3 = [0 2 2 | 2a-2b]+[0 -2 -2 | -a+c] = [0 0 0 | a-2b+c]

ed ecco la matrice ridotta

(A|b)''= (1 2 4 ; 0 -1 -1 ; 0 0 0 | a ;-a+b ; a-2b+c)

Osserviamo ora che il rango di A è 2, infatti la matrice incompleta ridotta

[1 2 4 ; 0 -1 -1 ; 0 0 0]

ha due pivot, mentre la matrice completa ridotta ne ha tre, di cui a-2b+c dipende dalla scelta dei parametri a, b, c. Ciò è sufficiente a concludere che i polinomi p_1(x), p_2(x), p_3(x) non formano un sistema di generatori per R_2[x].

Se infatti si scelgono, ad esempio, i valori

a = 3, b = 1, c = 2

allora il rango della matrice completa è 3 ed è diverso dal rango della matrice incompleta, per cui i polinomi in oggetto non generano tutto R_2[x], ma solo i suoi elementi della forma p(x) = a+bx+cx^2 tali che a-2b+c = 0.

Osservazioni sul metodo usato per stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori

Il metodo di verifica esposto e usato negli esempi potrebbe sembrare abbastanza laborioso, ma è l'unico procedimento che possiamo usare con gli strumenti acquisiti nelle precedenti lezioni.

Quando si studia il concetto di sistema di generatori non è ancora stata introdotta la nozione di base e quindi non è ancora stato definito il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale.

Una volta note tali nozioni (che introdurremo tra un paio di lezioni), il metodo di verifica si semplifica parecchio.

Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n e v_1, v_2, ... v_k ⊆ V, allora tale insieme è un sistema di generatori per V se e solo se:

A) k ≥ n

e, allo stesso tempo

B) v_1, v_2, ... v_k contiene n vettori linearmente indipendenti.

In definitiva, se un insieme di vettori ha cardinalità minore della dimensione dello spazio a cui appartengono, allora possiamo immediatamente concludere che l'insieme assegnato non è un sistema di generatori.

Se invece un insieme di vettori ha cardinalità maggiore o uguale della dimensione n dello spazio, allora per stabilire se costituisce un insieme di generatori dello spazio è sufficiente capire se tale insieme contiene n vettori linearmente indipendenti.

Con questo abbiamo concluso! Non perdetevi la scheda correlata di esercizi risolti sui sistemi di generatori e, più in generale, non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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