Forma canonica di Jordan

Si dice forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A una particolare matrice a blocchi triangolare superiore e simile ad . Viene solitamente indicata con J_A ed è caratterizzata dall'avere gli autovalori di A sulla diagonale principale, degli 0 o degli 1 sulla diagonale soprastante e tutti 0 altrove.

State leggendo la prima di due lezioni dedicate a questo argomento. In questa pagina introdurremo dapprima i concetti di blocco di Jordan e di matrice di Jordan, utili a capire com'è fatta la forma canonica di Jordan associata a una matrice quadrata . Enunceremo poi il teorema di Jordan che specifica quali condizioni deve soddisfare per essere una matrice jordanizzabile, e concluderemo spiegandovi come si calcola la forma di Jordan, corredando il tutto con numerosi esempi.

Nella prossima lezione invece, dedicata agli autovettori generalizzati, impareremo a costruire la matrice jordanizzante. Vi spiegheremo cioè come si determina la matrice invertibile tale che il prodotto $P^{-1}AP$ restituisca la forma canonica di Jordan di .

Blocco di Jordan e matrici di Jordan

Siano $\mathbb{K}$ un campo di scalari e $\lambda \in \mathbb{K}$ . Fissato un numero naturale $p \ge 1$ , si dice blocco di Jordan di ordine relativo a $\lambda$ e si indica con $J_p{(\lambda)}$ la seguente matrice quadrata di ordine

$J_p{(\lambda)}=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{p,p}$

In formule, un blocco di Jordan di ordine relativo a $\lambda$ è una matrice quadrata $J_p{(\lambda)}=(a_{ij})$ i cui elementi $a_{ij}$ sono

$a_{ij}=\begin{cases}\lambda \ \mbox{ se } i=j \\ 1 \ \mbox{ se } j=i+1 \\ 0 \ \mbox{ negli altri casi}\end{cases}$

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per introdurre la definizione di matrice di Jordan: una matrice quadrata di ordine a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$ è una matrice di Jordan se è una matrice a blocchi del tipo

$A=\begin{pmatrix}J_{p_1}(\lambda_1) & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & J_{p_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & J_{p_3}(\lambda_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & J_{p_r}(\lambda_r)\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{n,n}$

dove ogni $J_{p_i}(\lambda_i), \mbox{ con } 1\le i \le r$ è un blocco di Jordan di ordine relativo allo scalare $\lambda_i$ e la somma degli ordini dei vari blocchi uguaglia l'ordine della matrice, cioè

Esempi di matrici di Jordan

Le seguenti sono tutte matrici di Jordan

$\\ A=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_3(2) \end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}3&1&0&0 \\ 0&3&0&0 \\ 0&0&-1&1 \\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_2(3)&0 \\ 0&J_2(-1) \end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}5&1&0&0&0&0 \\ 0&5&1&0&0&0 \\ 0&0&5&0&0&0 \\ 0&0&0&7&1&0 \\ 0&0&0&0&7&0 \\ 0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_3(5)&0&0 \\ 0&J_2(7)&0 \\ 0&0&J_1(4) \end{pmatrix}$

Teorema di Jordan e forma canonica di Jordan di una matrice

Sia una matrice quadrata di ordine . Se esiste una matrice di Jordan tale che $A \mbox{ e } J$ siano matrici simili, allora si dice che è una matrice jordanizzabile.

Ricordando la definizione di matrici simili possiamo affermare che una matrice è jordanizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile tale che $P^{-1}AP$ è una matrice di Jordan.

Enunciamo ora il teorema di Jordan, che ci dice quali condizioni deve soddisfare una matrice quadrata affinché sia jordanizzabile.

Una matrice quadrata di ordine è jordanizzabile in un campo $\mathbb{K}$ se e solo se il suo polinomio caratteristico è completamente decomponibile in $\mathbb{K}$ . In altri termini, una matrice è jordanizzabile in $\mathbb{K}$ se e solo se tutti i suoi autovalori sono elementi di $\mathbb{K}$ .

Inoltre, se è una matrice jordanizzabile, la sua forma canonica di Jordan è una matrice di Jordan i cui blocchi sono costruiti a partire dagli autovalori di .

A questo punto rimane solo da capire quale dev'essere l'ordine di ciascun blocco e quanti sono i blocchi relativi a ciascun autovalore. Il tutto ruota attorno alle molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, dunque in caso di dubbi conviene dare prima un'occhiata alla lezione del link.

Come costruire la forma canonica di Jordan di una matrice

Sia una matrice di ordine jordanizzabile nel campo $\mathbb{K}$ e siano $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_{r}$ i suoi autovalori distinti.

Il primo passo per determinare la forma canonica di Jordan di è calcolare la molteplicità algebrica $m_a(\lambda_i)$ e la molteplicità geometrica $m_g(\lambda_i)$ di ciascun autovalore: per ogni $i \in \{1,2,...,r\}$ , il numero di blocchi di Jordan relativi a $\lambda_i$ è pari alla molteplicità geometrica di $\lambda_i$ , mentre la molteplicità algebrica $m_a(\lambda_i)$ fornisce la somma degli ordini di tutti i blocchi di Jordan relativi a $\lambda_i$ .

Per fissare le idee supponiamo che uno degli autovalori di abbia molteplicità algebrica 3 e molteplicità geometrica 2. Allora a tale autovalore sono associati 2 blocchi di Jordan e la somma dei loro ordini dev'essere 3. Ciò vuol dire che necessariamente un blocco ha ordine 1 e l'altro ha ordine 2.

Se, invece, uno degli autovalori ha molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2, allora a esso sono associati sempre 2 blocchi di Jordan, ma la somma dei loro ordini dev'essere 4 e ciò vuol dire che potrebbero esserci due blocchi di ordine 2 oppure un blocco di ordine 3 e uno di ordine 1. Dunque non sempre è sufficiente conoscere le sole molteplicità algebrica e geometrica e ciò accade, o meglio potrebbe accadere, quando l'ordine della matrice iniziale è maggiore di 3.

Purtroppo l'argomento è molto delicato da spiegare e onde evitare di mettere troppa carne sul fuoco abbiamo deciso di procedere per gradi: vedremo dapprima come si determina la forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 2 per poi passare all'ordine 3 e, infine, esporre il metodo per ricavare la forma canonica di Jordan di una matrice di ordine superiore a 3.

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 2

Sia una matrice quadrata di ordine 2 jordanizzabile in $\mathbb{K}$ e siano $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$ i suoi autovalori.

1) Se $\lambda_1 \neq \lambda_2$ allora entrambi hanno molteplicità algebrica e molteplicità geometrica pari a 1, ossia

$m_a(\lambda_1)=m_g(\lambda_1)=1\\ \\ m_a(\lambda_2)=m_g(\lambda_2)=1$

Di conseguenza è una matrice diagonalizzabile e a ciascun autovalore è associato un solo blocco di Jordan di ordine 1. Dunque la forma canonica di Jordan di è

$J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}$

2) Se $\lambda_1 = \lambda_2$ vuol dire che ammette un unico autovalore, diciamolo $\lambda$ , con molteplicità algebrica 2

$m_a(\lambda)=2$

La molteplicità geometrica può essere 1 oppure 2:

$m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\end{cases}$

2a) Se $m_g(\lambda)=2$ allora abbiamo 2 blocchi di Jordan e ciascuno di essi deve avere ordine 1, dunque

$m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=2\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$

2b) Se $m_g(\lambda)=1$ allora all'autovalore $\lambda$ è associato un solo blocco di Jordan e il suo ordine deve per forza essere 2, ragion per cui

$m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=1\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$

Esempio

Determinare la forma canonica di Jordan di

$A=\begin{pmatrix} 4&-1 \\ 2&1 \end{pmatrix}$

Calcoliamone gli autovalori che, ricordiamo, sono gli zeri del polinomio caratteristico di

$\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_2)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = (4-\lambda)(1-\lambda)+2 = \\ \\ = 4-4\lambda-\lambda+\lambda^2+2 = \\ \\ =\lambda^2-5\lambda+6$

Risolvendo l'equazione di secondo grado

$\lambda^2-5\lambda+6 = 0$

si ottengono le soluzioni

$\lambda_1=2, \ \lambda_2=3$

ha 2 autovalori distinti, dunque la forma canonica di Jordan a essa associata è

$J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 3

Consideriamo una matrice quadrata di ordine 3 jordanizzabile in $\mathbb{K}$ e siano $\lambda_1, \ \lambda_2, \ \lambda_3$ i suoi autovalori.

1) Se i tre autovalori sono distinti $(\lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \lambda_3)$ , allora ogni autovalore ha molteplicità algebrica 1 e dunque anche molteplicità geometrica pari a 1

$m_a(\lambda_1)=m_g(\lambda_1)=1\\ \\ m_a(\lambda_2)=m_g(\lambda_2)=1\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1$

La matrice è diagonalizzabile e la forma canonica di Jordan coincide con la matrice diagonale avente sulla diagonale principale i tre autovalori.

$J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}$

2) Supponiamo ora che due autovalori coincidano $\lambda_1=\lambda_2=:\lambda$ e che $\lambda_3$ sia diverso da $\lambda$ .

Allora $m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1$ e quindi all'autovalore $\lambda_3$ è associato un solo blocco di Jordan di ordine 1.

Di contro, la molteplicità algebrica di $\lambda$ è 2 e la sua molteplicità geometrica può essere 1 oppure 2.

$m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\end{cases}\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1$

2a) Se $m_g(\lambda)=1$ vi è un solo blocco di Jordan di ordine 2 associato a $\lambda$ e quindi

$\begin{matrix}m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=1\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1 \end{matrix}\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}$

2b) Se $m_g(\lambda)=2$ , a $\lambda$ sono associati 2 blocchi di ordine 1, dunque

$\begin{matrix}m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=2\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1 \end{matrix}\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}$

3) Infine, consideriamo il caso in cui i tre autovalori coincidono $(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=:\lambda)$ . In tale eventualità $m_a(\lambda)=3$ , mentre la molteplicità geometrica potrebbe essere 1, 2 oppure 3.

$m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\\ 3\end{cases}$

3a) Se $m_g(\lambda)=1$ vi è un solo blocco di ordine 3

$m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=1\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$

3b) Se $m_g(\lambda)=2$ vi sono 2 blocchi e, necessariamente, uno ha ordine 2 e l'altro ha di ordine 1

$m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=2\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$

3c) Se $m_g(\lambda)=3$ la matrice è diagonalizzabile e la forma canonica di Jordan a essa associata presenta 3 blocchi di ordine 1

$m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=3\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$

Esempio

Calcolare la forma canonica di Jordan associata alla seguente matrice

$A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix}$

Il polinomio caratteristico di è

$\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\right]=\\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 9&2&7-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = (1-\lambda)[(1-\lambda)(7-\lambda)+9] =\\ \\ = ..\mbox{conti}.. = (1-\lambda)(\lambda-4)^2$

I suoi zeri, e quindi gli autovalori di , sono

$\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica 1:

$\lambda_2=4$ con molteplicità algebrica 2: .

La molteplicità geometrica di un autovalore è sempre compresa tra 1 e la relativa molteplicità algebrica, dunque senza fare alcun conto possiamo immediatamente concludere che :

Rimane da calcolare la molteplicità geometrica di $\lambda_2=4$

$\\ m_g(4):=n-\mbox{rk}(A-4\mbox{Id}_3) = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&4\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\begin{pmatrix} -3&1&-1 \\ 0&-3&0 \\ 9&2&3\end{pmatrix}= 3-2=1$

Quindi

$m_a(4)=2,\ m_g(4)=1$

All'autovalore $\lambda_1=1$ risulta associato un solo blocco di Jordan di ordine 1, mentre all'autovalore $\lambda_2=4$ è associato un solo blocco di Jordan di ordine 2 e quindi

$J_A=\begin{pmatrix}J_1(1)&0 \\ 0&J_2(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&1 \\ 0&0&4\end{pmatrix}$

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine maggiore di 3

Quando l'ordine di una matrice jordanizzabile è maggiore di 3, il calcolo delle sole molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori a essa associati potrebbe non bastare.

Per convincersene supponiamo di avere una matrice di ordine che ammette un unico autovalore $\lambda$ con molteplicità algebrica 5, e supponiamo che la sua molteplicità geometrica sia $m_g(\lambda)=2$ .

All'autovalore $\lambda$ risultano associati 2 blocchi di Jordan e la somma dei loro ordini dev'essere 5, ma si presentano due possibilità: un blocco di ordine 1 e uno di ordine 4, oppure un blocco di ordine 3 e uno di ordine 2.

Quando si presenta tale eventualità, per determinare l'ordine dei blocchi relativi a un autovalore si procede come spiegato qui di seguito.

Supponiamo che $\lambda$ sia un autovalore di una matrice quadrata jordanizzabile di ordine .

Sia

$r_{k}:=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_n)^k$

dove $\mbox{Id}_n$ è la matrice identità di ordine , $(A-\lambda \mbox{Id}_n)^k$ è la potenza k-esima della matrice $(A-\lambda \mbox{Id}_n)$ , ottenuta moltiplicando la matrice k volte per se stessa, e $\mbox{rk}$ indica il rango. Allora:

- il numero di blocchi di ordine 1 relativi a $\lambda$ è

- il numero di blocchi di ordine 2 relativi a $\lambda$ è

- il numero di blocchi di ordine 3 relativi a $\lambda$ è

- e così via...

In generale il numero di blocchi di ordine $m, \mbox{ con } m\ge 1$ , relativi a $\lambda$ è

$r_{m-1}-2r_m+r_{m+1}$

Esempi

1) Determinare la forma canonica di Jordan della matrice

$A=\begin{pmatrix}2&0&-1&1 \\ 1&1&-1&1 \\ 1&-3&2&-1 \\ 0&-3&2&-1\end{pmatrix}$

Lasciamo a voi il compito di verificare che ha un unico autovalore $\lambda=1$ con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2.

La forma canonica di Jordan di presenta allora 2 blocchi relativi a $\lambda=1$ e la somma dei loro ordini dev'essere 4. Le possibilità sono: due blocchi di ordine 2, oppure un blocco di ordine 3 e un blocco di ordine 1.

Il numero degli eventuali blocchi di ordine 1 è dato da , dove:

$\\ n=4 \\ \\ r_1=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_3)^1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3) \\ \\ r_2=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_3)^2 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3)^2$

Calcoliamo dapprima la matrice $A-\mbox{Id}_3$

$A-\mbox{Id}_3 = \begin{pmatrix}2&0&-1&1 \\ 1&1&-1&1 \\ 1&-3&2&-1 \\ 0&-3&2&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix}$

il cui rango è 2, e quindi

$r_1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3) = 2$

Calcoliamo poi la potenza $(A-\mbox{Id}_3)^2$ svolgendo il prodotto riga per colonna tra la matrice $(A-\mbox{Id}_3)$ e se stessa

$\\ (A-\mbox{Id}_3)^2 = (A-\mbox{Id}_3)(A-\mbox{Id}_3) = \\ \\ = \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ -1&0&1&-1 \\ -1&0&1&-1\end{pmatrix}$

Evidentemente, il rango di questa matrice è 1, ragion per cui

$r_2= \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3)^2 = 1$

Di conseguenza il numero di blocchi di ordine 1 relativi all'autovalore $\lambda_1=1$ è

$n-2r_1+r_2=4- (2 \cdot 2) + 1 = 4-4+1 = 1$

Per quanto detto poc'anzi la forma canonica di Jordan di deve allora contenere un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 3 relativi a $\lambda=1$ , ossia

$J_A=\begin{pmatrix}J_1(1) & 0 \\ 0 & J_3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

2) Calcolare la forma canonica di Jordan di

$A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}$

La matrice ammette due autovalori:

$\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2;

$\lambda_2=2$ con molteplicità algebrica e geometrica pari a 1.

La forma canonica di Jordan associata ad ha un blocco di Jordan di ordine 1 relativo a $\lambda_2$ e due blocchi di Jordan relativi a $\lambda_1$ la cui somma degli ordini è 4; dunque a $\lambda_1$ possono essere associati due blocchi di ordine 2 o un blocco di ordine 3 e uno di ordine 1.

Per scoprire quale delle due eventualità è quella corretta procediamo al calcolo del numero degli eventuali blocchi di ordine 1 associati a $\lambda_1=1$ , che è dato da , con:

$\\ n=5 \\ \\ r_1=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_5)^1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5) \\ \\ r_2=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_5)^2 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)^2$

Ora:

$A-\mbox{Id}_5 = \begin{pmatrix}1&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

il cui rango è 3 e quindi $r_1=\mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)=3$ .

$(A-\mbox{Id}_5)^2 = \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&2&2 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

e il suo rango è 2, ragion per cui $r_2=\mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)^2=2$ .

Il numero di blocchi di ordine 1 relativi a $\lambda_1=1$ è

$n-2r_1+r_2=5-(2\cdot 3)+2 = 5-6+2=1$

In definitiva, la forma canonica di Jordan associata ad ha un blocco di ordine 1 relativo a $\lambda_2=2$ e un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 3 relativi a $\lambda_1=1$ .

$J_A=\begin{pmatrix}J_1(2)&0&0 \\ 0&J_1(1)&0 \\ 0&0&J_3(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&0 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}$

Osservazioni finali

Concludiamo questa lezione con qualche osservazione, che avremmo potuto riportare nel corso della lezione ma che abbiamo preferito posticipare per non interrompere il filo del discorso.

Osservazione 1 (Matrici triangolabili e matrici jordanizzabili)

Chi ha già letto la precedente lezione sulle matrici triangolarizzabili avrà sicuramente notato una certa somiglianza tra il teorema di triangolazione e il teorema di Jordan. In effetti la condizione che deve soddisfare una matrice per essere jordanizzabile è la stessa che ne assicura la triangolarizzabilità.

Ciò non è un caso e non dovrebbe sorprendere più di tanto: la forma canonica di Jordan di una matrice è, infatti, una particolare matrice triangolare superiore simile ad .

Osservazione 2 (Unicità della forma canonica di Jordan)

La forma canonica di Jordan associata a una matrice jordanizzabile è unica a meno di permutazioni dei blocchi di Jordan di cui è composta. In altri termini, l'ordine con cui i blocchi compaiono nella forma canonica non è fondamentale per la sua individuazione: permutando tali blocchi si ottiene una forma canonica simile alla precedente.

Osservazione 3 (Forma canonica di Jordan e matrici simili)

La forma canonica di Jordan caratterizza la similitudine tra matrici, cioè $A \mbox{ e } B$ sono matrici simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo $\mathbb{K}$ (a meno dell'ordine dei blocchi).

Capirne il motivo è assai semplice: dette $J_A \mbox{ e } J_B$ le forme canoniche di Jordan associate alla matrici $A \mbox{ e } B$ , dalla definizione di forma canonica segue che $A \mbox{ e } J_A$ , così come $B \mbox{ e } J_B$ , sono matrici simili.

Di conseguenza se è simile a , per transitività si ha che è simile a e dall'unicità della forma canonica segue che . Viceversa, se sempre per transitività si ha che è simile a .

Qui abbiamo finito. Vi consigliamo di fare quanti più esercizi possibili e di tenere ben presenti quelle poche ma importanti nozioni teoriche correlate alla forma canonica di Jordan. Torneranno molto utili nelle prossime lezioni, soprattutto in quella dedicata al polinomio minimo e nella successiva, in cui vedremo come si calcola la matrice jordanizzante: impareremo cioè a costruire quella matrice tale che il prodotto $P^{-1}AP$ coincida con la forma canonica di Jordan di .

Per il resto vi raccomandiamo il tool per ricavare la forma canonica di Jordan online, la scheda di esercizi correlati e all'occorrenza la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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