Forma canonica di Jordan

Si dice forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A una particolare matrice a blocchi triangolare superiore e simile ad A. Viene solitamente indicata con JA ed è caratterizzata dall'avere gli autovalori di A sulla diagonale principale, degli 0 o degli 1 sulla diagonale soprastante e tutti 0 altrove.

 

State leggendo la prima di due lezioni dedicate a questo argomento. In questa pagina introdurremo dapprima i concetti di blocco di Jordan e di matrice di Jordan, utili a capire com'è fatta la forma canonica di Jordan J_A associata a una matrice quadrata A. Enunceremo poi il teorema di Jordan che specifica quali condizioni deve soddisfare A per essere una matrice jordanizzabile, e concluderemo spiegandovi come si calcola la forma di Jordan, corredando il tutto con numerosi esempi.

 

Nella prossima lezione invece, dedicata agli autovettori generalizzati, impareremo a costruire la matrice jordanizzante. Vi spiegheremo cioè come si determina la matrice invertibile P tale che il prodotto P^{-1}AP restituisca la forma canonica di Jordan di A.

 

Blocco di Jordan e matrici di Jordan

 

Siano \mathbb{K} un campo di scalari e \lambda \in \mathbb{K}. Fissato un numero naturale p \ge 1, si dice blocco di Jordan di ordine p relativo a \lambda e si indica con J_p{(\lambda)} la seguente matrice quadrata di ordine p

 

J_p{(\lambda)}=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 &  \lambda \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{p,p}

 

In formule, un blocco di Jordan di ordine p relativo a \lambda è una matrice quadrata J_p{(\lambda)}=(a_{ij}) i cui elementi a_{ij} sono

 

a_{ij}=\begin{cases}\lambda \ \mbox{ se } i=j \\ 1 \ \mbox{ se } j=i+1 \\ 0 \ \mbox{ negli altri casi}\end{cases}

 

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per introdurre la definizione di matrice di Jordan: una matrice quadrata A di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K} è una matrice di Jordan se è una matrice a blocchi del tipo

 

A=\begin{pmatrix}J_{p_1}(\lambda_1) & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & J_{p_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & J_{p_3}(\lambda_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & J_{p_r}(\lambda_r)\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{n,n}

 

dove ogni J_{p_i}(\lambda_i), \mbox{ con } 1\le i \le r è un blocco di Jordan di ordine p_i relativo allo scalare \lambda_i e la somma degli ordini dei vari blocchi uguaglia l'ordine della matrice, cioè

 

p_1+p_2+...+p_r=n

 

 

Esempi di matrici di Jordan

 

Le seguenti sono tutte matrici si Jordan

 

\\ A=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_3(2) \end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}3&1&0&0 \\ 0&3&0&0 \\ 0&0&-1&1 \\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_2(3)&0 \\ 0&J_2(-1) \end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}5&1&0&0&0&0 \\ 0&5&1&0&0&0 \\ 0&0&5&0&0&0 \\ 0&0&0&7&1&0 \\ 0&0&0&0&7&0 \\ 0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_3(5)&0&0 \\ 0&J_2(7)&0 \\ 0&0&J_1(4) \end{pmatrix}

 

Teorema di Jordan e forma canonica di Jordan di una matrice

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Se esiste una matrice di Jordan J tale che A \mbox{ e } J siano matrici simili, allora si dice che A è una matrice jordanizzabile.

 

Ricordando la definizione di matrici simili possiamo affermare che una matrice A è jordanizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che P^{-1}AP è una matrice di Jordan.

 

Enunciamo ora il teorema di Jordan, che ci dice quali condizioni deve soddisfare una matrice quadrata affinché sia jordanizzabile.

 

Una matrice quadrata A di ordine n è jordanizzabile in un campo \mathbb{K} se e solo se il suo polinomio caratteristico è completamente decomponibile in \mathbb{K}. In altri termini, una matrice è jordanizzabile in \mathbb{K} se e solo se tutti i suoi autovalori sono elementi di \mathbb{K}.

 

Inoltre, se A è una matrice jordanizzabile, la sua forma canonica di Jordan è una matrice di Jordan i cui blocchi sono costruiti a partire dagli autovalori di A.

 

A questo punto rimane solo da capire quale dev'essere l'ordine di ciascun blocco e quanti sono i blocchi relativi a ciascun autovalore. Il tutto ruota attorno alle molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, dunque in caso di dubbi conviene dare prima un'occhiata alla lezione del link.

 

Come costruire la forma canonica di Jordan di una matrice

 

Sia A una matrice di ordine n jordanizzabile nel campo \mathbb{K} e siano \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_{r} i suoi autovalori distinti.

 

Il primo passo per determinare la forma canonica di Jordan di A è calcolare la molteplicità algebrica m_a(\lambda_i) e la molteplicità geometrica m_g(\lambda_i) di ciascun autovalore: per ogni i \in \{1,2,...,r\}, il numero di blocchi di Jordan relativi a \lambda_i è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_i, mentre la molteplicità algebrica m_a(\lambda_i) fornisce la somma degli ordini di tutti i blocchi di Jordan relativi a \lambda_i.

 

Per fissare le idee supponiamo che uno degli autovalori di A abbia molteplicità algebrica 3 e molteplicità geometrica 2. Allora a tale autovalore sono associati 2 blocchi di Jordan e la somma dei loro ordini dev'essere 3. Ciò vuol dire che necessariamente un blocco ha ordine 1 e l'altro ha ordine 2.

 

Se, invece, uno degli autovalori ha molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2, allora a esso sono associati sempre 2 blocchi di Jordan, ma la somma dei loro ordini dev'essere 4 e ciò vuol dire che potrebbero esserci due blocchi di ordine 2 oppure un blocco di ordine 3 e uno di ordine 1. Dunque non sempre è sufficiente conoscere le sole molteplicità algebrica e geometrica e ciò accade, o meglio potrebbe accadere, quando l'ordine n della matrice iniziale è maggiore di 3.

 

Purtroppo l'argomento è molto delicato da spiegare e onde evitare di mettere troppa carne sul fuoco abbiamo deciso di procedere per gradi: vedremo dapprima come si determina la forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 2 per poi passare all'ordine 3 e, infine, esporre il metodo per ricavare la forma canonica di Jordan di una matrice di ordine superiore a 3.

 

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 2

 

Sia A una matrice quadrata di ordine 2 jordanizzabile in \mathbb{K} e siano \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K} i suoi autovalori.

 

1) Se \lambda_1 \neq \lambda_2 allora entrambi hanno molteplicità algebrica e molteplicità geometrica pari a 1, ossia

 

m_a(\lambda_1)=m_g(\lambda_1)=1\\ \\ m_a(\lambda_2)=m_g(\lambda_2)=1

 

Di conseguenza A è una matrice diagonalizzabile e a ciascun autovalore è associato un solo blocco di Jordan di ordine 1. Dunque la forma canonica di Jordan J_A di A è

 

J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}

 

 

2) Se \lambda_1 = \lambda_2 vuol dire che A ammette un unico autovalore, diciamolo \lambda, con molteplicità algebrica 2

 

m_a(\lambda)=2

 

La molteplicità geometrica può essere 1 oppure 2:

 

m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\end{cases}

 

 

2a) Se m_g(\lambda)=2 allora abbiamo 2 blocchi di Jordan e ciascuno di essi deve avere ordine 1, dunque

 

m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=2\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}

 

 

2b) Se m_g(\lambda)=1 allora all'autovalore \lambda è associato un solo blocco di Jordan e il suo ordine deve per forza essere 2, ragion per cui

 

m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=1\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}

 

 

Esempio

 

Determinare la forma canonica di Jordan di

 

A=\begin{pmatrix} 4&-1 \\ 2&1 \end{pmatrix}

 

Calcoliamone gli autovalori che, ricordiamo, sono gli zeri del polinomio caratteristico di A

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_2)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = (4-\lambda)(1-\lambda)+2 = \\ \\ = 4-4\lambda-\lambda+\lambda^2+2 = \\ \\ =\lambda^2-5\lambda+6

 

Risolvendo l'equazione di secondo grado

 

\lambda^2-5\lambda+6 = 0

 

si ottengono le soluzioni

 

\lambda_1=2, \ \lambda_2=3

 

A ha 2 autovalori distinti, dunque la forma canonica di Jordan a essa associata è

 

J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}

 

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine 3

 

Consideriamo una matrice quadrata A di ordine 3 jordanizzabile in \mathbb{K} e siano \lambda_1, \ \lambda_2, \ \lambda_3 i suoi autovalori.

 

1) Se i tre autovalori sono distinti (\lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \lambda_3), allora ogni autovalore ha molteplicità algebrica 1 e dunque anche molteplicità geometrica pari a 1

 

m_a(\lambda_1)=m_g(\lambda_1)=1\\ \\ m_a(\lambda_2)=m_g(\lambda_2)=1\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1

 

La matrice è diagonalizzabile e la forma canonica di Jordan coincide con la matrice diagonale avente sulla diagonale principale i tre autovalori.

 

J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}

 

 

2) Supponiamo ora che due autovalori coincidano \lambda_1=\lambda_2=:\lambda e che \lambda_3 sia diverso da \lambda.

 

Allora m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1 e quindi all'autovalore \lambda_3 è associato un solo blocco di Jordan di ordine 1.

 

Di contro, la molteplicità algebrica di \lambda è 2 e la sua molteplicità geometrica può essere 1 oppure 2.

 

m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\end{cases}\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1

 

 

2a) Se m_g(\lambda)=1 vi è un solo blocco di Jordan di ordine 2 associato a \lambda e quindi

 

\begin{matrix}m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=1\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1 \end{matrix}\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}

 

 

2b) Se m_g(\lambda)=2, a \lambda sono associati 2 blocchi di ordine 1, dunque

 

\begin{matrix}m_a(\lambda)=2,\ m_g(\lambda)=2\\ \\ m_a(\lambda_3)=m_g(\lambda_3)=1 \end{matrix}\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}

 

 

3) Infine, consideriamo il caso in cui i tre autovalori coincidono (\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=:\lambda). In tale eventualità m_a(\lambda)=3, mentre la molteplicità geometrica potrebbe essere 1, 2 oppure 3.

 

m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=\begin{cases}1\\ 2\\ 3\end{cases}

 

 

3a) Se m_g(\lambda)=1 vi è un solo blocco di ordine 3

 

m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=1\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}

 

 

3b) Se m_g(\lambda)=2 vi sono 2 blocchi e, necessariamente, uno ha ordine 2 e l'altro ha di ordine 1

 

m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=2\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}

 

 

3c) Se m_g(\lambda)=3 la matrice è diagonalizzabile e la forma canonica di Jordan a essa associata presenta 3 blocchi di ordine 1

 

m_a(\lambda)=3,\ m_g(\lambda)=3\ \ \to\ \ J_A=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}

 

 

Esempio

 

Calcolare la forma canonica di Jordan associata alla seguente matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix}

 

Il polinomio caratteristico di A è

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\right]=\\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 9&2&7-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = (1-\lambda)[(1-\lambda)(7-\lambda)+9] =\\ \\ = ..\mbox{conti}.. = (1-\lambda)(\lambda-4)^2

 

I suoi zeri, e quindi gli autovalori di A, sono

 

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 1: m_a(1)=1

 

\lambda_2=4 con molteplicità algebrica 2: m_a(4)=2.

 

La molteplicità geometrica di un autovalore è sempre compresa tra 1 e la relativa molteplicità algebrica, dunque senza fare alcun conto possiamo immediatamente concludere che m_g(1)=1:

 

m_a(1)=m_g(1)=1

 

Rimane da calcolare la molteplicità geometrica di \lambda_2=4

 

\\ m_g(4):=n-\mbox{rk}(A-4\mbox{Id}_3) = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 9&2&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&4\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\begin{pmatrix} -3&1&-1 \\ 0&-3&0 \\ 9&2&3\end{pmatrix}= 3-2=1

 

Quindi

 

m_a(4)=2,\ m_g(4)=1

 

All'autovalore \lambda_1=1 risulta associato un solo blocco di Jordan di ordine 1, mentre all'autovalore \lambda_2=4 è associato un solo blocco di Jordan di ordine 2 e quindi

 

J_A=\begin{pmatrix}J_1(1)&0 \\ 0&J_2(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&1 \\ 0&0&4\end{pmatrix}

 

Forma canonica di Jordan di una matrice di ordine maggiore di 3

 

Quando l'ordine di una matrice jordanizzabile è maggiore di 3, il calcolo delle sole molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori a essa associati potrebbe non bastare.

 

Per convincersene supponiamo di avere una matrice di ordine n=5 che ammette un unico autovalore \lambda con molteplicità algebrica 5, e supponiamo che la sua molteplicità geometrica sia m_g(\lambda)=2.

 

All'autovalore \lambda risultano associati 2 blocchi di Jordan e la somma dei loro ordini dev'essere 5, ma si presentano due possibilità: un blocco di ordine 1 e uno di ordine 4, oppure un blocco di ordine 3 e uno di ordine 2.

 

Quando si presenta tale eventualità, per determinare l'ordine dei blocchi relativi a un autovalore si procede come spiegato qui di seguito.

 

Supponiamo che \lambda sia un autovalore di una matrice quadrata jordanizzabile A di ordine n>3.

 

Sia

 

r_{k}:=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_n)^k

 

dove \mbox{Id}_n è la matrice identità di ordine n, (A-\lambda \mbox{Id}_n)^k è la potenza k-esima della matrice (A-\lambda \mbox{Id}_n), ottenuta moltiplicando la matrice k volte per se stessa, e \mbox{rk} indica il rango. Allora:

 

- il numero di blocchi di ordine 1 relativi a \lambda è

 

n-2r_1+r_2

 

- il numero di blocchi di ordine 2 relativi a \lambda è

 

r_1-2r_2+r_3

 

- il numero di blocchi di ordine 3 relativi a \lambda è

 

r_2-2r_3+r_4

 

- e così via...

 

In generale il numero di blocchi di ordine m, \mbox{ con } m\ge 1, relativi a \lambda è

 

r_{m-1}-2r_m+r_{m+1}

 

 

Esempi

 

1) Determinare la forma canonica di Jordan della matrice

 

A=\begin{pmatrix}2&0&-1&1 \\ 1&1&-1&1 \\ 1&-3&2&-1 \\ 0&-3&2&-1\end{pmatrix}

 

Lasciamo a voi il compito di verificare che A ha un unico autovalore \lambda=1 con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2.

 

La forma canonica di Jordan di A presenta allora 2 blocchi relativi a \lambda=1 e la somma dei loro ordini dev'essere 4. Le possibilità sono: due blocchi di ordine 2, oppure un blocco di ordine 3 e un blocco di ordine 1.

 

Il numero degli eventuali blocchi di ordine 1 è dato da n-2r_1+r_2, dove:

 

\\ n=4 \\ \\ r_1=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_3)^1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3) \\ \\ r_2=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_3)^2 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3)^2

 

Calcoliamo dapprima la matrice A-\mbox{Id}_3

 

A-\mbox{Id}_3 = \begin{pmatrix}2&0&-1&1 \\ 1&1&-1&1 \\ 1&-3&2&-1 \\ 0&-3&2&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix}

 

il cui rango è 2, e quindi

 

r_1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3) = 2

 

Calcoliamo poi la potenza (A-\mbox{Id}_3)^2 svolgendo il prodotto riga per colonna tra la matrice (A-\mbox{Id}_3) e se stessa

 

\\ (A-\mbox{Id}_3)^2 = (A-\mbox{Id}_3)(A-\mbox{Id}_3) = \\ \\ = \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 1&-3&1&-1 \\ 0&-3&2&-2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ -1&0&1&-1 \\ -1&0&1&-1\end{pmatrix}

 

Evidentemente, il rango di questa matrice è 1, ragion per cui

 

r_2= \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3)^2 = 1

 

Di conseguenza il numero di blocchi di ordine 1 relativi all'autovalore \lambda_1=1 è

 

n-2r_1+r_2=4- (2 \cdot 2) + 1 = 4-4+1 = 1

 

Per quanto detto poc'anzi la forma canonica di Jordan di A deve allora contenere un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 3 relativi a \lambda=1, ossia

 

J_A=\begin{pmatrix}J_1(1) & 0 \\ 0 & J_3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}

 

 

2) Calcolare la forma canonica di Jordan di

 

A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}

 

La matrice A ammette due autovalori:

 

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2;

 

\lambda_2=2 con molteplicità algebrica e geometrica pari a 1.

 

La forma canonica di Jordan associata ad A ha un blocco di Jordan di ordine 1 relativo a \lambda_2 e due blocchi di Jordan relativi a \lambda_1 la cui somma degli ordini è 4; dunque a \lambda_1 possono essere associati due blocchi di ordine 2 o un blocco di ordine 3 e uno di ordine 1.

 

Per scoprire quale delle due eventualità è quella corretta procediamo al calcolo del numero degli eventuali blocchi di ordine 1 associati a \lambda_1=1, che è dato da n-2r_1+r_2, con:

 

\\ n=5 \\ \\ r_1=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_5)^1 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5) \\ \\ r_2=\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_5)^2 = \mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)^2

 

Ora:

 

A-\mbox{Id}_5 = \begin{pmatrix}1&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}

 

il cui rango è 3 e quindi r_1=\mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)=3.

 

(A-\mbox{Id}_5)^2 = \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&2&2 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}

 

e il suo rango è 2, ragion per cui r_2=\mbox{rk}(A-\mbox{Id}_5)^2=2.

 

Il numero di blocchi di ordine 1 relativi a \lambda_1=1 è

 

n-2r_1+r_2=5-(2\cdot 3)+2 = 5-6+2=1

 

In definitiva, la forma canonica di Jordan associata ad A ha un blocco di ordine 1 relativo a \lambda_2=2 e un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 3 relativi a \lambda_1=1.

 

J_A=\begin{pmatrix}J_1(2)&0&0 \\ 0&J_1(1)&0 \\ 0&0&J_3(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&0 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}

 

Osservazioni finali

 

Concludiamo questa lezione con qualche osservazione, che avremmo potuto riportare nel corso della lezione ma che abbiamo preferito posticipare per non interrompere il filo del discorso.

 

 

Osservazione 1 (Matrici triangolabili e matrici jordanizzabili)

 

Chi ha già letto la precedente lezione sulle matrici triangolarizzabili avrà sicuramente notato una certa somiglianza tra il teorema di triangolazione e il teorema di Jordan. In effetti la condizione che deve soddisfare una matrice per essere jordanizzabile è la stessa che ne assicura triangolarizzabilità.

 

Ciò non è un caso e non dovrebbe sorprendere più di tanto: la forma canonica di Jordan di una matrice A è, infatti, una particolare matrice triangolare superiore simile ad A.

 

 

Osservazione 2 (Unicità della forma canonica di Jordan)

 

La forma canonica di Jordan J_A associata a una matrice jordanizzabile A è unica a meno di permutazioni dei blocchi di Jordan di cui è composta. In altri termini, l'ordine con cui i blocchi compaiono nella forma canonica non è fondamentale per la sua individuazione: permutando tali blocchi si ottiene una forma canonica simile alla precedente.

 

 

Osservazione 3 (Forma canonica di Jordan e matrici simili)

 

La forma canonica di Jordan caratterizza la similitudine tra matrici, cioè A \mbox{ e } B sono matrici simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo \mathbb{K} (a meno dell'ordine dei blocchi).

 

Capirne il motivo è assai semplice: dette J_A \mbox{ e } J_B le forme canoniche di Jordan associate alla matrici A \mbox{ e } B, dalla definizione di forma canonica segue che A \mbox{ e } J_A, così come B \mbox{ e } J_B, sono matrici simili.

 

Di conseguenza se A è simile a B, per transitività si ha che J_A è simile a J_B e dall'unicità della forma canonica segue che J_A=J_B. Viceversa, se J_A=J_B sempre per transitività si ha che A è simile a B.

 

 


 

Qui abbiamo finito. Vi consigliamo di fare quanti più esercizi possibile e di tenere ben presenti quelle poche ma importanti nozioni teoriche correlate alla forma canonica di Jordan. Torneranno molto utili nelle prossime lezioni, soprattutto in quella dedicata al polinomio minimo e nella successiva, in cui vedremo come si calcola la matrice jordanizzante: impareremo cioè a costruire quella matrice P tale che il prodotto P^{-1}AP coincida con la forma canonica di Jordan di A.

 

Per il resto vi raccomandiamo il tool per ricavare la forma canonica di Jordan online, la scheda di esercizi correlati e all'occorrenza la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: forma canonica di Jordan - teorema di Jordan - matrici jordanizzabili - cos'è e come si calcola la forma canonica di Jordan di una matrice.