Matrice triangolarizzabile

Una matrice triangolarizzabile (o matrice triangolabile) è una matrice quadrata simile a una matrice triangolare superiore; in altri termini, una matrice quadrata A è triangolarizzabile se esiste una matrice invertibile P tale che PT=AP, dove T è una matrice triangolare superiore dello stesso ordine di A.

 

Quella di cui ci occuperemo in questo articolo è la triangolazione di una matrice, detta anche triangolarizzazione per similitudine. Vedremo nella fattispecie quando e come si può costruire una matrice triangolare superiore che sia simile alla matrice di partenza. Per inciso, l'algoritmo di triangolarizzazione per similitudine non ha nulla a che fare con il metodo di eliminazione di Gauss.

 

Partiremo dalla definizione di matrice triangolarizzabile, per poi enunciare il teorema di triangolazione e mostrare come si triangolarizza una matrice e come si determina la matrice triangolarizzante. Nell'esporre i vari argomenti faremo largo uso dei concetti di autovalori e autovettori di una matrice, dunque è bene non avere dubbi a riguardo.

 

Definizione di matrice triangolarizzabile

 

Per dare la definizione di matrice triangolarizzabile consideriamo una matrice quadrata A di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K}.

 

A è una matrice triangolarizzabile (o matrice triangolabile) se è simile a una matrice triangolare superiore. Dalla definizione di matrici simili segue che:

 

A è una matrice triangolarizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile P di ordine n tale che

 

P^{-1}AP = T

 

dove T è una matrice triangolare superiore.

 

La matrice P prende il nome di matrice triangolarizzante di A.

 

Teorema di triangolazione

 

Il teorema di triangolazione (o teorema di triangolarizzabilità) fornisce una condizione necessaria e sufficiente utile a stabilire se una matrice quadrata è una matrice triangolabile.

 

Eccone l'enunciato: sia A una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K}. A è una matrice triangolabile se e solo se gli zeri del polinomio caratteristico di A appartengono al campo \mathbb{K}.

 

Gli zeri del polinomio caratteristico sono gli autovalori associati a una matrice, dunque possiamo affermare che una matrice è triangolarizzabile in un campo \mathbb{K} se e solo se tutti i suoi autovalori appartengono al campo K.

 

In definitiva, per stabilire se una matrice è triangolarizzabile in \mathbb{K} si devono calcolare i suoi autovalori; se sono tutti elementi di \mathbb{K} la matrice è triangolarizzabile, in caso contrario non lo è.

 

 

Osservazione (Triangolazione in un campo algebricamente chiuso)

 

Se \mathbb{K} è un campo algebricamente chiuso, ogni matrice a elementi in \mathbb{K} è triangolarizzabile.

 

Questo risultato è spesso assunto come corollario del teorema di triangolazione e la sua validità è garantita da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra, secondo cui ogni polinomio di grado n a coefficienti in un campo algebricamente chiuso ammette esattamente n radici (contate con la loro molteplicità).

 

Per fissare le idee, essendo \mathbb{K}=\mathbb{C} un campo algebricamente chiuso, ogni matrice a coefficienti reali o complessi è triangolarizzabile in \mathbb{C}.

 

 

Esempio

 

A=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ -1&-1&0 \\ 2&3&1\end{pmatrix}

 

è una matrice quadrata di ordine 3 a coefficienti reali, dunque è triangolabile in \mathbb{C}. Per stabilire se è triangolarizzabile anche in \mathbb{R} calcoliamone il polinomio caratteristico.

 

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&2&0 \\ -1&-1&0 \\ 2&3&1\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&2&0 \\ -1&-1&0 \\ 2&3&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 3 & 1-\lambda\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(1-\lambda)[(1-\lambda)(-1-\lambda)+2] = \\ \\ = (1-\lambda)(-1-\lambda+\lambda+\lambda^2 + 2) = \\ \\ =(1-\lambda)(\lambda^2+1)

 

Per il calcolo del determinante abbiamo usato la regola di Laplace e sviluppato i conti rispetto alla terza colonna, che contiene due termini nulli; in alternativa si può ricorrere alla regola di Sarrus.

 

Gli zeri del polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori di A sono

 

\lambda_1=1, \ \lambda_2=\imath, \ \lambda_3=-\imath

 

dove \imath è l'unità immaginaria. Due di essi non sono reali e quindi A non è triangolabile in \mathbb{R}.

 

Come triangolarizzare una matrice

 

Per triangolarizzare una matrice è sufficiente applicare i seguenti passaggi, che costituiscono quello che viene detto algoritmo di triangolazione (o algoritmo di triangolarizzazione per similitudine). Con quest'algoritmo è possibile determinare la matrice triangolare superiore simile alla matrice data e la matrice triangolarizzante.

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n \ge 2 triangolarizzabile nel campo \mathbb{K}.

 

1) Calcolare gli autovalori di A.

 

2) Calcolare una base per ciascuno degli autospazi relativi agli autovalori distinti di A ed elencare i vettori che le costituiscono: \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_r; come osservato nelle precedenti lezioni, tali vettori sono linearmente indipendenti.

 

3) Completare l'insieme

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_r\}

 

a base di \mathbb{K}^n usando l'algoritmo di completamento a base. Sia

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_r, \mathbf{v}_{r+1}, ..., \mathbf{v}_n\}

 

la base così ottenuta.

 

4) Scrivere la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} alla base canonica di \mathbb{K}^n. Tale matrice, che chiamiamo M, ha per colonne i vettori di \mathcal{B}.

 

5) Calcolare M^{-1}, cioè l'inversa della matrice M.

 

6) Svolgere il prodotto tra matrici M^{-1} A M.

 

Giunti a questo punto possono presentarsi due eventualità:

 

6a) se M^{-1}AM è una matrice triangolare superiore abbiamo finito: M^{-1}AM è la matrice triangolare superiore T simile ad A e M è la matrice triangolarizzante.

 

6b) Se M^{-1}AM non è una matrice triangolare superiore, passiamo al punto successivo.

 

7) Considerare la sottomatrice di M^{-1}AM di ordine n-r che si ottiene eliminandone le prime r righe e le prime r colonne. Chiamiamo questa sottomatrice A'.

 

8) Calcolare gli autovalori di A'.

 

9) Siano \mathbf{v}'_1, \mathbf{v}'_2, ..., \mathbf{v}'_m gli elementi delle basi degli autospazi di A' associati ad autovalori distinti. Completare l'insieme

 

\{\mathbf{v}'_1, \mathbf{v}'_2, ..., \mathbf{v}'_m\}

 

a base di \mathbb{K}^{n-r}, ottenendo così

 

\mathcal{B}'=\{\mathbf{v}'_1, \mathbf{v}'_2, ..., \mathbf{v}'_m, \mathbf{v}'_{m+1}, ..., \mathbf{v}'_{n-r}\}.

 

10) Scrivere la matrice M' di cambiamento di base da \mathcal{B}' alla base canonica di \mathbb{K}^{n-r}.

 

11) Costruire la seguente matrice a blocchi

 

C=\left(\begin{array}{cc|cc} & & \\ \mbox{Id}_r & & & O_1 \\ & &\\ \cline{1-4} & & \\ O_2 & & & M' \\ & &\end{array}\right)

 

dove \mbox{Id}_r è la matrice identità di ordine r, O_1 è una matrice rettangolare nulla con r righe e n-r colonne, O_2 è una matrice rettangolare nulla con n-r righe e r colonne e M' è la matrice di cambiamento di base calcolata al punto 10).

 

12) Calcolare il prodotto tra matrici MC.

 

13) Detta P=MC la matrice prodotto, calcolare l'inversa P^{-1}.

 

14) Svolgere il prodotto P^{-1}AP.

 

14a) Se P^{-1}AP è una matrice triangolare superiore abbiamo finito. P è la matrice triangolarizzante e P^{-1}AP è la matrice triangolare simile ad A.

 

14b) Se P^{-1}AP non è una matrice triangolare superiore reiterare l'algoritmo a partire dal punto 8) in cui bisogna considerare la sottomatrice A'' di ordine n-r-m che si estrae da P^{-1}AP eliminandone le prime r+m righe e le prime r+m colonne.

 

 

Esempi sulla triangolazione di una matrice

 

1) Stabilire se la seguente matrice è triangolarizzabile in \mathbb{R}, e in caso affermativo determinare la matrice triangolarizzante e la matrice triangolare simile a essa.

 

A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}

 

Svolgimento: iniziamo dal calcolo degli autovalori, che sono gli zeri del polinomio caratteristico associato ad A.

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 1&-1&2\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 1&-1&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda &0&0 \\ 1&-\lambda&1 \\ 1&-1&2-\lambda\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(1-\lambda)[(-\lambda)(2-\lambda)+1] = \\ \\ = (1-\lambda)(-2\lambda+\lambda^2 + 1) = \\ \\ =(1-\lambda)(\lambda-1)^2=\\ \\ =-(\lambda-1)^3

 

L'unica radice del polinomio caratteristico è \lambda_0 = 1, dunque la matrice ammette un unico autovalore (con molteplicità algebrica 3) ed è triangolabile in \mathbb{R}.

 

Per calcolare la matrice triangolarizzante e la matrice triangolare superiore simile ad A seguiamo i passi dell'algoritmo di triangolazione e procediamo al calcolo degli autovettori.

 

A tal proposito dobbiamo determinare una base per l'autospazio relativo a \lambda_0 = 1, il che equivale a calcolare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A-\lambda_0 \mbox{Id}_3) \mathbf{x}=\mathbf{0}

 

dove \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{3} è il vettore colonna delle incognite e \mathbf{0}\in \mathbb{R}^{3} è il vettore colonna formato da soli zero. Ora

 

A-1 \mbox{Id}_3=A-\mbox{Id}_3=\\ \\ =\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 1&-1&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ =\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 1&-1&1 \\ 1&-1&1\end{pmatrix}

 

Dunque

 

(A-\mbox{Id}_3) \mathbf{x}=\mathbf{0}\\ \\ \begin{pmatrix}0&0&0 \\ 1&-1&1 \\ 1&-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{cases} 0=0 \\ x-y+z=0 \\ x-y+z=0\end{cases}

 

La matrice dei coefficienti associata al sistema ha rango 1 e per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette \infty^{3-1}=\infty^2 soluzioni.

 

Assegniamo allora a due delle incognite il ruolo di parametro libero. Poniamo, ad esempio, y=\alpha, \ z=\beta \mbox{ con } \alpha, \beta \in \mathbb{R} e ricaviamo il valore dell'incognita x

 

x-y+z=0 \iff x=y-z \iff x=\alpha-\beta

 

Le soluzioni cercate sono

 

(x,y,z)=(\alpha-\beta, \alpha, \beta)=\alpha(1,1,0)+\beta(-1,0,1)

 

e una base per l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_0 = 1 è

 

\mathcal{B}_{V_1} = \{(1,1,0), \ (-1,0,1)\}

 

Di conseguenza \mathbf{v}_1=(1,1,0), \ \mathbf{v}_2=(-1,0,1) sono due autovettori linearmente indipendenti relativi a \lambda_0 = 1.

 

Procediamo oltre e completiamo l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di \mathbb{R}^3.

 

Aggiungendo il vettore \mathbf{v}_3=\mathbf{e}_1=(1,0,0) si ottiene una base di \mathbb{R}^3

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1=(1,1,0), \ \mathbf{v}_2=(-1,0,1), \ \mathbf{v}_3=(1,0,0)\}

 

Scriviamo la matrice M di cambiamento di base da \mathcal{B} alla base canonica di \mathbb{R}^3

 

M=\begin{pmatrix}1&-1&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}

 

e calcoliamone l'inversa

 

M^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&-1&1 \end{pmatrix}

 

Il prodotto

 

M^{-1}AM = \begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 1&-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

 

restituisce una matrice triangolare superiore, dunque possiamo fermarci.

 

T=M^{-1}AM=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

 

è la matrice triangolare simile ad A e

 

M=\begin{pmatrix}1&-1&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}

 

è la matrice triangolarizzante.

 

 

2) Data la seguente matrice

 

A=\begin{pmatrix}6&1&-3 \\ -2&9&-7 \\ -2&1&9\end{pmatrix}

 

verificare che sia triangolarizzabile in \mathbb{R} e calcolare la matrice triangolare simile ad A e quella triangolarizzante.

 

Svolgimento: lasciamo a voi il compito di calcolare autovalori e una base per ciascuno dei corrispondenti autospazi. Dovreste trovare \lambda_0=8 come autovalore con molteplicità algebrica 3 (e dunque A è triangolabile), mentre una base dell'autospazio è formata dal vettore \mathbf{v}_1=(1,2,0).

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1=(1,2,0), \ \mathbf{v}_2=(1,0,0), \ \mathbf{v}_3=(0,0,1)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3 formata a partire dal vettore \mathbf{v}_1.

 

La matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} alla base canonica di \mathbb{R}^3 è

 

M=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 2&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}

 

la sua inversa è

 

M^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 2&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0 \\ 1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

 

e il prodotto

 

M^{-1}AM = \begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0 \\ 1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}6&1&-3 \\ -2&9&-7 \\ -2&1&9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1&0 \\ 2&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-1&-\frac{7}{2} \\ 0&7&\frac{1}{2} \\ 0&-2&9 \end{pmatrix}

 

restituisce una matrice che non è triangolare superiore.

 

Sia A' la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la prima riga e la prima colonna di M^{-1}AM

 

A'=\begin{pmatrix} 7&\frac{1}{2} \\ -2&9 \end{pmatrix}

 

Tale matrice ammette come unico autovalore \lambda_0'=8 con molteplicità algebrica 2 e l'autospazio associato ha come base il vettore \mathbf{v}_1'=(1,2).

 

Completiamo l'insieme formato dal solo vettore \mathbf{v}_1' a base di \mathbb{R}^2

 

\mathcal{B}'=\{\mathbf{v}_1'=(1,2), \ \mathbf{v}_2'=(1,0)\}

 

e scriviamo la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' alla base canonica di \mathbb{R}^2

 

M'=\begin{pmatrix}1&1 \\ 2&0\end{pmatrix}

 

Formiamo ora la matrice a blocchi

 

C=\left(\begin{array}{cc|cc} & & \\ \mbox{Id}_1 & & & O_1 \\ & &\\ \cline{1-4} & & \\ O_2 & & & M' \\ & &\end{array}\right)

 

dove \mbox{Id}_1 è la matrice identità di ordine uno, O_1 è una matrice rettangolare nulla con una riga e due colonne, O_2 è una matrice rettangolare nulla con due righe e una colonna e M' è la matrice di cambiamento di base appena calcolata. Dunque

 

C=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&2&0\end{pmatrix}

 

Calcoliamo il prodotto tra le matrici M \mbox{ e } C

 

P:=MC=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 2&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 2&0&0 \\ 0&2&0\end{pmatrix}

 

Determiniamo l'inversa della matrice P

 

P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 2&0&0 \\ 0&2&0\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&\frac{1}{2} \\ 1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}

 

e svolgiamo il prodotto

 

P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&\frac{1}{2} \\ 1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}6&1&-3 \\ -2&9&-7 \\ -2&1&9\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 2&0&0 \\ 0&2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-8&1 \\ 0&8&-1 \\ 0&0&8 \end{pmatrix}

 

Abbiamo finito! Il risultato è la matrice triangolare simile ad A e P è la matrice triangolarizzante.

 

Matrici triangolarizzabili e matrici diagonalizzabili

 

Nel concludere questa lezione è utile osservare che se A è una matrice diagonalizzabile nel campo \mathbb{K} allora A è anche triangolarizzabile in \mathbb{K}, e applicando i passi dell'algoritmo di triangolazione si ricava che:

 

- la matrice triangolare superiore simile ad A è una matrice diagonale i cui elementi della diagonale principale sono gli autovalori di A ripetuti con la loro molteplicità;

 

- la matrice triangolarizzante coincide con la matrice diagonalizzante, ossia è quella matrice avente per colonne gli autovettori di A.

 

Il viceversa tuttavia non vale in generale, cioè una matrice triangolarizzabile non è necessariamente diagonalizzabile. A conferma di ciò basta considerare le due matrici dei precedenti esempi, che sono triangolabili ma non diagonalizzabili.

 

 


 

Sebbene l'algoritmo di triangolazione sia relativamente semplice da capire e da ricordare, è di difficile applicazione. Se l'ordine delle matrici è superiore a 3, infatti, calcolare l'inversa o il prodotto tra matrici diventa un compito assai arduo.

 

Nella prossima lezione, dedicata alla forma canonica di Jordan, introdurremo un metodo spesso più veloce, che permette di ottenere una matrice triangolare superiore simile a una matrice triangolabile. La matrice ottenuta inoltre è una matrice a blocchi avente gli autovalori sulla diagonale principale, degli 0 o degli 1 nella diagonale soprastante, e tutti 0 altrove.

 

Ci fermiamo qui. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi risolti, e per qualsiasi necessità ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: condizioni per la triangolarizzabilità di una matrice - teorema di triangolabilità - come triangolarizzare una matrice - come trovare la matrice triangolarizzante.