Sottospazi supplementari e sottospazi complementari

I concetti di sottospazi supplementari e sottospazi complementari non sono assoluti; alcuni libri di testo li usano come sinonimi, altri ne danno definizioni differenti. Purtroppo non possiamo sapere qual è la definizione scelta dal vostro docente, quindi forniremo una panoramica completa, lasciando a voi la facoltà di scegliere ciò che si addice alle vostre esigenze.

 

Dopo aver dato le varie definizioni vi spiegheremo come si determinano un sottospazio supplementare e un sottospazio complementare rispetto a un altro sottospazio già noto, corredando il tutto con numerosi esempi.

 

Prima di entrare nel vivo della lezione è bene sapere che quanto tra poco diremo ruota attorno ai concetti di somma e intersezione di sottospazi vettoriali e di somma diretta tra sottospazi, quindi se avete dubbi a riguardo è bene prima dare un'occhiata alle rispettive lezioni.

 

Definizione di sottospazi supplementari

 

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato e definito su un campo \mathbb{K} e siano S \mbox{ e } T due sottospazi vettoriali di V tali che V sia somma diretta di S \mbox{ e } T.

 

I sottospazi S \mbox{ e } T si dicono sottospazi supplementari in V.

 

In altri termini, due sottospazi S \mbox{ e } T di uno spazio vettoriale V sono supplementari se e solo se V=S \oplus T.

 

S \mbox{ e } T \mbox{ sottospazi supplementari in } V \iff V = S \oplus T

 

Inoltre, se V=S \oplus T allora si dice che S è il supplementare di T \mbox{ in } V e che T è il supplementare di S \mbox{ in } V.

 

Dalla definizione segue che per verificare se due sottospazi sono supplementari in V bisogna stabilire se sono in somma diretta rispetto a V.

 

 

Esempio di sottospazi supplementari

 

Stabilire se

 

\\ S=\mbox{Span}((1,0)) \\ \\ T=\mbox{Span}((0,1))

 

sono sottospazi supplementari in V=\mathbb{R}^2.

 

Svolgimento: S \mbox{ e } T sono sottospazi di \mathbb{R}^2 generati da un solo vettore, dunque ciascun insieme di generatori è una base per il relativo sottospazio generato, ossia

 

\\ \mathcal{B}_S=\{(1,0)\} \\ \\ \mathcal{T}_S=\{(0,1)\}

 

e quindi

 

\mbox{dim}(S)=\mbox{dim}(T)=1

 

L'insieme formato dall'unione delle due basi

 

\mathcal{B}_S \cup \mathcal{B}_T = \{(1,0), \ (0,1)\}

 

è un sistema di generatori di S+T, ma è anche una base, infatti i vettori sono linearmente indipendenti. Di conseguenza

 

\mbox{dim}(S+T)=2\ \ \ \mbox{e}\ \ \ S+T=\mathbb{R}^2

 

Per la formula di Grassmann

 

\mbox{dim}(S \cap T) = \mbox{dim}(S+T)-\mbox{dim}(S)-\mbox{dim}(T) = 2-1-1 = 0

 

quindi il sottospazio intersezione contiene il solo vettore nullo S \cap T = \{\mathbf{0}\}.

 

Ciò permette di concludere che \mathbb{R}^2=S \oplus T e quindi i due sottospazi sono supplementari in \mathbb{R}^2.

 

Come determinare un sottospazio supplementare

 

Consideriamo uno spazio vettoriale V finitamente generato e sia S un suo sottospazio; vogliamo trovare un sottospazio supplementare a S, cioè un sottospazio T \mbox{ di } V tale che V=S \oplus T.

 

È bene notare che una richiesta del genere equivale a chiedere di determinare un sottospazio di V che sia in somma diretta con S.

 

Chiarito ciò, per risolvere questa tipologia di esercizi dobbiamo:

 

1) individuare una base del sottospazio S, solitamente assegnato tramite equazioni cartesiane o attraverso un sistema di generatori. A tal proposito è bene aver letto le lezioni:

 

come estrarre una base da un sistema di generatori

 

- come ricavare una base da un sottospazio definito da equazioni cartesiane.

 

1a) Se la dimensione di S coincide con la dimensione dello spazio vettoriale V allora T=\{\mathbf{0}\} e l'esercizio può dirsi concluso.

 

1b) Se la dimensione di S è minore della dimensione di V passiamo al punto successivo.

 

2) Completare la base di S a una base di V applicando l'algoritmo di completamento a base.

 

3) I vettori aggiunti alla base di S per formare una base di V formano una base di un sottospazio supplementare di S in V.

 

Fine!

 

Osservazione: il supplementare di un sottospazio vettoriale non è unico e negli esempi che seguono avremo modo di farvelo notare.

 

 

Esempi: come determinare un sottospazio supplementare

 

1) Trovare un sottospazio supplementare di

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x+3y-2z=0\}

 

in \mathbb{R}^3.

 

Svolgimento: S è un sottospazio di \mathbb{R}^3 definito da una sola equazione cartesiana; per trovarne una base assegniamo a 3-1=2 incognite il ruolo di parametro libero.

 

Poniamo ad esempio, y=a \mbox{ e } z=b, \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}, e ricaviamo il valore di x in funzione di a \mbox{ e } b

 

x=2z-3y=2b-3a

 

Pertanto (x,y,z) \in S se e solo se è della forma

 

(x,y,z)=(2b-3a,a,b) = a(-3,1,0)+b(2,0,1)

 

e quindi una base di S è

 

\mathcal{B}_S=\{(-3,1,0), \ (2,0,1)\}

 

Per trovare un sottospazio T supplementare di S \mbox{ in } \mathbb{R}^3 completiamo la base di S a una base di \mathbb{R}^3.

 

Consideriamo la base canonica di \mathbb{R}^3

 

\mathcal{C}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

e costruiamo l'insieme formato dai vettori di \mathcal{B}_S e dai vettori di \mathcal{C}, che è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3

 

\{(-3,1,0), \ (2,0,1), \ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

Estraiamone una base col metodo degli scarti successivi.

 

I primi due vettori costituiscono una base di S, quindi sono linearmente indipendenti tra loro e li teniamo.

 

Aggiungiamo a essi il vettore (1,0,0) e studiamo l'indipendenza lineare dell'insieme

 

\{(-3,1,0), \ (2,0,1), \ (1,0,0)\}

 

La matrice avente per righe (o per colonne) i tre vettori ha rango massimo (è una matrice quadrata con determinante diverso da zero), quindi

 

\{(-3,1,0), \ (2,0,1), \ (1,0,0)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3 e

 

T=\mbox{Span}((1,0,0))

 

è un sottospazio supplementare di S.

 

Per confermare l'osservazione precedente sulla non unicità del sottospazio supplementare vi facciamo notare che anche

 

T_1=\mbox{Span}((0,1,0)) \mbox{ e } T_2=\mbox{Span}((0,0,1))

 

sono sottospazi supplementari di S \mbox{ in } \mathbb{R}^3 e ce sono infiniti altri.

 

 

2) Dato il sottospazio S \mbox{ di } \mathbb{R}_2[x] (spazio di polinomi di grado al più 2 a coefficienti reali)

 

S=\mbox{Span}(1-x+x^2)

 

determinare un sottospazio supplementare di S \mbox{ in } \mathbb{R}_2[x].

 

Svolgimento: prendiamo la base canonica di \mathbb{R}_2[x]

 

\mathcal{C}=\{1, \ x, \ x^2\}

 

e scriviamo le componenti rispetto a questa base del polinomio che genera S

 

1-x+x^2 \to (1,-1,1)

 

Possiamo così definire il sottospazio \tilde{S} \mbox{ di } \mathbb{R}^3

 

\tilde{S}=\mbox{Span}((1,-1,1))

 

Con questo piccolo stratagemma ci siamo ricondotti a lavorare nello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 ed è sufficiente trovare un sottospazio \tilde{T} supplementare di \tilde{S} \mbox{ in } \mathbb{R}^3, per poi tornare in \mathbb{R}_2[x].

 

\tilde{S} è generato da un solo vettore, dunque

 

\mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(1,-1,1)\}

 

Completiamola a una base di \mathbb{R}^3 aggiungendo i vettori della base canonica

 

\{(1,-1,1), \ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

per poi estrarne una base col metodo di eliminazione gaussiana.

 

Formiamo la matrice avente per colonne i vettori del precedente insieme

 

A=\begin{pmatrix}1&1&0&0 \\ -1&0&1&0 \\ 1&0&0&1\end{pmatrix}

 

e riduciamola in una matrice a gradini con le mosse di Gauss.

 

Effettuando le sostituzioni

 

\\ R_2 \to R_1+R_2=\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&1&0\end{pmatrix} \\ \\ R_3 \to -R_1+R_3=\begin{pmatrix}-1&-1&0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0&1\end{pmatrix}

 

ricaviamo la matrice

 

A'=\begin{pmatrix}1&1&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&-1&0&1\end{pmatrix}

 

Dopodiché sostituiamo

 

R_3 \to R_2+R_3=\begin{pmatrix}0&1&1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1&1\end{pmatrix}

 

Quella che ne scaturisce è la matrice ridotta

 

A''=\begin{pmatrix}1&1&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1\end{pmatrix}

 

Le colonne della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne della matrice ridotta che contengono i pivot formano la base cercata.

 

I pivot di A'' sono a_{11}''=1, \ a_{22}''=1, \ a_{33}''=1, dunque

 

\{(1,-1,1), \ (1,0,0), \ (0,1,0)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3 e

 

\tilde{T}=\mbox{Span}((1,0,0), \ (0,1,0))

 

è un sottospazio supplementare di \tilde{S} \mbox{ in } \mathbb{R}^3

 

I polinomi di \mathbb{R}_2[x] i cui coefficienti sono le componenti dei vettori che generano \tilde{T} formano un sottospazio supplementare di S \mbox{ in } \mathbb{R}_2[x], cioè

 

T=\mbox{Span}(1, \ x^2)

 

 

3) Nello spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali Mat(2,2,\mathbb{R}) individuare un sottospazio supplementare di

 

S=\mbox{Span}\left(\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&4\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&-1\\0&3\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0\\-2&5\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}1&0\\0&-8\end{pmatrix}\right)

 

Svolgimento: invece di lavorare nello spazio delle matrici Mat(2,2,\mathbb{R}) è più comodo spostarsi nello spazio vettoriale \mathbb{R}^4 scrivendo le componenti di ciascuna matrice rispetto alla base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R})

 

\mathcal{C}=\left\{\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}

 

Dunque

 

\\ \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&4\end{pmatrix} \ \ \ \to \ \ \ (0,0,0,4) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}0&-1\\0&3\end{pmatrix}\ \ \  \to \ \ \ (0,-1,0,3) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}0&0\\-2&5\end{pmatrix}\ \ \ \to \ \ \ (0,0,-2,5) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}1&0\\0&-8\end{pmatrix} \ \ \ \to \ \ \ (1,0,0,-8)

 

Definiamo il sottospazio \tilde{S} \mbox{ di } \mathbb{R}^4

 

\tilde{S}=\mbox{Span}((0,0,0,4), \ (0,-1,0,3), \ (0,0,-2,5), \ (1,0,0,-8))

 

e osserviamo che il precedente sistema di generatori è anche una base, infatti i vettori che generano S sono linearmente indipendenti.

 

Per convincersene formiamo la matrice avente per righe i quattro vettori

 

\begin{pmatrix}0&0&0&4 \\ 0&-1&0&3 \\ 0&0&-2&5 \\ 1&0&0&-8\end{pmatrix}

 

e osserviamo che, permutando prima e quarta riga, si perviene a una matrice a gradini con 4 pivot, dunque il suo rango è massimo e i vettori in esame sono linearmente indipendenti.

 

Ne segue che la dimensione di S (uguale a quella di \tilde{S}) è 4, e coincide con la dimensione di Mat(2,2,\mathbb{R}), dunque T=\{\mathbf{0}\} è un sottospazio supplementare di S.

 

Definizione di sottospazi complementari

 

Nella definizione di sottospazi complementari sorge l'ambiguità di cui abbiamo parlato a inizio lezione:

 

- alcuni testi la omettono e definiscono solo i sottospazi supplementari;

 

- altri definiscono i sottospazi complementari usando la definizione che abbiamo dato per i sottospazi supplementari;

 

- altri ancora affermano che due sottospazi S \mbox{ e } T di uno stesso spazio vettoriale V si dicono complementari se e solo se la loro intersezione è formata dal solo vettore nullo e la loro somma è diversa dallo spazio iniziale. In formule:

 

S \mbox{ e } T \mbox{ sottospazi complementari in } V \iff \begin{cases} S \cap T =\{\mathbf{0}\} \\ S+T \neq V \end{cases}

 

Nota bene: nel prosieguo della lezione ci atterremo a quest'ultima definizione.

 

 

Esempio di sottospazi complementari

 

Verificare se

 

\\ S=\mbox{Span}((1,-1,0)) \\ \\ T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ y=0, \ x-3z=0\}

 

sono sottospazi complementari in V=\mathbb{R}^3.

 

Svolgimento: per procedere alla verifica dobbiamo controllare se S \cap T = \{\mathbf{0}\} e se S+T \neq \mathbb{R}^3.

 

Iniziamo col determinare una base per il sottospazio definito da equazioni cartesiane

 

T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ y=0, \ x-3z=0\}

 

Scriviamo il sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio

 

\begin{cases}y=0 \\ x-3z=0\end{cases}

 

ed estraiamo una base dall'insieme delle soluzioni del sistema.

 

La matrice dei coefficienti a esso associata

 

A=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 1&0&-3\end{pmatrix}

 

ha rango 2, dunque per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette \infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni. Calcoliamole assegnando a 1 incognita il ruolo di parametro libero. Poniamo, ad esempio, z=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

\begin{cases}z=a \\ y=0 \\ x-3z=0\ \ \ \to \ \ \ x=3z \ \ \ \to \ \ \ x=3a\end{cases}

 

Le soluzioni del sistema sono

 

(x,y,z)=(3a,0,a)=a(3,0,1), \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

Una base di T è

 

\mathcal{B}_T=\{(3,0,1)\}

 

e quindi la dimensione di T è 1

 

\mbox{dim}(T)=1

 

Il sottospazio S=\mbox{Span}((1,-1,0)) è generato da un solo vettore non nullo, dunque

 

\mathcal{B}_S = \{(1,-1,0)\}\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \mbox{dim}(S)=1

 

L'unione delle basi

 

\mathcal{B}_S \cup \mathcal{B}_T=\{(1,-1,0), \ (3,0,1)\}

 

è una base di S+T, infatti è un sistema di generatori formato da vettori linearmente indipendenti, dunque

 

\mbox{dim}(S+T)=2

 

Risulta così evidente che S+T \neq \mathbb{R}^3. Inoltre, per la formula di Grassmann

 

\mbox{dim}(S \cap T) = \mbox{dim}(S+T)-\mbox{dim}(S)-\mbox{dim}(T) = 2-1-1 = 0

 

e quindi S \cap T =\{\mathbf{0}\}.

 

Abbiamo così verificato che S \mbox{ e } T sono sottospazi complementari di \mathbb{R}^3.

 

Come determinare un sottospazio complementare

 

Prima di vedere come si determina un sottospazio complementare di un assegnato sottospazio S \mbox{ di } V è bene fare qualche piccola osservazione:

 

- se S=V allora non esiste alcun sottospazio complementare di S \mbox{ in } V;

 

- se \mbox{dim}(S)=(\mbox{dim}(V)-1) l'unico sottospazio complementare di S \mbox{ in } V è T=\{\mathbf{0}\};

 

- se \mbox{dim}(S) < (\mbox{dim}(V)-1), il sottospazio banale T=\{\mathbf{0}\} è sempre un sottospazio complementare di S.

 

Chiarito ciò, se S è un sottospazio vettoriale di V tale che \mbox{dim}(S) < (\mbox{dim}(V)-1) per calcolare un sottospazio complementare diverso da quello banale è sufficiente trovare un vettore \mathbf{v} \in V tale che \mathbf{v} \notin S.

 

Il sottospazio T generato dal vettore \mathbf{v} è un sottospazio complementare di S \mbox{ in } V, infatti per com'è stato costruito S \cap T = \{\mathbf{0}\} \mbox{ e } S+T \neq V

 

 

Esempio su come determinare un sottospazio complementare

 

Trovare un sottospazio non banale che sia complementare di S \mbox{ in } \mathbb{R}^4, dove

 

S=\mbox{Span}(1,1,1,1)

 

Svolgimento: S è un sottospazio generato da un solo vettore non nullo, dunque

 

\mbox{dim}(S)=1

 

ed è minore della dimensione di \mathbb{R}^4.

 

Per trovare un sottospazio complementare di S \mbox{ in } \mathbb{R}^4 basta individuare un vettore di \mathbb{R}^4 che non appartiene a S.

 

(1,0,0,0) è uno tra questi vettori (ce ne sono infiniti) e quindi

 

T=\mbox{Span}((1,0,0,0))

 

è un sottospazio complementare di S.

 

 


 

Con questo è tutto! In caso di dubbi, perplessità o problemi vari potete usare la barra di ricerca interna di YouMath: tra le centinaia di domande e di esercizi svolti troverete sicuramente tutte le risposte che cercate. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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