Completamento a base e teorema di completamento

Il completamento a base è un algoritmo che consente di costruire una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti precedentemente assegnato.

 

Tale algoritmo prevede di considerare un sistema di generatori dello spazio vettoriale, tale da contenere i vettori assegnati e quelli di una base nota dello spazio (ad esempio la base canonica), per poi estrarre una base dal sistema di generatori, facendo in modo che la base estratta contenga i vettori assegnati.

 

Nel corso di questa lezione spiegheremo come si applica il metodo del completamento a base e mostreremo svariati esempi. Prima però forniremo enunciato e dimostrazione del teorema di completamento a base, che assicura l'esistenza dei vettori che permettono di completare a base un qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale.

 

Teorema di completamento a base

 

Partiamo dall'enunciato del teorema di completamento a base, per poi darne la dimostrazione.

 

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n definito su un campo \mathbb{K} e siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, vettori linearmente indipendenti di V, con p<n.

 

Esistono allora n-p vettori \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_{n-p} tali che l'insieme

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_{n-p}\}

 

sia una base di V.

 

Dimostrazione

 

Sia E il sottospazio vettoriale di V generato dai vettori linearmente indipendenti \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, cioè

 

E:=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p)

 

Osserviamo che i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p non possono generare tutto lo spazio V.

 

Se così fosse, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p costituirebbero un sistema di generatori linearmente indipendenti di V, e quindi ne formerebbero una base. Di conseguenza sarebbe p=n, ma ciò contraddirebbe l'ipotesi p<n.

 

La precedente osservazione assicura l'esistenza di un vettore \mathbf{w}_1 \in V tale che \mathbf{w}_1 \notin E.

 

Dal momento che

 

\mathbf{w}_1 \notin E := \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p)

 

I vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1 sono linearmente indipendenti, come ampiamente discusso e dimostrato nella lezione su Span e sottospazio generato, e

 

E := \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p) \subset \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1)

 

Ora:

 

- se p+1=n=\mbox{dim}(V) allora i vettori

 

\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1

 

costituiscono una base di V. Essi infatti formano un insieme di generatori di V linearmente indipendenti, e ciò conclude la dimostrazione.

 

- Se, invece, p+1<n possiamo ripetere quanto fatto poc'anzi e trovare un altro vettore \mathbf{w}_2 \in V tale che \mathbf{w}_2 \notin E e tale che i p+2 vettori

 

\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2

 

siano linearmente indipendenti.

 

Continuando in questo modo, dopo n-p passi si compone una base di V che contiene i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, ed è proprio quanto volevamo dimostrare.

 

 

Osservazione

 

La dimostrazione del precedente teorema fornisce un metodo utile per effettuare il completamento a base di un insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... \mathbf{v}_p\} di p<n vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V di dimensione n.

 

 

1) Si considera dapprima un vettore \mathbf{w}_1 \in V che non appartenga al sottospazio generato dai vettori considerati:

 

\mathbf{w}_1 \not\in\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... \mathbf{v}_p)

 

il che vuol dire che è sufficiente considerare un vettore che non sia una loro combinazione lineare. In altri termini, bisogna scegliere un vettore \mathbf{w}_1 \in V tale che l'insieme

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1\}

 

sia formato da vettori linearmente indipendenti.

 

 

2) Se p+1=n il completamento a base è concluso e ci si può fermare.

 

In caso contrario si prende un altro vettore \mathbf{w}_2 \in V tale che l'insieme

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\}

 

sia costituito da vettori linearmente indipendenti tra loro.

 

 

3) Se p+2=n abbiamo finito, ma se così non fosse basterebbe reiterare il procedimento.

 

 

Esempio di completamento a base

 

Siano

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0), \ \mathbf{v}_2=(1,2,0)

 

due vettori di V=\mathbb{R}^3. Verificare che sono linearmente indipendenti e completare l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a una base di V.

 

Svolgimento: per verificare l'indipendenza lineare di \mathbf{v}_1 \mbox{ e } \mathbf{v}_2 componiamo la matrice avente come colonne le coordinate dei vettori rispetto alla base canonica

 

A=\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&2 \\ 0&0\end{pmatrix}

 

Se ha rango massimo, cioè rango 2, i vettori sono linearmente indipendenti, in caso contrario non lo sono.

 

La sottomatrice di ordine 2 che si ottiene da A eliminando l'ultima riga ha determinante non nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&2\end{pmatrix} = 1

 

dunque \mathbf{v}_1 \mbox{ e } \mathbf{v}_2 sono linearmente indipendenti.

 

La dimensione dello spazio vettoriale V=\mathbb{R}^3 è n=3, dunque per completare l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} (formato da p=2 vettori) a una base di V è sufficiente scegliere

 

n-p=3-2=1

 

ossia un vettore \mathbf{w} in modo tale che

 

\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ \mathbf{w}

 

siano linearmente indipendenti tra loro.

 

Prendiamo, ad esempio, \mathbf{w}=(1,2,3).

 

La matrice avente per colonne le componenti dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{w} ha determinante non nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 0&0&3\end{pmatrix} = 3

 

I vettori sono allora linearmente indipendenti e quindi \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{w}\} è una base di V=\mathbb{R}^3.

 

 

Nota bene (non univocità nel completamento a base)

 

La scelta dei vettori (o del vettore) che permettono di completare la base non è univoca; nell'esempio precedente avremmo, per esempio, potuto scegliere \mathbf{w}=(0,0,1) o \mathbf{w}=(5,0,-1), o infiniti altri vettori linearmente indipendenti rispetto a \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2.

 

Algoritmo di completamento a base

 

In generale c'è un ulteriore aspetto da considerare quando si procede al completamento di una base: la scelta dei vettori per il completamento non è sempre immediata. Soprattutto, quando la dimensione dello spazio vettoriale V è "grande", è difficile procedere con un completamento "a occhio". Fortunatamente viene in nostro aiuto il metodo conosciuto come algoritmo di completamento a base.

 

L'algoritmo di completamento a base è un metodo meccanico ma efficace che consente di completare a base un qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V.

 

Siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p vettori linearmente indipendenti di V, con p minore della dimensione dello spazio vettoriale V e sia \mathcal{B}=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_n\} una base di V.

 

L'algoritmo di completamento a base prevede di considerare l'insieme

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_n\}

 

che è evidentemente un sistema di generatori di V, e da esso estrarne una base con il metodo degli scarti successivi o con quello di eliminazione gaussiana, come spiegato nella lezione come estrarre una base da un sistema di generatori.

 

Chi ha già affrontato la lezione precedente avrà anche letto a proposito dell'utilizzo del metodo dei minori, ma vi sconsigliamo di usarlo per risolvere questo genere di esercizi in quanto non garantisce che nella base estratta vi siano i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, che invece vi devono appartenere necessariamente.

 

 

Esempi

 

Salvo casi davvero particolari (e assai rari nei corsi base di Algebra Lineare) nella maggior parte degli esercizi lo spazio vettoriale V è \mathbb{R}^n, lo spazio dei polinomi \mathbb{R}_n[x] o lo spazio delle matrici Mat(m,n,\mathbb{R}).

 

Per ciascuno di tali spazi vettoriali conosciamo una base: la base canonica. È proprio essa la base \mathcal{B} da prendere in considerazione.

 

 

1) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0,2)\\ \\ \mathbf{v}_2=(1,2,0,4)

 

stabilire se sono vettori linearmente indipendenti e, in caso affermativo, completare l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di V=\mathbb{R}^4.

 

Svolgimento: verificare l'indipendenza lineare di \mathbf{v}_1 \mbox{ e } \mathbf{v}_2 è un gioco da ragazzi; basta infatti osservare che la matrice avente per colonne le componenti dei due vettori ha rango massimo.

 

Completiamo ora l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di \mathbb{R}^4 usando l'algoritmo di completamento a base.

 

Sia

 

\\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4\}, \mbox{ con } \\ \\ \mathbf{e}_1=(1,0,0,0), \ \mathbf{e}_2=(0,1,0,0), \ \mathbf{e}_3=(0,0,1,0), \ \mathbf{e}_4=(0,0,0,1)

 

la base canonica di \mathbb{R}^4.

 

Consideriamo il seguente insieme di generatori:

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4\}

 

ed estraiamone una base con il metodo di eliminazione gaussiana.

 

Disponiamo i vettori per colonna in una matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0 \\ 1&2&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 2&4&0&0&0&1\end{pmatrix}

 

e riduciamola in una matrice a gradini usando il metodo di eliminazione di Gauss.

 

Dobbiamo annullare gli elementi a_{21}=1 \mbox{ e } a_{41}=2 della prima colonna. A tal scopo effettuiamo le seguenti sostituzioni

 

\\ R_2\ \to \ R_2-R_1 = \\ \\ =\begin{pmatrix}1&2&0&1&0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&-1&1&0&0\end{pmatrix} \\ \\ R_4\ \to \ R_4-2R_1 = \\ \\ =\begin{pmatrix}2&4&0&0&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&2&2&0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&2&-2&0&0&1\end{pmatrix}

 

ottenendo così la matrice

 

A'=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&2&-2&0&0&1\end{pmatrix}

 

Il prossimo passo è annullare l'elemento a_{42}'=2 sostituendo la quarta riga di A' con un'opportuna combinazione lineare tra la quarta e la seconda riga di A'

 

R_4 \ \to \ R_4-2R_2 = \\ \\ =\begin{pmatrix}0&2&-2&0&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&2&-2&2&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&-2&0&1\end{pmatrix}

 

da cui si ricava

 

A''=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&-2&0&1\end{pmatrix}

 

È ora sufficiente una scambio di righe: scambiando la terza con la quarta riga di A'' la riduzione a scala può dirsi conclusa e la matrice ridotta è

 

A'''=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&0 \\ 0&0&0&-2&0&1 \\ 0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}

 

I suoi pivot sono

 

a_{11}'''=1, \ a_{22}'''=1, \ a_{34}'''=-2, \ a_{45}'''=1

 

Le colonne della matrice non ridotta A corrispondenti alle colonne della ridotta A''' contenenti i pivot formano la base cercata

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}

 

 

2) Dati i vettori (polinomi) di \mathbb{R}_2[x]

 

p_1(x)=1+x\\ \\ p_2(x)=2+3x+x^2

 

verificare che sono linearmente indipendenti e completare l'insieme \{p_1(x), p_2(x)\} a una base di \mathbb{R}_2[x].

 

Svolgimento: consideriamo la base canonica di \mathbb{R}_2[x]:

 

\mathcal{C}=\{1, x, x^2\}

 

e scriviamo le componenti di p_1(x) \mbox{ e } p_2(x) rispetto a tale base.

 

\\ p_1(x) = 1+x\ \to \ (1,1,0) \\ \\ p_2(x)=2+3x+x^2\ \to \ (2,3,1)

 

I vettori (1,1,0) \mbox{ e } (2,3,1) sono linearmente indipendenti, infatti la matrice avente per colonne le loro componenti ha rango massimo.

 

L'aver scritto le componenti dei polinomi rispetto alla base canonica ci permette di lavorare in \mathbb{R}^3, dunque completare l'insieme \{p_1(x), p_2(x)\} a una base di \mathbb{R}_2[x] equivale a chiedere di completare a base di \mathbb{R}^3 l'insieme \{(1,1,0), \ (2,3,1)\}.

 

Sia dunque

 

\\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}, \mbox{ con } \\ \\ \mathbf{e}_1=(1,0,0), \ \mathbf{e}_2=(0,1,0), \ \mathbf{e}_3=(0,0,1)

 

e consideriamo l'insieme di generatori

 

\{(1,1,0), \ (2,3,1), \ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

Il nostro intento è estrarne una base; questa volta usiamo il metodo degli scarti successivi.

 

Abbiamo già verificato che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, quindi li teniamo entrambi e studiamo l'indipendenza lineare tra

 

(1,1,0), \ (2,3,1), \ (1,0,0)

 

La matrice composta con le loro componenti ha determinante diverso da zero (lasciamo a voi il compito di verificarlo), dunque i tre vettori sono linearmente indipendenti e formano una base di \mathbb{R}^3.

 

Ricordiamo che le coordinate di ciascun vettore sono le componenti di un polinomio di \mathbb{R}_2[x] rispetto alla base canonica \mathcal{C}=\{1,x,x^2\}. Per concludere l'esercizio dobbiamo allora ricavare i polinomi associati.

 

\\ (1,1,0) \ \to \ p_1(x)=1+x \\ \\ (2,3,1) \ \to \ p_2(x)=2+3x+x^2 \\ \\ (1,0,0) \ \to\ p_3(x)=1

 

La base cercata è

 

\mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}=\{1+x, \ 2+3x+x^2, \ 1\}

 

 


 

Con questo è davvero tutto! Per altri esercizi svolti e spiegati passo passo vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna, nonché la scheda correlata di esercizi svolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: teorema di complemento a base - come completare un insieme di vettori a base - algoritmo di completamento a base.