Coordinate rispetto a una base

Si dicono coordinate (o componenti) di un vettore rispetto a una base gli scalari mediante cui il vettore si esprime come combinazione lineare dei vettori della base. Equivalentemente, fissata una base di uno spazio vettoriale, le coordinate di un vettore rispetto alla base scelta sono i coefficienti della combinazione lineare con cui si esprime il vettore in termini degli elementi della base.

 

In questa lezione daremo la definizione rigorosa di coordinate di un vettore e dimostreremo che, fissata una base di uno spazio vettoriale, esse sono univocamente determinate. Vedremo inoltre che, al tempo stesso, le coordinate di un vettore variano al variare della base considerata.

 

Vi mostreremo poi come trovare le coordinate rispetto a una base, corredando il tutto con numerosi esempi in cui prenderemo in esame non solo vettori di \mathbb{R}^n ma anche polinomi e matrici.

 

Cosa sono le coordinate di un vettore rispetto a una base

 

Siano V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V.

 

Per definizione di base di uno spazio vettoriale, ogni elemento di V si può esprimere attraverso una combinazione lineare dei vettori della base, cioè per ogni \mathbf{w} \in V esistono gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n \in \mathbb{K} tali che

 

\mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

 

Gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n della precedente combinazione lineare sono le coordinate (o componenti) di \mathbf{w} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

Le componenti di \mathbf{w} \in V rispetto alla base \mathcal{B} sono dunque i coefficienti della combinazione lineare con cui si esprime il vettore \mathbf{w} in termini dei vettori di \mathcal{B}.

 

Da un punto di vista notazionale, se \mathbf{w} è un elemento di uno spazio vettoriale di dimensione n, le sue coordinate w_1, \ w_2, ..., w_n rispetto a una base \mathcal{B} dello spazio si indicano in uno dei seguenti modi:

 

- specificando la base dopo il nome del vettore, come pedice

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}}=(w_1, w_2, ..., w_n)

 

- racchiudendo le coordinate del vettore in una coppia di parentesi quadre seguite dal nome della base, riportata sempre come pedice

 

\mathbf{w}=[w_1, w_2, ..., w_n]_{\mathcal{B}}

 

- usando la seguente scrittura

 

\mbox{Coord}_{\mathcal{B}}(\mathbf{w})=(w_1, w_2,..., w_n)

 

Da qui in poi e nel prosieguo delle lezioni la notazione che abbiamo scelto usare è la prima, perché riteniamo che sia la più veloce da scrivere e quella che genera meno confusione.

 

 

Osservazione (coordinate rispetto alla base canonica)

 

Salvo diverse indicazioni, quando si assegnano le componenti di un vettore senza menzionare la base, esse sono riferite alla base canonica dello spazio considerato.

 

Ad esempio quando si considera un vettore di \mathbb{R}^n, quale potrebbe essere

 

\mathbf{w}=(1,3,5,-2) \in \mathbb{R}^4

 

se non viene specificato altro, le sue coordinate (1,3,5,-2) sono quelle riferite alla base canonica di \mathbb{R}^4

 

\\ \mathcal{C}_{\mathbb{R}^4}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4\}, \mbox{ con} \\ \\ \mathbf{e}_1=(1,0,0,0), \ \mathbf{e}_2=(0,1,0,0), \ \mathbf{e}_3=(0,0,1,0), \ \mathbf{e}_4=(0,0,0,1)

 

Lo stesso discorso vale per lo spazio dei polinomi e per lo spazio delle matrici.

 

 

Esempi sulle componenti rispetto a una base

 

1) Si consideri lo spazio vettoriale V=\mathbb{R}^2 e la sua seguente base

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}\\ \\ \mathbf{v}_1=(1,2),\ \mathbf{v}_2=(-2,3)

 

Le componenti del vettore \mathbf{w}=(-1,5) rispetto alla base \mathcal{B} sono

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}}=(1,1)

 

infatti

 

1 \cdot \mathbf{v}_1+ 1 \cdot \mathbf{v}_2 =\\ \\ = 1 \cdot (1,2) + 1 \cdot (-2,3) = \\ \\ =(1,2)+(-2,3) = (-1,5) = \mathbf{w}

 

 

2) Nello spazio dei polinomi \mathbb{R}_2[x], formato dai polinomi a coefficienti reali di grado al più 2, consideriamo la base

 

\mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}

 

con

 

p_1(x)=1+x\\ \\ p_2(x)=1+2x+x^2\\ \\ p_3(x)=x-x^2

 

Le componenti del vettore (polinomio) p(x)=3+8x-x^2 rispetto alla base \mathcal{B} sono (1,2,3).

 

Per convincersene basta osservare che

 

\\ 1 \cdot p_1(x) + 2\cdot p_2(x) + 3\cdot p_3(x)=\\ \\ =1 \cdot (1+x) + 2\cdot (1+2x+x^2)+ 3 \cdot (x-x^2) = \\ \\ = 1+x+2+4x+2x^2+3x-3x^2 =\\ \\ =3+8x-x^2=p(x)

 

 

3) Sia \mathcal{B}=\{M_1, M_2, M_3, M_4\}, con

 

M_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \ \ M_2=\begin{pmatrix}0&2\\4&-1\end{pmatrix}, \ \ M_3=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}, \ \ M_4=\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix}

 

una base di Mat(2,2,\mathbb{R}), cioè dello spazio delle matrici a coefficienti reali con 2 righe e 2 colonne.

 

Le coordinate del vettore (matrice)

 

M=\begin{pmatrix}7&8\\-4&1\end{pmatrix}

 

rispetto alla base \mathcal{B} sono (2,0,-1,3).

 

Svolgendo le operazioni di prodotto di una matrice per uno scalare e di somma tra matrici si ha infatti che

 

\\ 2 \cdot M_1 + 0 \cdot M_2 + (-1) \cdot M_3 + 3 \cdot M_4 = \\ \\ = 2 \cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix}0&2\\4&-1\end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6&9\\-3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&8\\-4&1\end{pmatrix}=M

 

 

Unicità delle componenti di un vettore rispetto a una base

 

Come di consueto consideriamo uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} e sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una sua base.

 

Le componenti di un qualsiasi vettore \mathbf{w} \in V rispetto alla base \mathcal{B} sono univocamente determinate.

 

Dimostrazione

 

Sia \mathbf{w} \in V un elemento dello spazio vettoriale. Se \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V, i suoi vettori sono in particolare un sistema di generatori dello spazio vettoriale, dunque esistono gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n \in \mathbb{K} tali che

 

\mathbf{w}=a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n

 

Dobbiamo dimostrare che le componenti del vettore sono univocamente determinate, cioè che sono univocamente determinati gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n della precedente combinazione lineare.

 

Se lo stesso vettore \mathbf{w} si potesse scrivere anche nella forma

 

\mathbf{w}=b_1 \mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+...+b_n \mathbf{v}_n

 

si avrebbe

 

a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n = b_1 \mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+...+b_n \mathbf{v}_n

 

da cui seguirebbe che

 

(a_1-b_1) \mathbf{v}_1+ (a_2-b_2)\mathbf{v}_2+...+(a_n-b_n) \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

 

Per definizione di base, i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n sono linearmente indipendenti, ragion per cui

 

a_1-b_1=a_2-b_2=...=a_n-b_n=0

 

Dalle precedenti relazioni segue che

 

a_1=b_1, \ a_2=b_2, \ ..., \ a_n=b_n

 

e quindi gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n sono univocamente determinati.

 

Come calcolare le componenti di un vettore rispetto a una base

 

Come già sappiamo, se \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base dello spazio vettoriale V, le componenti del vettore \mathbf{w} \in V rispetto alla base \mathcal{B} sono i coefficienti a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n della combinazione lineare

 

\mathbf{w}=a_1 \mathbf{v}_1+a_2 \mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n

 

In termini pratici, per determinare le coordinate di un vettore rispetto a una base bisogna svolgere le operazioni a secondo membro della precedente relazione, per poi imporre l'uguaglianza tra vettori e ricadere così in un sistema lineare nelle incognite a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n.

 

Le soluzioni del sistema sono le coordinate del vettore \mathbf{w} rispetto alla base \mathcal{B}, cioè

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}}=(w_1, w_2, ..., w_n) = (a_1, a_2, ..., a_n)

 

 

Esempi sul calcolo delle coordinate di un vettore rispetto a una base

 

1) Calcolare le coordinate del vettore \mathbf{w}=(2,-1,3) \in \mathbb{R}^3 rispetto alla base

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}\\ \\ \mathbf{v}_1=(1,-3,1), \ \mathbf{v}_2=(1,2,2), \ \mathbf{v}_3=(2,4,1)

 

Svolgimento: le coordinate cercate sono i coefficienti della seguente combinazione lineare

 

\mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3

 

Nel caso considerato

 

(2,-1,3)=a_1(1,-3,1)+a_2(1,2,2)+a_3(2,4,1)

 

Svolgiamo le operazioni tra vettori a secondo membro

 

\\ (2,-1,3)=(a_1,-3a_1,a_1)+(a_2,2a_2,2a_2)+(2a_3,4a_3,a_3) = \\ \\ = (a_1+a_2+2a_3, \ -3a_1+2a_2+4a_3, \ a_1+2a_2+a_3)

 

Due vettori sono uguali se hanno le stesse componenti, dunque la precedente relazione si traduce nel seguente sistema lineare nelle incognite a_1, \ a_2, \ a_3

 

\begin{cases}a_1+a_2+2a_3=2 \\ -3a_1+2a_2+4a_3=-1 \\ a_1+2a_2+a_3=3\end{cases}

 

Applicando uno dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari lasciamo a voi il compito di verificare che la soluzione del sistema è

 

\begin{cases}a_1=1 \\ a_2=1 \\ a_3=0\end{cases}

 

Le coordinate del vettore \mathbf{w}=(2,-1,3) rispetto alla base \mathcal{B} sono, allora

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}}=(1,1,0)

 

 

2) Calcolare le coordinate del polinomio p(x)=2+6x+13x^2 \in \mathbb{R}_2[x] rispetto alla base

 

\mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}\\ \\ p_1(x)=2x+x^2\ ;\ p_2(x)=1-x+2x^2\ ;\ p_3(x)=1+5x

 

Svolgimento: impostiamo la combinazione lineare

 

p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)

 

sostituiamo i dati noti e svolgiamo le operazioni a secondo membro

 

\\ 2+6x+13x^2=a_1(2x+x^2)+a_2(1-x+2x^2)+a_3(1+5x) = \\ \\ =2a_1x+a_1x^2+a_2-a_2x+2a_2x^2+a_3+5a_3x = \\ \\ = (a_2+a_3)+(2a_1-a_2+5a_3)x+(a_1+2a_2)x^2

 

Per il principio di identità dei polinomi due polinomi sono uguali se si equivalgono i coefficienti dei termini dello stesso grado, ragion per cui dev'essere

 

\begin{cases}a_2+a_3=2 \\ 2a_1-a_2+5a_3=6 \\ a_1+2a_2=13 \end{cases}

 

La soluzione del sistema è

 

\begin{cases}a_1=7 \\ a_2=3 \\ a_3=-1\end{cases}

 

Dunque (7,3,-1) sono le coordinate del polinomio p(x)=2+6x+13x^2 rispetto alla base \mathcal{B} assegnata.

 

 


 

Se qualche dubbio vi assilla, o se vi occorrono altri esempi, potete passare alla scheda correlata di esercizi svolti e/o usare la barra di ricerca interna: in questi anni abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

 

Nella prossima lezione vedremo come si costruisce la matrice di cambiamento di base, che permette di passare da una base di uno spazio vettoriale a un'altra base dello stesso spazio. Grazie a questa matrice si possono determinare agevolmente le coordinate di un vettore (date rispetto a una base) esprimendole rispetto a un'altra.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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