Span e sottospazio generato

Spansottospazio generato e copertura lineare sono espressioni usate per indicare lo stesso concetto; si dice Span di un insieme di vettori o sottospazio generato da un insieme di vettori l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari.

 

Per quanto sia effettivamente semplice, per qualche strano motivo il concetto di Span (sottospazio generato) crea sempre tanta confusione negli studenti, e lo scopo di questa lezione è proprio quello di chiarire ogni dubbio a riguardo. Sarà una lezione a stampo principalmente teorico, dove daremo la definizione di sottospazio generato, proporremo diversi esempi, enunceremo e dimostreremo i principali teoremi sullo Span.

 

Vi invitiamo a non sottovalutare ciò che spiegheremo in questa lezione, anche perché parecchi dei risultati teorici saranno utili in seguito sia per dimostrare nuovi teoremi sia nella risoluzione degli esercizi, senza contare che sono argomenti molto richiesti in sede di esami orali.

 

Definizione di sottospazio generato

 

Siano V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \subseteq V un insieme di vettori di V.

 

Si dice Span o sottospazio generato dai vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari, e si indica con una tra le seguenti notazioni

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)\\ \\ \mbox{L}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)\\ \\ <\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n>

 

In simboli:

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) := \{a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n, \mbox{ con } a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}\}

 

 

Esempi di sottospazio generato da un insieme di vettori

 

1) Siano V=\mathbb{R} \mbox{ e } \mathbf{v} \in V un vettore non nullo (avremmo anche potuto scriverlo non in grassetto, essendo un elemento del campo dei numeri reali). Per intenderci, \mathbf{v} è un qualsiasi numero reale non nullo.

 

Secondo la definizione di sottospazio generato

 

\mbox{Span}(\mathbf{v})=\{a\mathbf{v}, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}\}

 

ne consegue che \mbox{Span}(\mathbf{v}) è l'insieme stesso dei numeri reali

 

\mbox{Span}(\mathbf{v})=\mathbb{R}

 

infatti, comunque si scelga y\in\mathbb{R}, è sempre possibile individuare un coefficiente a\in\mathbb{R} tale che risulti

 

y=a\mathbf{v}

 

 

2) Consideriamo V=\mathbb{R}^2 e siano \mathbf{v}_1=(1,1), \ \mathbf{v}_2=(2,2).

 

Il sottospazio da essi generato è

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) := \{a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2, \mbox{ con } a_1, a_2, \in \mathbb{R}\}

 

Svolgendo le operazioni tra vettori possiamo scrivere la forma generale di un suo elemento

 

a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2 = \\ \\ = a_1(1,1)+a_2(2,2) = \\ \\ =(a_1,a_1)+(2a_2,2a_2)=\\ \\ =(a_1+2a_2, \ a_1+2a_2)

 

Un generico elemento di \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) è quindi caratterizzato dall'avere la prima componente uguale alla seconda; in un sistema di riferimento cartesiano, \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) individua la bisettrice del primo e terzo quadrante.

 

 

3) Siano V=\mathbb{R}^3 e \mathbf{v}_1=(0,0,1), \ \mathbf{v}_2=(0,1,0).

 

Il sottospazio generato dai vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathbb{R}^3 è

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) := \{a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2, \mbox{ con } a_1, a_2, \in \mathbb{R}\}

 

Ricaviamo la forma generale di un suo elemento

 

a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2 = \\ \\ =a_1(0,0,1)+a_2(0,1,0) = \\ \\ =(0,0,a_1)+(0,a_2,0)=\\ \\ =(0,a_2,a_1)

 

Il sottospazio generato dai vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 è quindi formato da tutti i vettori di \mathbb{R}^3 aventi prima componente nulla e, geometricamente, individua il piano [yz], di equazione x=0.

 

Span e sistema di generatori

 

Prima di procedere oltre è utile cogliere il legame che sussiste tra il concetto di sottospazio generato e quello di sistema di generatori introdotto nella precedente lezione.

 

Ricordiamo che un qualsiasi insieme di vettori \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} contenuto in uno spazio vettoriale V definito su un campo \mathbb{K} è un sistema di generatori V se e solo se ogni \mathbf{w} \in V si può esprimere come combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n.

 

In soldoni, \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \subseteq V è un sistema di generatori di V se e solo se per ogni \mathbf{w} \in V esistono gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n \in \mathbb{K} tali che

 

a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{w}

 

L'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \in V è, per definizione, il sottospazio generato da tali vettori.

 

In definitiva, se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \subseteq V è un sistema di generatori di V allora V coincide col sottospazio generato da questi vettori, ossia

 

V=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)

 

Teoremi sullo Span

 

Ora che il concetto di sottospazio generato dovrebbe essere chiaro, è giunto il momento di alzare il tiro e dimostrare alcuni importanti teoremi sullo Span, che torneranno utili nel prosieguo delle lezioni.

 

Prima di tutto dobbiamo giustificare il nome: chiamare sottospazio generato lo Span di un insieme di vettori lascia intendere che tale insieme è un sottospazio vettoriale; in effetti è così, e lo garantisce il seguente teorema.

 

 

Teorema 1 (un sottospazio generato è un sottospazio vettoriale)

 

Il sottospazio generato da un qualsiasi insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale è un suo sottospazio.

 

Dimostrazione

 

Sia V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e siano  \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n vettori di V. Dobbiamo dimostrare che

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) := \{a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n, \mbox{ con } a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}\}

 

è un sottospazio vettoriale di V.

 

Come ribadito più volte nella lezione come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale, per raggiungere lo scopo dobbiamo dimostrare che la somma di due elementi dello Span e il prodotto di uno scalare per un elemento dello Span sono ancora elementi dello Span.

 

Siano allora \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n).

 

Per definizione di sottospazio generato esistono gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n, \ b_1, \ b_2, \ ..., \ b_n \in \mathbb{K} tali che

 

\\ \mathbf{w}_1=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n \\ \\ \mathbf{w}_2=b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+...+b_n\mathbf{v}_n

 

La loro somma è

 

\\ \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2=(a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n) + (b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+...+b_n\mathbf{v}_n) = \\ \\ = (a_1+b_1)\mathbf{v}_1 + (a_2+b_2)\mathbf{v}_2+...+(a_n+b_n)\mathbf{v}_n

 

Essendo una combinazione lineare dei vettori  \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n tale somma appartiene al sottospazio da essi generato.

 

Analogamente, se \lambda \in \mathbb{K} si ha che

 

\\ \lambda \mathbf{w}_1 = \lambda (a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n) = \\ \\ = (\lambda a_1)\mathbf{v}_1 + (\lambda a_2) \mathbf{v}_2 + ... + (\lambda a_n) \mathbf{v}_n

 

e quindi anche \lambda \mathbf{w}_1 appartiene al sottospazio generato.

 

Di conseguenza \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) è un sottospazio vettoriale di V, e ciò conclude la dimostrazione.

 

Enunciamo e dimostriamo altri due teoremi che hanno degli interessanti risvolti pratici.

 

 

Teorema 2

 

Sia V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p vettori linearmente indipendenti di V ed E=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_p).

 

Se esiste un vettore \mathbf{w}\in V tale che \mathbf{w} \notin E, allora \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}\} è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

 

Dimostrazione

 

Supponiamo che esista \mathbf{w}\in V non appartenente a

 

E=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_p)

 

dove \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p sono vettori linearmente indipendenti di V.

 

Dobbiamo dimostrare che i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w} sono linearmente indipendenti.

 

A tal proposito consideriamo una loro qualsiasi combinazione lineare e poniamola uguale al vettore nullo.

 

a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_p\mathbf{v}_p+b\mathbf{w}=\mathbf{0}

 

Se l'unica (p+1)-upla di scalari che soddisfa la precedente equazione vettoriale è formata da termini tutti nulli, allora abbiamo la tesi.

 

Se fosse b \neq 0 allora potremmo dividere tutti i termini della precedente relazione per b ed esprimere, in questo modo, \mathbf{w} come combinazione lineare di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p

 

\mathbf{w}=\frac{a_1}{b} \mathbf{v}_1+\frac{a_2}{b}\mathbf{v}_2+...+\frac{a_p}{b}\mathbf{v}_p

 

Ciò implicherebbe che \mathbf{w} \in E contro l'ipotesi assunta dal teorema.

 

Deve quindi essere necessariamente b=0. Di conseguenza

 

a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_p\mathbf{v}_p+b\mathbf{w}=\mathbf{0} \iff a_1 \mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}

 

I vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p sono linearmente indipendenti per ipotesi, ragion per cui, necessariamente

 

a_1=a_2=....=a_p=0

 

L'unica (p+1)-upla che annulla una combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w} è quella formata da coefficienti tutti nulli, e da ciò segue la tesi.

 

 

Teorema 3

 

Siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \ \mathbf{v}_{n+1} vettori di uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K}. Allora:

 

(a) \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) \subseteq \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1})

 

(b) \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) = \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}) se e solo se \mathbf{v}_{n+1} è combinazione lineare degli altri vettori, ossia se e solo se \mathbf{v}_{n+1}\in\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)

 

Dimostrazione

 

Per il punto (a) dobbiamo dimostrare che per ogni \mathbf{w} appartenente al sottospazio generato da \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n\}, \mathbf{w} appartiene anche al sottospazio generato da \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}\}.

 

Sia allora \mathbf{w}\in \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)

 

Per definizione di sottospazio generato, esistono a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n \in \mathbb{K} tali che

 

\mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

 

Se consideriamo lo scalare a_{n+1}=0 \in \mathbb{K}, allora

 

\\ \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n = a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n+0 \mathbf{v}_{n+1} = \\ \\ = a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n+a_{n+1} \mathbf{v}_{n+1}

 

Dunque \mathbf{w} \in \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}) e, data l'arbitrarietà di \mathbf{w}, ciò conferma che

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) \subseteq \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1})

 

Passiamo alla dimostrazione del punto (b).

 

Se \mathbf{v}_{n+1} è combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, allora \mathbf{v}_{n+1} appartiene al sottospazio da essi generato, e quindi

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}) \subseteq \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n)

 

Per il punto (a)

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) \subseteq \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1})

 

e quindi, per il principio di doppia inclusione

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) = \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}).

 

Viceversa, supponiamo che

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) = \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1})

 

Allora \mathbf{v}_{n+1} \in \mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_n) e quindi è combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n.

 

Ciò conclude la dimostrazione del teorema.

 

 

Osservazione sul teorema 3

 

Da un punto di vista pratico, il precedente teorema ci dice che, se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} è un insieme di vettori di V e se aggiungiamo al sistema di generatori un altro vettore \mathbf{v}_{n+1}, sono date le seguenti possibilità:

 

- se tale vettore è combinazione lineare degli altri, cioè se i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1} sono linearmente dipendenti tra loro, allora il sottospazio generato da \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n coincide col sottospazio generato da \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}.

 

- se, invece, \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n,\mathbf{v}_{n+1}\} è un insieme di vettori linearmente indipendenti tra loro, il sottospazio generato da \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n è diverso da quello generato da \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}.

 

In particolare, se \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n sono vettori linearmente dipendenti, il sottospazio da essi generato coincide coi vari sottospazi generati dai vettori della lista linearmente indipendenti tra loro.

 

Per fissare le idee facciamo un esempio e consideriamo i seguenti vettori di \mathbb{R}^3

 

\mathbf{v}_1=(1,0,1), \ \mathbf{v}_2=(-1,3,2), \ \mathbf{v}_3=(-3,3,0)

 

È immediato verificare che i tre vettori sono linearmente dipendenti tra loro, basta infatti osservare che il determinante della matrice avente come righe le componenti dei vettori è nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&1 \\ -1&3&2 \\ -3&3&0\end{pmatrix}=0

 

In caso di dubbi vi invitiamo a dare un'occhiata alla lezione come stabilire se un insieme di vettori sono linearmente indipendenti.

 

Se presi a coppie di due, invece, i vettori dell'esempio sono linearmente indipendenti. Il teorema 3 ci permette quindi di concludere che

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3)=\mbox{Span}(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo come approcciare una delle più classiche tipologie di esercizi di Algebra Lineare, quella in cui si chiede di determinare le equazioni cartesiane del sottospazio generato da un insieme di vettori.

 

Per chiudere in bellezza vi ricordiamo che su YM ci sono tantissime spiegazioni ed esercizi svolti, nonché un tool determinare lo span di un insieme di vettori online, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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