Come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale

La spiegazione che state per leggere, più che una lezione, è una guida per la risoluzione degli esercizi in cui viene chiesto di stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale oppure no. Prima di procedere oltre, se non l'avete già fatto, vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione sui sottospazi vettoriali, utile per cogliere a fondo quanto diremo tra poco.

Il primo passo consisterà nel richiamare la caratterizzazione dei sottospazi vettoriali per poi mostrarvi come verificare se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, a seconda di com'è assegnato il sottoinsieme in esame.

I metodi proposti permettono di risolvere la maggior parte degli esercizi che si incontrano negli esami scritti di Algebra Lineare, e copriranno il 98% della casistica delle tracce. Il restante 2% dipenderà dalla fantasia e dalla creatività dei vostri docenti, ma niente paura: dopo aver compreso la logica che regola la nozione di sottospazio vettoriale, potrete affrontare qualsiasi richiesta, anche quelle più astruse. :)

Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali

Richiamiamo il teorema di caratterizzazione dei sottospazi vettoriali, ampiamente discusso nella precedente lezione e il cui enunciato è assunto da alcuni libri di testo come definizione di sottospazio. Sarà proprio questo teorema lo strumento di verifica di cui ci serviremo.

Siano uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e un sottoinsieme non vuoto di .

è sottospazio vettoriale di se e solo se valgono le seguenti proprietà:

(a) per ogni $\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2 \in S, \ \mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2 \in S$

(b) Per ogni $\mathbf{s} \in S$ e per ogni $\lambda \in \mathbb{K}, \ \lambda \mathbf{s} \in S$

In definitiva, per stabilire se $S \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di dobbiamo capire se valgono le proprietà (a) e (b).

Importante: prima di dare il via agli esempi è bene notare che dalla condizione (b) segue che lo zero di , cioè l'elemento neutro di rispetto all'operazione di somma, appartiene a .

In altri termini, se è un sottospazio di allora: $\mathbf{0}_V \in S$

Tale condizione viene usata come condizione necessaria per la verifica, cioè se $\mathbf{0}_V \notin S$ allora si può immediatamente concludere che non è sottospazio vettoriale di senza dover fare nient'altro. Se invece $\mathbf{0}_V \in S$ , allora dobbiamo necessariamente controllare se sono soddisfatte le proprietà (a) e (b).

Principali tipologie di esercizi su come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale

Cerchiamo di generalizzare l'ingeneralizzabile. Ci sono sostanzialmente due tipi di esercizi in cui si può chiedere di verificare se un insieme è un sottospazio vettoriale:

- quelli relativi agli insiemi definiti da equazioni;

- quelli relativi agli insiemi definiti per caratteristica.

Nel primo caso vedremo come si possono controllare le proprietà (a) e (b) mediante qualche semplice osservazione, che spesso consente di risolvere l'esercizio in men che non si dica. Nel secondo caso dovremo, invece, fare pratica con la verifica diretta delle due condizioni.

Come stabilire se un insieme definito da equazioni è un sottospazio vettoriale

Procediamo con degli esempi.

1) Supponiamo di avere il sottoinsieme di $\mathbb{R}^3$ definito da

$S:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ | \ x+3y+5z=0 \ ; \ 2x+4z=0\}$

Controlliamo se è un sottospazio vettoriale verificando una a una le suddette proprietà.

Svolgimento: intanto osserviamo che $\mathbf{0}_{\mathbb{R}^3} = (0,0,0)$ appartiene ad , infatti è soluzione di entrambe le equazioni che lo definiscono; la condizione necessaria è quindi soddisfatta.

Passiamo alla verifica delle proprietà (a) e (b).

Consideriamo due elementi di , dunque due vettori e tali da risolvere entrambe le equazioni, cioè tali che

$\\ x_1+3y_1+5z_1=0 \ \ \mbox{e}\ \ 2x_1+4z_1=0 \\ \\ x_2+3y_2+5z_2=0 \ \ \mbox{e}\ \ 2x_2+4z_2=0$

Vediamo se il vettore $(x_1+x_2, \ y_1+y_2, \ z_1+z_2)$ appartiene a , cioè se soddisfa le due equazioni.

Per la prima

$\\ (x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)= \\ \\ = (x_1+3y_1+5z_1)+(x_2+3y_2+5z_2) = 0+0 = 0$

Si procede in modo analogo per la seconda equazione

$\\ 2(x_1+x_2)+4(z_1+z_2)= \\ \\ = (2x_1+4z_1)+(2x_2+4z_2) = 0+0 = 0$

Quindi la proprietà (a) è soddisfatta.

Per quel che riguarda (b) prendiamo $(x_1,y_1,z_1)\in S$ e uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Vogliamo vedere se $\lambda (x_1,y_1,z_1)=(\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)\in S$ .

A tal fine dobbiamo ancora una volta verificare se tale vettore soddisfa entrambe le equazioni che definiscono .

$\\ \lambda x_1 + 3 \lambda y_1 + 5 \lambda z_1=\lambda (x_1+3y_1+5z_1)= \lambda 0 = 0 \\ \\ 2 \lambda x_1 + 4 \lambda z_1 = \lambda (2x_1 + 4z_1) = \lambda 0 = 0$

Anche in questo caso i secondi fattori del secondo passaggio sono nulli perché stiamo assumendo che $(x_1,y_1,z_1)\in S$ .

Ne deduciamo che vale anche la proprietà (b) e quindi è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$ .

2) Consideriamo il seguente sottoinsieme dello spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ , e cerchiamo di capire se si tratta di un sottospazio vettoriale.

$T:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ | \ x+3y+5z=1 \ ;\ 2x+4z=0\}$

Svolgimento: il vettore nullo $\mathbf{0}_{\mathbb{R}^3} = (0,0,0)$ non appartiene a , infatti se proviamo a sostituire nella prima delle due equazioni che definiscono otteniamo

dunque non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$ .

3) Sia il sottoinsieme dello spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 3 definito nel modo seguente

$W:=\{p(x) \in \mathbb{R}_3[x] \ | \ xp''(x)-p'(x)=0\}$

È un sottospazio vettoriale?

Svolgimento: evidentemente il polinomio nullo appartiene ad , dunque passiamo alla verifica delle proprietà (a) e (b).

Troviamo dapprima la forma generale di un generico elemento di .

Sia $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3 \in \mathbb{R}_3[x]$ .

$p(x) \in W \iff xp''(x)-p'(x)=0$

Calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda di

$\\ p(x) = a+bx+cx^2+dx^3 \\ \\ p'(x)=b+2cx+3dx^2 \\ \\ p''(x)=2c+6dx$

per poi imporre la condizione di appartenenza al sottoinsieme :

$\\ p(x) \in W \iff xp''(x)-p'(x) = 0 \\ \\ \iff x(2c+6dx)-(b+2cx+3dx^2)=0 \\ \\ \iff 2cx+6dx^2-b-2cx-3dx^2=0 \\ \\ \iff -b+3dx^2=0$

Per il principio di identità di polinomi la condizione è verificata se e solo se $b=0 \mbox{ e } d=0$ . Di conseguenza

$W:=\{p(x) \in \mathbb{R}_3[x] \ | \ xp''(x)-p'(x)=0\}=\\ \\ =\{a+bx+cx^2+dx^3 \in \mathbb{R}_3[x] \ | \ b=d=0\}$

Consideriamo ora due elementi di , che dovranno essere necessariamente della forma

$\\ p_1(x)=a_1+c_1x^2 \\ \\ p_2(x)=a_2+c_2x^2$

e uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ . Consideriamo la somma tra i due polinomi e il prodotto per il generico scalare

$\\ p_1(x)+p_2(x)=a_1+c_1x^2 + a_2+c_2x^2 = (a_1+a_2)+(c_1+c_2)x^2 \in W \\ \\ \lambda p_1(x)=\lambda(a_1+c_1x^2) = \lambda a_1 + \lambda c_1 x^2 \in W$

Poiché somma e prodotto per il generico scalare soddisfano la caratterizzazione degli elementi di , concludiamo che le proprietà (a) e (b) del teorema di caratterizzazione sono verificate, dunque è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}_3[x]$ .

4) Verificare se il seguente sottoinsieme

$U=\{A \in Mat(2,2,\mathbb{R}) \ | \ A+A^{T}=\mbox{Id}_2\}$

è un sottospazio dello spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali, dove denota la trasposta della matrice e $\mbox{Id}_2$ è la matrice identità di ordine 2.

Svolgimento: osserviamo subito che la matrice nulla di ordine 2

$O=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0&0\end{pmatrix}$

cioè lo zero dello spazio vettoriale $Mat(2,2,\mathbb{R})$ , non appartiene a che quindi non è un sottospazio vettoriale.

Osservazioni utili per capire se un insieme definito da equazioni è un sottospazio vettoriale

In alcuni casi è possibile capire al volo se un insieme definito da equazioni cartesiane è o non è un sottospazio vettoriale mediante delle semplici osservazioni, molto utili soprattutto quando è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ .

Sia

$S:=\{\mathbf{v} \in V \ | \ \mbox{equazione 1, equazione 2, ..., equazione n}\}$

A) Se le $n \ge 1$ equazioni che definiscono sono lineari e omogenee, allora è un sottospazio vettoriale di , dove:

- con lineare intendiamo il fatto che le equazioni devono essere di tipo polinomiale e di grado 1 (eventualmente di più incognite).

- con omogenee ci riferiamo al fatto che il termine noto deve essere nullo.

B) Se le equazioni di sono lineari ma non omogenee allora non è un sottospazio vettoriale di . Basta infatti osservare che non è soddisfatta la condizione necessaria di appartenenza dello zero dello spazio vettoriale.

C) Se le equazioni sono non lineari, indipendentemente dal fatto che siano omogenee o non omogenee, non possiamo dir nulla a priori.

Ecco qualche esempio:

$\bullet\ S_1:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ | \ x_1+x_2+3x_4=0 \ ; \ x_3+x_4=0\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ , infatti è definito da due equazioni lineari e omogenee.

$\bullet\ S_2:=\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x_1+x_2=0 \ ; \ x_1+2x_2-x_3=2\}$

non è un sottospazio in quanto la seconda equazione che lo definisce non è omogenea.

$\bullet\ S_3=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ y^2=0\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ , infatti l'equazione di secondo grado equivale all'equazione che è lineare e omogenea.

$\bullet\ S_4:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ e^x=1\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ , anche se è un'equazione né lineare né omogenea. Per convincersene è sufficiente risolvere l'equazione esponenziale

$e^x=1 \iff e^x = e^0 \iff x=0$

e osservare che ci si riconduce a un'equazione lineare e omogenea.

Nota bene (sottospazi vettoriali e sistemi di equazioni omogenei)

Come ci lasciano intuire i precedenti esempi, per il prosieguo delle lezioni è utile osservare che le condizioni che definiscono un sottospazio vettoriale non banale possono essere sempre ricondotte a un sistema lineare omogeneo.

Nel caso in cui ciò non avvenisse l'insieme considerato non sarebbe un sottospazio.

Per fissare le idee è bene fare un paio di esempi e considerare gli insiemi

$\bullet\ S_5:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2=0\} \\ \\ \bullet\ S_6:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ xy=0\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ in quanto l'equazione equivale al sistema lineare omogeneo

$\begin{cases}x=0 \\ y=0\end{cases}$

invece non è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ , infatti

$xy=0 \iff x=0 \ \ \ \mbox{OPPURE}\ \ \ y=0$

Anche se $x=0 \mbox{ e } y=0$ sono equazioni lineari e omogenee, il connettivo logico oppure non definisce un sistema, cioè le due condizioni non devono necessariamente essere verificate contemporaneamente.

Come capire se un insieme definito per caratteristica è un sottospazio vettoriale

Passiamo agli insiemi definiti per caratteristica, cioè quelli della forma

$S:=\{\mathbf{v} \in V \ | \ \mbox{condizione 1, condizione 2, ..., condizione n}\}$

In un caso del genere non possiamo fare altro che verificare manualmente se soddisfa le proprietà (a) e (b) della caratterizzazione di sottospazio vettoriale, tenendo sempre presente la condizione di appartenenza del vettore nullo, che se non soddisfatta permette di concludere immediatamente l'esercizio.

Esempi

1) Prendiamo in esame l'insieme

$S:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ x\geq 0 \ ;\ y \geq 0\}$

formato dagli elementi $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tali da avere componenti positive o, al più, nulle.

È facile verificare che $\mathbf{0}_{\mathbb{R}^2}=(0,0)$ appartiene a , infatti le sue componenti sono entrambe nulle.

Inoltre, la somma di due vettori a componenti positive o nulle è ancora un vettore a componenti positive o nulle, e quindi la proprietà (a) è soddisfatta.

Volendolo verificare per esteso consideriamo due elementi $(x_1,y_1) \mbox{ e } (x_2,y_2)$ di , così che per ipotesi

$x_1, \ x_2, \ y_1, \ y_2\ge 0$

ne consegue che

$x_1+x_2 \ge 0 \ \ \mbox{ e }\ \ y_1+y_2 \ge 0$

e quindi $(x_1+x_2, \ y_1+y_2)\in S$ .

Per quanto riguarda la proprietà (b) prendiamo $\lambda \in\mathbb{R} \mbox{ e } (x_1,y_1)\in S$ . In generale

$\lambda (x_1,y_1)\notin S$

Considerando infatti $\lambda = -1$ otteniamo

$\lambda (x_1, y_1) = -1 (x_1, y_1) = (-x_1,-y_1) \notin S$

pertanto non è un sottospazio vettoriale.

2) Consideriamo l'insieme

$T:=\{(t_1+t_2, \ 3t_1, \ t_1, \ 1) \in \mathbb{R}^4 \ | \ t_1, \ t_2 \in \mathbb{R}\}$

e verifichiamo se è o meno un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ .

Dal momento che

$\mathbf{0}_{\mathbb{R}^4} = (0,0,0,0) \notin T$

possiamo affermare che non è un sottospazio vettoriale.

3) $U=\{p(x) \in \mathbb{R}_2[x] \ | \ p(1)=0\}$

Il polinomio nullo appartiene a , dunque per verificare se è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}_2[x]$ dobbiamo procedere alla verifica manuale delle proprietà (a) e (b) del teorema di caratterizzazione.

Siano $p_1(x), \ p_2(x)$ due elementi di

$p_1(x)=a_1+b_1x+c_1x^2\\ \\ p_2(x)=a_2+b_2x+c_2x^2$

allora:

$p_1(1)=0=p_2(1)\ \ \Rightarrow\ \ a_1+b_1+c_1=0=a_2+b_2+c_2$

La loro somma è

$\\ p_1(x)+p_2(x)=a_1+b_1x+c_1x^2+a_2+b_2x+c_2x^2 = \\ \\ = a_1+a_2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)x^2$

e la corrispondente valutazione in è

$(p_1+p_2)(1)=a_1+a_2+b_1+b_2+c_1+c_2 =\\ \\ = (a_1+b_1+c_1)+(a_2+b_2+c_2) = 0 + 0 = 0$

dunque $p_1(x)+p_2(x) \in U$ .

Sia ora $\lambda \in \mathbb{R}$ . Vediamo cosa succede con la valutazione in del prodotto $\lambda p_1(x)$ :

$\\ \lambda p_1(x) = \lambda(a_1+b_1x+c_1x^2) \\ \\ \lambda p_1(1)=\lambda(a_1+b_1+c_1)=\lambda 0 = 0$

Anche la condizione (b) è soddisfatta e quindi è un sottospazio di $\mathbb{R}_2[x]$ .

4) $W=\{A \in Mat(3,3,\mathbb{R}) \ | \ \mbox{tr}(A)=2\}$

non è un sottospazio vettoriale di $Mat(3,3,\mathbb{R})$ in quanto non vi appartiene la matrice nulla.

Per convincersene è sufficiente ricordare che $\mbox{tr}(A)$ indica la traccia della matrice , definita come la somma degli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata. La somma degli elementi della diagonale della matrice nulla di ordine 3 è pari a zero, dunque non appartiene a .

Per altri esercizi accuratamente svolti potete consultare la scheda di esercizi correlati o usare la barra di ricerca interna, senza dimenticare che qui su YM ci sono migliaia di tracce svolte e spiegate nel dettaglio. A voi la scelta. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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