Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

I metodi di risoluzione dei sistemi lineari sono delle tecniche che consentono di determinare le eventuali soluzioni di un qualsiasi sistema lineare, quadrato o rettangolare che sia.

 

In questa lezione, dedicata agli studenti universitari, vi spiegheremo come si applicano i vari metodi risolutivi per i sistemi lineari, ossia il metodo di sostituzione, il metodo di eliminazione gaussiana e la regola di Cramer, che proporremo sia per sistemi quadrati che per sistemi rettangolari, corredando il tutto con numerosi esempi. Prima però daremo la definizione rigorosa di sistema lineare, spendendo qualche parola sulla forma matriciale di un sistema e introducendo i concetti teorici che vi ruotano attorno.

 

Attenzione! Questa lezione si rivolge esclusivamente agli studenti universitari. Gli studenti delle scuole superiori possono leggere la lezione sui sistemi lineari, dove ci siamo limitati a trattare i sistemi di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite, con i relativi metodi di risoluzione che si studiano alle superiori.

 

Definizione di sistema lineare

 

Prende il nome di sistema lineare un insieme finito di equazioni di primo grado nelle stesse incognite e con coefficienti in uno stesso campo \mathbb{K} (ad esempio \mathbb{R} o \mathbb{C}).

 

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, solitamente indicate con x_1, \ x_2, \ ..., \ x_n, si presenta nella forma

 

(*) \ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

 

Gli scalari a_{ij} prendono il nome di coefficienti del sistema, mentre b_1, \ b_2, \ ..., \ b_m si dicono termini noti.

 

Si dice soluzione del sistema (*) ogni n-upla di scalari (\overline{x}_1, \ \overline{x}_2, \ ..., \ \overline{x}_n) che soddisfa tutte le sue equazioni; risolvere un sistema significa, dunque, determinarne tutte le eventuali soluzioni.

 

Se un sistema lineare ammette almeno una soluzione si dice compatibile; in caso contrario viene detto incompatibile o impossibile. Se due o più sistemi hanno le stesse soluzioni si dicono sistemi equivalenti.

 

Se i termini noti delle equazioni di (*) sono tutti nulli, ossia se b_1=b_2=...=b_m=0 il sistema è detto sistema lineare omogeneo. È utile osservare che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, infatti ammette almeno la soluzione (\overline{x}_1, \ \overline{x}_2, \ ..., \ \overline{x}_n)=(0,0,...,0), detta soluzione banale.

 

Ci sarebbe tanto altro da dire sui sistemi lineari omogenei, ma non è questo il momento per farlo. Per tutti gli approfondimenti del caso vi consigliamo la lettura della pagina del precedente link.

 

Forma matriciale di un sistema lineare

 

Alcuni dei metodi risolutivi dei sistemi lineari che tra poco proporremo prevedono di lavorare su alcune particolari matrici associate al sistema. Esse sono:

 

- la matrice incompleta (o matrice dei coefficienti)

 

A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

 

- la matrice completa

 

(A|\mathbf{b}) = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{matrix} \right| \left \begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right)

 

ottenuta accostando ad A la matrice colonna formata dai termini noti delle equazioni del sistema

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

 

Infine, indicando con \mathbf{x} la matrice colonna delle incognite

 

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

 

grazie al prodotto riga per colonna possiamo scrivere (*) in quella che viene detta forma matriciale di un sistema lineare

 

A \mathbf{x} = \mathbf{b}

 

e che si rivela assai utile per descrivere tutta la teoria che vi ruota attorno, compresi i metodi di risoluzione.

 

Risoluzione dei lineari col metodo di sostituzione

 

Possiamo finalmente entrare nel vivo della questione e introdurre il primo dei metodi risolutivi per i sistemi lineari: il metodo di sostituzione.

 

Dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite, per risolverlo con il metodo di sostituzione occorre procedere nel modo seguente:

 

1) scegliere un'equazione del sistema, e ricavare da essa il valore di un'incognita in funzione delle altre.

 

2) Sostituire l'espressione così ricavata nelle restanti m-1 equazioni.

 

3) Lasciare da parte l'equazione scelta e concentrarsi sul nuovo sistema, formato da m-1 equazioni in n-1 incognite.

 

4) Reiterare il procedimento visto finora fino a quando non si rimane con una sola equazione; nel corso di questi passaggi potrebbero, però, presentarsi i seguenti casi:

 

4a) identità del tipo 0=0, che vanno eliminate in quanto non si traducono in effettive condizioni sulle incognite;

 

4b) relazioni della forma 0=k, con k diverso da zero. In tal caso il sistema è impossibile e quindi ci si può fermare.

 

5) Se non si ricade nella situazione 4b) il sistema è compatibile, e quando si rimane con una sola equazione si incappa in una delle seguenti eventualità:

 

5a) si è di fronte a un'equazione di primo grado con una sola incognita; in tal caso il sistema ammette una e una sola soluzione e la si determina risolvendo l'ultima equazione e determinando il valore delle rimanenti con sostituzioni a ritroso.

 

5b) Nell'ultima equazione compaiono r>1 incognite; in questa eventualità il sistema ammette \infty^{n-r} soluzioni e si determinano assegnando a n-r incognite dell'ultima equazione il ruolo di parametro libero e procedendo, ancora una volta, con le sostituzioni a ritroso.

 

Se quanto appena scritto è poco chiaro, non preoccupatevi. Il metodo di sostituzione è tanto semplice da applicare quanto difficile da spiegare a parole. Per fortuna ci sono gli esempi a darci una mano. ;)

 

 

Esempio di risoluzione di un sistema lineare col metodo di sostituzione

 

Proponiamoci di risolvere con il metodo di sostituzione il sistema

 

\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-1 \\ 2x_1-x_2+x_3=1 \\ 3x_1+2x_3=0\end{cases}

 

Svolgimento: scegliamo la prima equazione e isoliamo l'incognita x_1

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ 2x_1-x_2+x_3=1 \\ 3x_1+2x_3=0\end{cases}

 

Sostituiamo l'espressione così trovata nelle altre equazioni

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ 2(-1-x_2-x_3)-x_2+x_3=1 \\ 3(-1-x_2-x_3)+2x_3=0\end{cases}

 

Svolgiamo i conti e consideriamo il sistema che si ottiene tralasciando la prima equazione (che comunque continuiamo a riscrivere)

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ -3x_2-x_3=3 \\ -3x_2-x_3=3\end{cases}

 

Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di x_3 in funzione di x_2

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ x_3=-3x_2-3 \\ -3x_2-x_3=3\end{cases}

 

e lo sostituiamo nella terza

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ x_3=-3x_2-3 \\ -3x_2-(-3x_2-3)=3\end{cases}

 

Risolvendo la terza equazione si ottiene un'identità (0=0), quindi riscriviamo il sistema tralasciandola

 

\begin{cases}x_1=-1-x_2-x_3 \\ x_3=-3x_2-3\end{cases}

 

L'ultima equazione ha r=2 incognite, dunque il sistema ammette \infty^{n-r}=\infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni. Assegniamo a x_2 il ruolo di parametro, cioè poniamo x_2=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}, e sostituiamo a ritroso

 

\begin{cases}x_2=a \\ x_3=-3x_2-3=-3a-3 \\ x_1=-1-x_2-x_3=-1-a-(-3a-3)=-1-a+3a+3=2a+2\end{cases}

 

Abbiamo finito! Le \infty^{1} soluzioni cercate sono

 

(x_1, x_2, x_3)=(2a+2, \ a,\ -3a-3), \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo di Gauss

 

Il secondo metodo di risoluzione che vi proponiamo è quello di eliminazione gaussiana (o metodo di Gauss) che permette di trasformare il sistema iniziale in un sistema equivalente, ma di facilissima risoluzione.

 

Nella lezione del precedente link abbiamo spiegato come applicare questo metodo per ridurre una qualsiasi matrice in una matrice a scalini, dunque daremo per assodato che sappiate come fare. Qui di seguito vi mostriamo, invece, come applicarlo nella risoluzione di un qualsiasi sistema lineare.

 

1) Scrivere la matrice completa (A|\mathbf{b}) associata al sistema da risolvere.

 

2) Usando l'algoritmo di Gauss ridurre la matrice (A|\mathbf{b}) in una matrice a scalini.

 

2a) Se una o più righe della matrice ridotta sono della forma \begin{pmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 & |& k\end{pmatrix}, \mbox{ con } k\neq 0, allora il sistema è impossibile. Fine!

 

2b) In caso contrario il sistema è compatibile e ammette \infty^{n-r} soluzioni, dove n è il numero di incognite del sistema e r è il numero di pivot della matrice ridotta.

 

3) Costruire il sistema la cui matrice associata è la matrice ridotta ottenuta al punto 2).

 

4) Assegnare a n-r incognite che non corrispondono ai pivot il ruolo di parametro libero e determinare le soluzioni del sistema procedendo con sostituzioni all'indietro.

 

 

Esempio di risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss

 

A titolo di esempio determiniamo le soluzioni del seguente sistema

 

\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3+2x_4=2 \\ x_1+2x_2+4x_3+4x_4=5 \\ x_2+2x_3+x_4=3\end{cases}

 

Svolgimento: scriviamo la matrice completa a esso associata

 

(A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}1&2&3&2 \\ 1&2&4&4 \\ 0&1&2&1\end{matrix} \right | \left \begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}\right)

 

Procediamo col metodo di eliminazione Gauss e, con lo scopo di annullare l'elemento a_{21}=1, sostituiamo la seconda riga R_2 della precedente matrice con la seguente combinazione lineare

 

R_2 \to -R_1+R_2 = \\ \\ =\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 & -2 & | & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 & 4 & | & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}

 

Il risultato è

 

(A|\mathbf{b})'=\left(\begin{matrix}1&2&3&2 \\ 0&0&1&2 \\ 0&1&2&1\end{matrix} \right | \left \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\right)

 

Per ottenere una matrice ridotta a gradini basta ora scambiare la seconda riga con la terza

 

(A|\mathbf{b})''=\left(\begin{matrix}1&2&3&2 \\ 0&1&2&1 \\ 0&0&1&2 \end{matrix} \right | \left \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\right)

 

Non ci sono righe della forma \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & |& k\end{pmatrix}, \mbox{ con } k\neq 0, dunque il sistema è compatibile. La matrice ridotta (A|\mathbf{b})'' ha 3 pivot corrispondenti alle incognite x_1,x_2,x_3, il che ci permette ci concludere che il sistema ammette \infty^{4-3}=\infty^1 soluzioni, dove 4 è il numero delle incognite.

 

Costruiamo il sistema la cui matrice completa associata è (A|\mathbf{b})''

 

\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3+2x_4=2 \\ x_2+2x_3+x_4=3 \\ x_3+2x_4=3\end{cases}

 

Assegniamo all'incognita x_4 il ruolo di parametro libero ponendo x_4=a, con a\in\mathbb{R}, e determiniamo il valore delle altre procedendo con sostituzioni all'indietro. 

 

\begin{cases}x_4=a \\ x_3=3-2x_4=3-2a \\ x_2=3-2x_3-x_4=3-2(3-2a)-a=3-6+4a-a=3a-3 \\ x_1=2-2x_2-3x_3-2x_4=2-2(3a-3)-3(3-2a)-2a=2-6a+6-9+6a-2a=-2a-1\end{cases}

 

Finito! Le soluzioni del sistema sono

 

(x_1, x_2, x_3, x_4)=(-2a-1, \ 3a-3, \ -2a+3, \ a), \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

Metodo di Cramer per sistemi quadrati

 

Un sistema si dice quadrato se il numero di equazioni che lo compongono uguaglia il numero delle incognite. Per tali tipi di sistemi esiste un metodo risolutivo detto metodo di Cramer (o regola di Cramer) e, come vedremo nel seguito, si può estendere anche a sistemi rettangolari.

 

Tale metodo discende da un teorema detto, per l'appunto, teorema di Cramer: dato un sistema lineare di n \ge 1 equazioni in n incognite, siano A la matrice incompleta a esso associata e A_i, \mbox{ con } i\in \{1,2,...,n\} le matrici ottenute sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna dei termini noti del sistema.

 

Se il determinante della matrice A è diverso da zero, il sistema ammette un'unica soluzione (\overline{x}_1,\overline{x}_2, ..., \overline{x}_n) data da

 

\overline{x}_1=\frac{\mbox{det}(A_1)}{\mbox{det}(A)}, \ \ \overline{x}_2=\frac{\mbox{det}(A_2)}{\mbox{det}(A)}, \ \ ..., \ \ \overline{x}_n=\frac{\mbox{det}(A_n)}{\mbox{det}(A)}

 

Se siete interessati alla dimostrazione del teorema di Cramer vi rimandiamo alla pagina del link.

 

 

Esempio di risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Cramer

 

Dando per assodato che sappiate come calcolare il determinante della matrice, applichiamo il metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema

 

\begin{cases}2x_1+6x_2+4x_3=1 \\ x_1+3x_2-x_3=2 \\ -x_1+x_2+2x_3=1\end{cases}

 

Svolgimento: la matrice incompleta associata è

 

A=\begin{pmatrix}2&6&4 \\ 1&3&-1 \\ -1&1&2\end{pmatrix}

 

Procedendo, ad esempio, con la regola di Sarrus, lasciamo a voi il compito di verificare che

 

\mbox{det}(A)=24

 

Per il teorema di Cramer il sistema ammette un'unica soluzione. Per determinarla dobbiamo calcolare i determinanti delle matrici A_1, \ A_2, \ A_3 ottenute sostituendo, rispettivamente, prima, seconda e terza colonna di A con la colonna dei termini noti

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}

 

\\ \mbox{det}(A_1)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&6&4 \\ 2&3&-1 \\ 1&1&2\end{pmatrix} = -27 \\ \\ \\ \mbox{det}(A_2)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&4 \\ 1&2&-1 \\ -1&1&2\end{pmatrix}=21 \\ \\ \\ \mbox{det}(A_3)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&6&1 \\ 1&3&2 \\ -1&1&1\end{pmatrix}=-12

 

La soluzione del sistema è

 

\begin{cases}x_1=\dfrac{\mbox{det}(A_1)}{\mbox{det}(A)}=\dfrac{-27}{24}=-\dfrac{9}{8} \\ \\ x_2=\dfrac{\mbox{det}(A_2)}{\mbox{det}(A)}=\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8} \\ \\ x_3=\dfrac{\mbox{det}(A_3)}{\mbox{det}(A)}=\dfrac{-12}{24}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

 

Metodo di Cramer per sistemi rettangolari

 

Con qualche piccolo stratagemma possiamo estendere il metodo di Cramer alla risoluzione di sistemi lineari rettangolari in cui il numero di equazioni è diverso dal numero delle incognite, oppure alla risoluzione di sistemi lineari quadrati la cui matrice incompleta abbia determinante nullo.

 

Sia A\mathbf{x}=\mathbf{b} un sistema lineare di m equazioni in n incognite.

  

1) Si calcolano il rango della matrice completa (A|\mathbf{b}) e il rango della matrice incompleta A.

 

1a) Se \mbox{rk}(A)\neq \mbox{rk}(A|\mathbf{b}) il sistema è impossibile. Fine!

 

1b) Se \mbox{rk}(A) = \mbox{rk}(A|\mathbf{b}) = r il sistema ammette \infty^{n-r} soluzioni che possono essere calcolate con il metodo di Cramer.

 

2) Si considera la sottomatrice A' associata a un minore non nullo di ordine r della matrice A.

 

3) Si riscrive il sistema iniziale eliminando le eventuali equazioni corrispondenti alle righe di A non presenti in A' e assegnando il ruolo di parametro libero alle n-r incognite corrispondenti alle colonne di A non presenti in A'.

 

4) Il sistema ottenuto al precedente punto è quadrato e si può risolvere applicando il teorema di Cramer.

 

 

Esempio di risoluzione di un sistema lineare rettangolare con il metodo di Cramer

 

Applicando il metodo di Cramer proponiamoci di risolvere il sistema rettangolare che segue, composto da tre equazioni in quattro incognite

 

\begin{cases}x_1-x_2+4x_3-x_4=1 \\ x_1-2x_2+3x_3-x_4=0 \\ 5x_1+2x_2-x_3+6x_4=3\end{cases}

 

Le matrici a esso associate sono

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-1&4&-1 \\ 1&-2&3&-1 \\ 5&2&-1&6\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}1&-1&4&-1 \\ 1&-2&3&-1 \\ 5&2&-1&6\end{matrix} \right | \left \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right)

 

Calcoliamone il rango con il criterio dei minori. Consideriamo la sottomatrice A' estratta da A eliminando la quarta colonna

 

A'=\begin{pmatrix}1&-1&4 \\ 1&-2&3 \\ 5&2&-1\end{pmatrix}

 

Lasciamo a voi il compito di verificare che il suo determinante è non nullo, infatti

 

\mbox{det}(A')=28 \neq 0

 

Il rango di A è dunque massimo e pari a 3

 

\mbox{rk}(A)=3

 

Essendo A una sottomatrice di (A|\mathbf{b}) con rango massimo e potendo essere il rango di (A|\mathbf{b}) al più uguale a 3, possiamo concludere che

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

 

Dunque il sistema è compatibile e ammette \infty^{4-3}=\infty^{1} soluzioni.

 

Riscriviamo il sistema iniziale assegnando il ruolo di parametro libero all'incognita x_4, i cui coefficienti corrispondono alla colonna di A che non compare nella matrice A'. Poniamo, cioè, x_4=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}.

 

\begin{cases}x_1-x_2+4x_3-a=1 \\ x_1-2x_2+3x_3-a=0 \\ 5x_1+2x_2-x_3+6a=3\end{cases}

 

Portiamo il parametro a secondo membro, assieme ai termini noti

 

\begin{cases}x_1-x_2+4x_3=1+a \\ x_1-2x_2+3x_3=a \\ 5x_1+2x_2-x_3=3-6a\end{cases}

 

e troviamone le soluzioni applicando il teorema di Cramer.

 

Osserviamo che la matrice incompleta associata al nuovo sistema è la matrice A', di cui abbiamo già calcolato il determinante. Ci rimangono allora da calcolare i determinanti delle matrici A'_1, \ A'_2, \ A'_3 ottenute sostituendo prima, seconda e terza colonna di A' con la colonna dei termini noti del nuovo sistema.

 

\\ \mbox{det}(A'_1)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1+a & -1 & 4 \\ a & -2 & 3 \\ 3-6a & 2 & -1\end{pmatrix} = 11-27a \\ \\ \\ \mbox{det}(A'_2)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & 1+a & 4 \\ 1 & a & 3 \\ 5 & 3-6a & -1\end{pmatrix} = 19-11a \\ \\ \\ \mbox{det}(A'_3)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & -1 & 1+a \\ 1 & -2 & a \\ 5 & 2 & 3-6a\end{pmatrix} = 9+11a

 

Le soluzioni cercate sono

 

\begin{cases}x_1=\dfrac{\mbox{det}(A'_1)}{\mbox{det}(A')}=\dfrac{11-27a}{28} \\ \\ x_2=\dfrac{\mbox{det}(A'_2)}{\mbox{det}(A')}=\dfrac{19-11a}{28} \\ \\ x_3=\dfrac{\mbox{det}(A'_3)}{\mbox{det}(A')}=\dfrac{9+11a}{28} \\ \\ x_4=a\end{cases}

 

Risoluzione di un sistema lineare: quale metodo scegliere?

 

Prima di salutarvi ci teniamo a spendere qualche parola sul metodo da preferire per risolvere un sistema lineare. Senza ombra di dubbio, il metodo di Cramer è quello più dispendioso in termini di calcoli, e neanche il metodo di sostituzione scherza, soprattutto se il numero di equazioni inizia a crescere.

 

A nostro avviso, se il sistema presenta un numero di equazioni maggiore o uguale a 4, il metodo da preferire è quello dell'eliminazione di Gauss che ad una prima lettura potrebbe sembrare molto laborioso, ma dopo averci preso la mano è quello che permette di giungere alla soluzione nel minor tempo possibile. ;)

 

 


 

Siamo finalmente giunti alla fine di questa lezione. Vi invitiamo a non perdere la prossima lezione, dove introdurremo il teorema di Rouché Capelli, uno strumento utile a stabilire se un sistema è compatibile o impossibile senza doverlo risolvere; se ciò non bastasse vi anticipiamo che grazie a questo teorema è anche possibile quantificare le soluzioni di ogni sistema compatibile attraverso il semplice studio del rango delle matrici a esso associate.

 

Per tutto il resto tenete a mente che qui su YM c'è un tool che permette di risolvere i sistemi di equazioni online, che potrebbe tornarvi molto utile per verificare l'esattezza degli svolgimenti dei vostri esercizi. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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