Sottomatrice e minori di una matrice

Data una qualsiasi matrice, prendono il nome di sottomatrici quelle matrici ottenute eliminando alcune righe e/o alcune colonne della matrice in esame, mentre si dicono minori associati a una matrice i determinanti delle sottomatrici quadrate da essa estratte.

 

Per quanto le definizioni che esporremo in questa lezione possano apparire semplici, in realtà sono molto delicate, senza contare che sono la base su cui poggiano argomenti cardine dell'Algebra Lineare, come il calcolo del rango, la risoluzione dei sistemi lineari, lo studio della definitezza di una matrice e il calcolo della matrice inversa.

 

Ecco allora spiegato il motivo per cui abbiamo deciso di dedicare all'argomento un'intera lezione, in cui daremo le definizioni di sottomatrice e di minore associato a una matrice, per poi introdurre e mostrare svariati esempi sui seguenti tipi di minori: minore complementare, minore orlato, minore principale e minore di testa.

 

Sottomatrice: definizione ed esempi

 

Sia A una matrice qualsiasi con m \ge 1 righe e n\ge 1 colonne. Si dicono sottomatrici di A tutte quelle matrici estratte da A eliminando un numero arbitrario di righe e/o di colonne.

 

In alternativa, possiamo definire sottomatrice di A qualsiasi matrice costruita prendendo gli elementi dell'intersezione di r righe e s colonne di A, con 0\le r \le m, \mbox{ e } 0 \le s \le n

 

 

Esempi di sottomatrici

 

Consideriamo la seguente matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&0&2&4 \\ 5&7&6&8 \\ -2&3&-1&9\end{pmatrix}

 

Sono sottomatrici di A:

 

A'=\begin{pmatrix}1&0&2 \\ 5&7&6 \\ -2&3&-1\end{pmatrix}

 

ottenuta eliminando l'ultima colonna di A o, equivalentemente, pensata come l'intersezione tra le sue prime tre righe e tre colonne.

 

A''=\begin{pmatrix}0&2 \\ 3&-1\end{pmatrix}

 

costruita eliminando prima e quarta colonna e seconda riga di A o, equivalentemente, ricavata come intersezione tra prima e terza riga e seconda e terza colonna di A.

 

A'''=\begin{pmatrix}7&8\end{pmatrix}

 

estratta eliminando prima e terza riga e prima e terza colonna di A.

 

Minori di una matrice: definizione ed esempi

 

Dopo aver introdotto il concetto di sottomatrice possiamo dare la definizione di minore di una matrice, partendo da quella generale per poi passare in rassegna, uno per per volta, i vari tipi di minori, fornendone la definizione e qualche esempio.

 

Potrebbe sembrare un inutile elenco di nozioni teoriche, ma non sottovalutatele! Ribadiamo ancora una volta che i concetti che vedremo sono strumenti utili a calcolare il rango, a studiare la definitezza di una matrice, a risolvere i sistemi lineari e a calcolare la matrice inversa, ed è bene quindi capire come si definiscono e, soprattutto, come si costruiscono.

 

Come di consueto, consideriamo una qualsiasi matrice A (quadrata o rettangolare) con m \ge 1 righe e n \ge 1 colonne.

 

Si definisce minore della matrice A il determinante di una sottomatrice quadrata di A; l'ordine della sottomatrice è detto ordine del minore.

 

In alcune situazioni con minore di una matrice si intende, semplicemente, una sottomatrice quadrata di una data matrice, ma niente paura: sarà il contesto a far capire se ci si sta riferendo al minore come determinante o al minore come sottomatrice.

 

 

Esempi sui minori di una matrice

 

Prendiamo in esame la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2&1&4 \\ -1&0&-2 \\ 3&6&5 \\ -4&7&-3\end{pmatrix}

 

I suoi minori di ordine 3 sono

 

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&0&2 \\ 3&6&5 \\ -4&7&-3\end{pmatrix} = -37 \ \ \ ;\ \ \ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&4 \\ 3&6&5 \\ -4&7&-3 \end{pmatrix} = 63 \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&4 \\ -1&0&2 \\ -4&7&-3\end{pmatrix} = 5 \ \ \ ;\ \ \ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&4 \\ -1&0&2 \\ 3&6&5\end{pmatrix} = -1

 

ottenuti calcolando i determinanti delle sottomatrici ricavate eliminando, rispettivamente, prima, seconda, terza e quarta riga di A.

 

Alcuni dei suoi minori di ordine 2 sono, invece

 

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1 \\ -1&0\end{pmatrix}=1 \ \ \ ;\ \ \ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&4 \\ -1&-2\end{pmatrix}=0 \\ \\ \\  \mbox{det}\begin{pmatrix}0&-2 \\ 6&5\end{pmatrix} = 12 \ \ \ ;\ \ \  \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&0 \\ -4&7\end{pmatrix}=-7 \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}1&4 \\ 7&-3\end{pmatrix}=-31

 

Minore orlato

 

Data una matrice A, quadrata o rettangolare, estraiamo una sua sottomatrice quadrata di ordine p e chiamiamola A'. Si definisce minore orlato il determinante di ogni sottomatrice quadrata di A di ordine p+1, ottenuta dalla sottomatrice A' aggiungendo una riga e una colonna di A.

 

 

Esempi di minori orlati di una matrice

 

Per fornire degli esempi di minori orlati consideriamo la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2&1&-1&3 \\ 1&2&1&0 \\ 5&4&7&-2\end{pmatrix}

 

ed estraiamo una sottomatrice di ordine p=2

 

A'=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2\end{pmatrix}

 

Dopodiché costruiamo le sottomatrici quadrate di A che si ottengono da A' aggiungendovi una riga e una colonna

 

\\ \begin{pmatrix}2&1&-1 \\ 1&2&1 \\ 5&4&7\end{pmatrix} \ \ \ ;\ \ \ \begin{pmatrix}2&1&3 \\ 1&2&0 \\ 5&4&-2\end{pmatrix}

 

I determinanti delle precedenti matrici sono detti minori orlati di A', tutto qui. ;)

 

Minore complementare

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n \ge 2. Si dice minore complementare il determinante di una sottomatrice estratta da A eliminando una sola riga e una sola colonna.

 

In particolare, fissato un elemento a_{ij} \in A, è detto minore complementare relativo ad aij, e si indica con C_{ij}, il minore complementare calcolato sulla base della sottomatrice A_{ij} ottenuta dall'eliminazione dell'i-esima riga e della j-esima colonna di A.

 

Partendo dalla definizione di minore complementare relativo a un elemento a_{ij} si introduce il concetto di complemento algebrico relativo a un elemento a_{ij} (o cofattore relativo a un elemento a_{ij}).

 

Se a_{ij} \in A si definisce complemento algebrico (o cofattore) relativo all'elemento a_{ij}, e si indica con \mbox{Cof}(a_{ij}), il minore complementare relativo all'elemento ad a_{ij}, a cui si antepone il segno + se i+j è pari e il segno - se i+j è dispari.

 

In formule:

 

\mbox{Cof}(a_{ij}) = (-1)^{i+j} \cdot C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(A_{ij})

 

 

Esempi di minori complementari

 

Sia

 

A=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ -1&3&4 \\ 5&-2&6\end{pmatrix}

 

una matrice quadrata di ordine 3. I minori complementari relativi ai suoi nove elementi sono

 

\begin{array}{lcl} C_{11}=\mbox{det}(A_{11})=\mbox{det}\begin{pmatrix}3&4 \\ -2&6\end{pmatrix} = 26; & & C_{12}=\mbox{det}(A_{12})=\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&4 \\ 5&6 \end{pmatrix}=-26; \\ \\ \\ C_{13}=\mbox{det}(A_{13})=\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&3 \\ 5&-2\end{pmatrix}=-13; & & C_{21}=\mbox{det}(A_{21})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ -2&6 \end{pmatrix}=6; \\ \\ \\ C_{22}=\mbox{det}(A_{22})=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&0 \\ 5&6\end{pmatrix}=12; & & C_{23}=\mbox{det}(A_{23})=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1 \\ 5&-2 \end{pmatrix}=-9; \\ \\ \\ C_{31}=\mbox{det}(A_{31})=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ 3&4\end{pmatrix}=4; & & C_{32}=\mbox{det}(A_{32})=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&0 \\ -1&4 \end{pmatrix}=8; \\ \\ \\ C_{33}=\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1 \\ -1&3 \end{pmatrix}=7\end{array}

 

da cui è immediato calcolare i rispettivi cofattori

 

\begin{array}{lcl} \mbox{Cof}(a_{11}) = (-1)^{1+1} \cdot C_{11} = 1 \cdot 26 = 26 & & \mbox{Cof}(a_{12})=(-1)^{1+2} \cdot C_{12}=-1 \cdot (-26)=26; \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{13})=(-1)^{1+3} \cdot C_{13}=1 \cdot (-13)=-13; & & \mbox{Cof}(a_{21})=(-1)^{2+1} \cdot C_{21}=-1 \cdot 6 = -6; \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{22}) = (-1)^{2+2} \cdot C_{22}=1 \cdot 12=12; & & \mbox{Cof}(a_{23}) = (-1)^{2+3} \cdot C_{23}=-1 \cdot (-9) = 9; \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{31}) = (-1)^{3+1} \cdot C_{31}=1 \cdot 4 = 4; & & \mbox{Cof}(a_{32}) = (-1)^{3+2} \cdot C_{32}=-1 \cdot 8 = -8; \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{33}) = (-1)^{3+3} \cdot C_{33}=1 \cdot 7 = 7\end{array}

 

Minore principale

 

Si assegna il nome di minore principale a ciascun determinante di una sottomatrice estratta da una matrice quadrata A eliminando righe e colonne con lo stesso indice, come ad esempio seconda riga e seconda colonna, prima e terza riga e prima e terza colonna.

 

 

Esempi sui minori principali

 

Alcuni dei minori principali di

 

A=\begin{pmatrix}4&-1&2&3 \\ 0&1&5&-2 \\ 6&-3&-4&2 \\ 1&7&0&-1\end{pmatrix}

 

sono i determinanti delle seguenti sottomatrici

 

\begin{pmatrix}1&5&-2 \\ -3&-4&2 \\ 7&0&-1\end{pmatrix}

 

estratta eliminando prima riga e prima colonna di A

 

\begin{pmatrix}4&2 \\ 6&-4 \end{pmatrix}

 

ricavata dall'eliminazione di seconda e quarta riga e seconda e quarta colonna di A

 

\begin{pmatrix}4 \end{pmatrix}

 

ottenuta cancellando le ultime tre righe e le ultime tre colonne della matrice iniziale.

 

Minore di testa

 

Data una matrice quadrata A di ordine n \ge 1, prende il nome di minore di testa, o minore di nord-ovest o ancora minore guida, il determinante di ciascuna sottomatrice estratta da A eliminando le ultime k righe e le ultime k colonne, con 0 \le k \le n-1.

 

È utile osservare che una matrice quadrata di ordine n ha esattamente n minori di testa e che un minore di testa è anche un minore principale, ma non è vero il viceversa, cioè un minore principale non è detto che sia un minore di testa.

 

 

Esempi sui minori di testa

 

I minori di testa della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&-1&3 \\ 4&5&-2\end{pmatrix}

 

sono

 

\\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&-1&3 \\ 4&5&-2\end{pmatrix} = -13 \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&-1\end{pmatrix} = -1 \\ \\ \\ \mbox{det} \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=1

 

 


 

È davvero tutto! Per qualsiasi necessità non dimenticate che qui su YM è disponibile un tool per il calcolo del determinante online. Dalla prossima lezione, dedicata al calcolo della matrice inversa, vedremo un primo esempio di applicazione dei concetti introdotti in questa lezione. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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