Prodotto misto

Il prodotto misto è un'operazione definita per tre qualsiasi vettori dello spazio tridimensionale che restituisce un numero reale. Più precisamente il prodotto misto è un'espressione tra vettori in cui compaiono sia un prodotto vettoriale che un prodotto scalare, e questo giustifica la scelta del nome: l'aggettivo misto sta infatti a indicare un prodotto definito attraverso altre operazioni.

 

Con questa lezione concludiamo la parte dedicata alle operazioni tra vettori concentrando la nostra attenzione sul prodotto misto. Ne daremo dapprima la definizione per poi fornirne l'interpretazione geometrica, elencarne le proprietà e mostrarvi come calcolare il prodotto misto ricorrendo al calcolo del determinante di una matrice.

 

Se ancora non avete studiato il concetto di determinante, non preoccupatevene: come vedremo tra poco con qualche esempio, il prodotto misto può essere calcolato svolgendo separatamente dapprima il prodotto vettoriale e poi quello scalare. Ricorrere al calcolo del determinante è solo un metodo che permette di risparmiare un po' di tempo e che potete usare dopo aver studiato la teoria sulle matrici. ;)

 

Definizione di prodotto misto

 

Siano \vec{u}, \ \vec{v}, \ \vec{w} \in \mathbb{R}^3 tre vettori dello spazio euclideo tridimensionale. Si definisce prodotto misto l'espressione

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}

 

dove \times indica il prodotto vettoriale e \cdot rappresenta il prodotto scalare canonico.

 

Dalle definizioni di prodotto scalare e di prodotto vettoriale è evidente l'ordine con cui vanno eseguite le operazioni: si deve svolgere dapprima il prodotto vettoriale (che restituisce un vettore) e poi quello scalare; se si svolgesse prima il prodotto scalare si otterrebbe, infatti, uno scalare, e non avrebbe alcun senso moltiplicarlo vettorialmente per un vettore.

 

Il prodotto misto restituisce uno scalare, infatti indicando con || \ || la norma euclidea e con \theta l'angolo formato dai vettori \vec{u} \times \vec{v} \mbox{ e } \vec{w}, dalla definizione di prodotto scalare segue che:

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = ||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \cos(\theta) \in \mathbb{R}

 

 

Esempio sul calcolo del prodotto misto

 

Siano \vec{u}=(1,0,1), \ \ \vec{v}=(1,3,2), \ \ \vec{w}=(-2,5,3)

 

Calcolare il prodotto misto \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}

 

Svolgimento: iniziamo col determinare le componenti del vettore \vec{u} \times \vec{v}.

 

Indicando con \vec{u}=(u_1, u_2, u_3)=(1,0,1) le componenti di \vec{u} e con \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(1,3,2) le componenti di \vec{v} abbiamo che:

 

\\ \vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2, \ u_3v_1-u_1v_3, \ u_1v_2-u_2v_1) = \\ \\ = ((0)(2) - (1)(3), \ (1)(1) - (1)(2), \ (1)(3) - (0)(1)) = \\ \\ = (0-3, \ 1-2, \ 3-0) = (-3,-1,3)

 

Dunque

 

\\ \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = (-3,-1,3) \cdot (-2,5,3) = \\ \\ = (-3)(-2) + (-1)(5) + (3)(3) = 6-5+9 = 10

 

Proprietà del prodotto misto

 

Passiamo ora all'elenco delle proprietà del prodotto misto, la più importante delle quali è la cosiddetta condizione di complanarità tra vettori dello spazio euclideo.

 

1) Il risultato del prodotto misto è uno scalare il cui valore assoluto non dipende dall'ordine con cui sono scritti i vettori, cioè

 

|\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}| = |\vec{u} \times \vec{w} \cdot \vec{v}| = |\vec{v} \times \vec{u} \cdot \vec{w}| = |\vec{v} \times \vec{w} \cdot \vec{u}| = |\vec{w} \times \vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{w} \times \vec{v} \cdot \vec{u}|

 

 

2) Il segno del prodotto misto dipende, invece, dall'ordine dei vettori e ciò è una conseguenza dell'anticommutatività del prodotto vettoriale. In particolare, una permutazione ciclica dei tre vettori non cambia il segno del prodotto misto, ossia

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{v} \times \vec{w} \cdot \vec{u} = \vec{w} \times \vec{u} \cdot \vec{v}

 

 

3) Condizione di complanarità tra vettori: il prodotto misto di tre vettori è zero se e solo se i tre vettori sono complanari, cioè appartengono allo stesso piano.

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \iff \vec{u}, \ \vec{v}, \ \vec{w} \mbox{ sono complanari}

 

Per giungere a tale conclusione è sufficiente osservare che il prodotto scalare tra \vec{u} \times \vec{v} e \vec{w} è nullo se e solo se il vettore \vec{u} \times \vec{v} è perpendicolare al vettore \vec{w}. Per definizione di prodotto vettoriale \vec{u} \times \vec{v} è ortogonale sia a \vec{u} che a \vec{v}, dunque \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} è nullo se e solo se \vec{w} è complanare con \vec{u} e con \vec{v}.

 

Interpretazione geometrica del prodotto misto

 

Consideriamo tre vettori non complanari \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3 e siano \overrightarrow{OA}, \ \overrightarrow{OB}, \ \overrightarrow{OC} tre loro rappresentanti aventi lo stesso punto di applicazione O.

 

Il valore assoluto del loro prodotto misto è il volume del parallelepipedo avente come come spigoli i rappresentanti dei tre vettori, ed equivale a 6 volte il volume del tetraedro di vertici O, \ A, \ B, \ C.

 

 

Significato geometrico del prodotto misto

Interpretazione geometrica del prodotto misto

 

 

In riferimento alla precedente immagine:

 

| \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} | = \mbox{Volume del parallelepipedo di spigoli } \overline{OA}, \ \overline{OB}, \ \overline{OC} \mbox{ e altezza } \overline{OH}

 

Per convincersene è sufficiente ricordare che il volume di un parallelepipedo si calcola come il prodotto tra l'area di base e la misura dell'altezza, dunque

 

\mbox{Volume parallelepipedo} = S_b \ \overline{OH}

 

Indicando con \theta l'angolo (convesso) tra i vettori \vec{u} \times \vec{v} \mbox{ e } \vec{w}, dalla formula utile a calcolare l'angolo convesso tra vettori segue che

 

\cos(\theta) = \frac{(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}}{||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}||}

 

ossia

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}=||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \ \cos(\theta)

 

e quindi

 

\\ \left|\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}\right|=\left| \ ||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \ \cos(\theta) \ \right| = \\ \\ = ||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \ \left| \cos(\theta) \right|

 

Osserviamo ora che

 

||\vec{u} \times \vec{v}||

 

rappresenta l'area del parallelogramma avente come lati i vettori \overrightarrow{OA} \mbox{ e } \overrightarrow{OB}, rappresentanti, rispettivamente, dei vettori \vec{u} \mbox{ e } \vec{v}, dunque

 

S_b=||\vec{u} \times \vec{v}||

 

Di contro, dai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo segue che la quantità

 

||\vec{w}|| \ \left| \cos(\theta) \right|

 

individua la misura dell'altezza \overline{OH} del parallelepipedo, che coincide con la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo di vertici O, \ H, \ C, ossia

 

\overline{OH}=||\vec{w}|| \ \left| \cos(\theta) \right|

 

Sostituendo il tutto nella formula del volume del parallelepipedo si ottiene

 

\mbox{Volume parallelepipedo} = S_b \ \overline{OH} = ||\vec{u} \times \vec{v}|| \ ||\vec{w}|| \ |\cos(\theta)| = |\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}|

 

Abbiamo così dimostrato che il volume del parallelepipedo costruito su tre vettori non complanari uguaglia il valore assoluto del loro prodotto misto.

 

Come calcolare il prodotto misto con il determinante

 

A chi già sa come calcolare il determinante di una matrice segnaliamo un metodo che permette di calcolare il prodotto misto tra vettori di cui siano note le componenti. Tutti gli altri possono proseguire con le lezioni successive e tornare qui dopo aver affrontato lo studio del determinante.

 

Il prodotto misto di tre vettori \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \ \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) è uguale al determinante della matrice 3x3 avente come righe (o come colonne) le componenti dei tre vettori, e composta rispettando l'ordine con cui i vettori compaiono nel prodotto. In formule:

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = \mbox{det}\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}= \mbox{det}\begin{pmatrix}u_1&v_1&w_1 \\ u_2&v_2&w_2 \\ u_3&v_3&w_3\end{pmatrix}

 

 

Esempio sul calcolo del prodotto misto con il determinante

 

Determinare il valore del prodotto misto \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}, sapendo che

 

\\ \vec{u}=(1,0,0) \\ \\ \vec{v}=(2,0,3) \\ \\ \vec{w}=(4,5,7)

 

Svolgimento: disponiamo i vettori in una matrice facendo in modo che la prima riga contenga le componenti di \vec{u}, la seconda quelle di \vec{v} e la terza quella di \vec{w}

 

\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&0&3 \\ 4&5&7\end{pmatrix}

 

Il prodotto misto \vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} è il determinante della precedente matrice, che possiamo calcolare con la regola di Laplace sviluppando i calcoli rispetto alla prima riga, che contiene due zeri.

 

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w} = \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&0&3 \\ 4&5&7\end{pmatrix} = 1 \ \mbox{det} \begin{pmatrix}0&3 \\ 5&7\end{pmatrix} = 1 \ (0-15) = -15

 

In alternativa avremmo potuto sviluppare i calcoli rispetto alla seconda colonna (anch'essa con due elementi nulli) o effettuare il calcolo del determinante con la regola di Sarrus.

 

 


 

Con questa lezione si conclude la parte del corso dedicata alle operazioni con i vettori. Nella prossima lezione introdurremo il concetto di matrice e, a seguire, svilupperemo tutta la teoria che vi ruota attorno.

 

Nel frattempo, in caso di domande o perplessità, potete far uso della barra di ricerca interna per trovare tutte le risposte ai vostri dubbi e consultare tonnellate di esercizi svolti. A questo proposito, non perdetevi il tool per calcolare il prodotto misto online e la scheda correlata di esercizi sul prodotto misto. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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