Matrice aggiunta

Si dice matrice aggiunta o matrice trasposta coniugata di una data matrice A la trasposta della matrice complessa coniugata associata ad A, ossia la trasposta della matrice che si costruisce sostituendo ogni elemento di A col suo complesso coniugato.

In questa lezione ci occupiamo della nozione di matrice aggiunta associata a una matrice A: vedremo com'è definita, come si costruisce e quali sono le proprietà di cui gode l'aggiunta di una matrice, corredando il tutto con utili osservazioni e svariati esempi.

Prima di procedere oltre ci teniamo a precisare che alcuni libri di testo definiscono la matrice aggiunta come la trasposta della matrice dei complementi algebrici, che abbiamo introdotto nell'articolo sulla matrice inversa.

Definizione di matrice aggiunta

Sia A una generica matrice a elementi in campo complesso. La matrice aggiunta associata ad A, che indichiamo con A^*, è la matrice complessa coniugata della matrice trasposta di A.

matrice aggiunta di A → A^* = A^T

La matrice aggiunta di una matrice A si ottiene quindi scrivendo la matrice trasposta A^T e sostituendo ogni elemento della trasposta con il relativo complesso coniugato.

Esprimiamo ora la definizione in termini matematici. Sia

A ∈ C^(m,n), A = (a_(ij))_(1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n)

una generica matrice con m righe ed n colonne avente come coefficienti dei numeri complessi. Allora

A^* ∈ C^(n,m), A^* = (a_(ji))_(1 ≤ j ≤ n ; 1 ≤ i ≤ m)

All'atto pratico, cioè quando procediamo al calcolo della matrice aggiunta, nulla ci vieta di invertire il procedimento seguito finora. Possiamo cioè prima calcolare la complessa coniugata A di A e successivamente la trasposta di A.

In sintesi possiamo ricavare la matrice aggiunta sia come la complessa coniugata della trasposta

A^* = A^T

sia come la trasposta della coniugata

A^* = (A)^T

Esempio

A = [i 2 3−i ; 4 −5i 0 ; 3 2 −2−i]

Per trovare la matrice aggiunta di A scriviamo dapprima la trasposta

A^T = [i 4 3 ; 2 −5i 2 ; 3−i 0 −2−i ]

e successivamente sostituiamo ogni elemento della trasposta con il suo complesso coniugato, ossia ricaviamo la complessa coniugata della matrice A^(T)

A^T = [−i 4 3 ; 2 5i 2 ; 3+i 0 −2+i ]

Quella appena ottenuta è proprio l'aggiunta della matrice A.

In alternativa avremmo potuto calcolare dapprima la complessa coniugata di A

A = [−i 2 3+i ; 4 5i 0 ; 3 2 −2+i]

e poi trasporla

A^T = [−i 4 3 ; 2 5i 2 ; 3+i 0 −2+i ]

ottenendo così la stessa matrice.

Proprietà della matrice aggiunta

1) Se una matrice è definita in campo reale, ossia se i suoi elementi sono tutti numeri reali, allora la matrice aggiunta coincide con la matrice trasposta. Questa semplice proprietà deriva dal fatto che il complesso coniugato di un numero reale coincide con il numero stesso.

2) L'aggiunta della matrice aggiunta di una matrice coincide con la matrice stessa, ossia

(A^*)^* = A

3) Se A è una matrice quadrata, il determinante dell'aggiunta di A è il complesso coniugato del determinante di A. In simboli

det(A^*) = det(A)

4) L'aggiunta di una somma di matrici è uguale alla somma delle matrici aggiunte. In altri termini, se abbiamo due matrici dello stesso tipo (e quindi tali da poterne effettuare la somma) vale la seguente proprietà:

(A+B)^* = A^*+B^*

Tale proprietà si può estendere alla somma di tre o più matrici.

5) L'aggiunta del prodotto di una matrice per uno scalare è uguale al prodotto tra il complesso coniugato dello scalare e la matrice aggiunta; in formule

(λ A)^* = λ A^*

6) L'aggiunta del prodotto tra due matrici A e B, a patto che esista, è uguale al prodotto tra l'aggiunta di B e l'aggiunta di A, cioè

(AB)^* = B^* A^*

Tale risultato, come nel caso della somma, si può estendere al prodotto di tre o più matrici.

7) La matrice aggiunta di una matrice invertibile è ancora una matrice invertibile e l'aggiunta della matrice inversa coincide con l'inversa dell'aggiunta, ossia

(A^(−1))^* = (A^*)^(−1)

8) Partendo dalla matrice aggiunta si possono definire le seguenti matrici:

- matrice hermitiana o matrice autoaggiunta: matrice a coefficienti complessi che ha la proprietà di coincidere con la matrice aggiunta.

- matrice unitaria: matrice quadrata complessa tale che il prodotto con la sua matrice aggiunta ci dà la matrice identità.

- matrice normale: tale che il prodotto con la sua matrice aggiunta gode della proprietà commutativa.

Questo conclude tutto quello che c'è da sapere sulle matrici aggiunte. In caso di dubbi, o se foste in cerca di approfondimenti e di esercizi svolti, vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, nonché un utile tool per determinare la matrice aggiunta online. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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