Matrice simmetrica e matrice antisimmetrica

Una matrice simmetrica è una matrice quadrata che coincide con la sua trasposta; in modo equivalente si definisce simmetrica una matrice quadrata i cui elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Le matrici simmetriche rivestono un ruolo chiave nello studio dell'Algebra Lineare, anche in contesti che non hanno espressamente a che fare con le matrici. La definizione di matrice simmetrica è una tra le più semplici che incontrerete, ma le proprietà di cui gode sono molteplici e consentono di introdurre un gran numero di nozioni, ai quali accenneremo in questa lezione.

Per concludere tratteremo la definizione di matrice antisimmetrica e le relative proprietà. Prima di procedere con la lettura suggeriamo, se fosse necessario, un ripasso veloce sui vari tipi di matrice.

Matrici simmetriche

Sia una qualsiasi matrice quadrata con elementi in un campo . è una matrice simmetrica se coincide con la sua matrice trasposta.

Un'altra definizione di matrice simmetrica è la seguente, ed è utile a stabilire se una data matrice è simmetrica senza doverne necessariamente calcolare la trasposta.

In modo equivalente, data una matrice quadrata a coefficienti in un campo :

diremo che è simmetrica se i suoi coefficienti sono simmetrici rispetto alla diagonale principale:

Dalla seconda definizione si capisce subito che per stabilire se una matrice è simmetrica non serve determinarne la trasposta: è sufficiente guardarla attentamente.

Esempi di matrici simmetriche

sono tre matrici simmetriche; le prime due a coefficienti reali, l'ultima a coefficienti in campo complesso.

Altri esempi notevoli di matrici simmetriche sono le matrici diagonali e le matrici identità, di qualsiasi ordine.

Proprietà delle matrici simmetriche

1) Non possiamo dire nulla a priori sul determinante e sull'invertibilità di una matrice simmetrica; se però una matrice simmetrica è invertibile, allora la matrice inversa è ancora simmetrica.

2) Il rango di una matrice simmetrica è uguale al numero dei suoi autovalori non nulli.

3) Se è una matrice simmetrica a coefficienti reali, i suoi autovalori sono tutti reali, dunque è triangolarizzabile in e ammette forma canonica di Jordan.

4) Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti associati ad una matrice simmetrica sono a due a due ortogonali, ossia il prodotto scalare euclideo tra due qualsiasi autovettori associati ad autovalori distinti è nullo.

Qualora foste interessati alle dimostrazioni delle proprietà 3) e 4), le trovate nella lezione sugli endomorfismi simmetrici, ma vi anticipiamo che richiedono la conoscenza di concetti più avanzati come, ad esempio, la definizione di prodotto hermitiano.

5) Ogni matrice simmetrica è una matrice diagonalizzabile e ha come matrice diagonalizzante una matrice ortogonale (vale a dire una matrice il cui prodotto con la propria trasposta restituisce la matrice identità).

6) Partendo da una matrice simmetrica è possibile definire un prodotto scalare qualsiasi e una forma quadratica.

7) Se è una matrice simmetrica e ortogonale allora il prodotto riga per colonna della matrice con se stessa è la matrice identità, ossia .

8) Per le matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana coincidono.

9) La somma tra una qualsiasi matrice quadrata e la sua trasposta è una matrice simmetrica, ossia se è una qualsiasi matrice quadrata, allora è una matrice simmetrica.

10) Il prodotto tra una matrice e la sua trasposta è una matrice simmetrica, vale a dire se è una matrice qualsiasi, allora è una matrice simmetrica.

11) Le matrici simmetriche si possono catalogare in matrici definite positive, definite negative, semidefinite o indefinite.

12) Nel definire le matrici congruenti si fa riferimento alle matrici simmetriche, per cui si introduce anche il concetto di segnatura, di cui ci occuperemo tra un paio di lezioni.

Questo conclude quanto c'è da sapere sulle matrici simmetriche. Ora vediamo come si definiscono le matrici antisimmetriche e le principali proprietà di cui godono.

Definizione di matrice antisimmetrica

Una matrice antisimmetrica è una matrice quadrata tale che la sua opposta coincide con la sua trasposta.

Una definizione equivalente di matrice antisimmetrica si basa sulla caratterizzazione dei coefficienti

Esempi di matrici antisimmetriche

Ad esempio, le matrici

sono matrici antisimmetriche.

Proprietà delle matrici antisimmetriche

Una matrice antisimmetrica gode delle seguenti proprietà:

1) la diagonale principale è formata da elementi tutti nulli, ossia

Di conseguenza la traccia di una matrice antisimmetrica è zero.

2) Il determinante di una matrice antisimmetrica è non negativo; in particolare, se l'ordine della matrice è dispari, allora il suo determinante è nullo.

3) Dalla proprietà precedente segue che ogni matrice antisimmetrica di ordine dispari non è mai invertibile.

4) Gli autovalori di una matrice antisimmetrica a coefficienti reali sono tutti immaginari puri; inoltre, se è un autovalore, allora lo è anche il suo opposto .

5) La differenza tra una qualsiasi matrice quadrata e la sua trasposta è una matrice antisimmetrica. In altri termini, se è una qualsiasi matrice quadrata, allora è una matrice antisimmetrica.

Relazione tra matrici simmetriche e antisimmetriche

Una proprietà che lega le matrici simmetriche ed antisimmetriche è la seguente: ogni matrice a coefficienti in campo reale o in campo complesso (o più in generale a coefficienti in un campo a caratteristica diversa da 2) si può scrivere come somma tra una matrice simmetrica ed una matrice antisimmetrica . In formule

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Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023