Stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente

Quella che state leggendo, più che una lezione, è una guida in cui abbiamo mostrato come stabilire se i vettori di un dato insieme sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti tra loro, il che è fondamentale per risolvere svariati esercizi di Algebra Lineare.

Per raggiungere lo scopo utilizzeremo un metodo che discende dalle definizioni di indipendenza e di dipendenza lineare, e che può essere semplificato quando i vettori sono elementi dello spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ .

Per comprendere a pieno quanto diremo tra poco è indispensabile conoscere il teorema di Rouché Capelli, nonché sapere cos'è e come si calcola il rango di una matrice; se avete dubbi al riguardo, prima di procedere vi consigliamo di leggere le lezioni dei precedenti link.

Studio di dipendenza e indipendenza lineare tra vettori

Tra poco vi mostreremo come si studia l'indipendenza lineare di un insieme di vettori, ma iniziamo con qualche piccola premessa:

- col termine vettore si intende un qualsiasi elemento di uno spazio vettoriale definito su un campo $\mathbb{K}$ , quindi si potrebbero trovare esercizi in cui si chiede di studiare l'indipendenza lineare di matrici, polinomi o funzioni, e non solo di vettori intesi come elementi di $\mathbb{R}^n$ .

- Un solo vettore $\mathbf{v} \in V$ è linearmente indipendente se e solo se è diverso dal vettore nullo, cioè dallo zero dello spazio vettoriale cui appartiene. Di conseguenza se abbiamo un solo vettore non c'è molto da fare: basta semplicemente guardarlo per giungere alla conclusione in un batter d'occhio.

Chiarito ciò vediamo come studiare l'indipendenza e la dipendenza lineare di due o più vettori partendo proprio dalla definizione.

Studio dell'indipendenza lineare tra vettori con la definizione

Richiamiamo rapidamente la definizione di indipendenza lineare, rimandando alla precedente lezione su vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti per tutti gli approfondimenti del caso.

Siano $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\ \ n>1$ vettori di uno spazio vettoriale definito in un campo $\mathbb{K}$ .

Tali vettori sono linearmente indipendenti tra loro se e solo se, prendendo scalari $a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n \in \mathbb{K}$ e ponendo

$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n=\mathbf{0}\ \ \ (*)$

l'unica n-upla di scalari che soddisfa la precedente uguaglianza è la n-upla di coefficienti tutti nulli.

In caso contrario, cioè se esistono scalari non tutti nulli che verificano , allora i vettori si dicono linearmente dipendenti.

In termini pratici, per stabilire se vettori sono linearmente indipendenti basta rileggere la relazione

$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n=\mathbf{0}$

come un sistema lineare omogeneo nelle incognite $a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n$ e scriverlo in forma matriciale

$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

con

$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$

Un sistema omogeneo è sempre compatibile, infatti è sempre una sua soluzione.

Affinché i vettori siano linearmente indipendenti la soluzione banale deve essere l'unica ammessa dal sistema. Per il teorema di Rouché Capelli ciò accade se e solo se la matrice completa e la matrice incompleta associate al sistema hanno rango uguale al numero delle incognite:

$\mbox{rk}(A|\mathbf{0}) = \mbox{rk}(A)=n$

La matrice completa $(A|\mathbf{0})$ si ottiene dalla matrice incompleta aggiungendo una colonna di zeri, dunque le due matrici hanno necessariamente lo stesso rango.

In definitiva, per stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti è sufficiente calcolare il rango della matrice incompleta associata al sistema lineare omogeneo che scaturisce dalla relazione

$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n \mathbf{v}_n=\mathbf{0}$

- Se il rango di è uguale a (numero delle incognite, nonché numero di vettori in esame) allora $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$ sono linearmente indipendenti.

- Se il rango di è diverso da allora siamo di fronte a un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Esempi di studio dell'indipendenza e della dipendenza lineare tra vettori

Esempio 1

Stabilire se i tre vettori di $\mathbb{R}^4$

$\mathbf{v}_1=(1,0,1,-1), \ \mathbf{v}_2=(2,-1,0,3), \ \mathbf{v}_3=(-2,5,2,1)$

sono tra loro linearmente indipendenti o linearmente dipendenti.

Svolgimento: avendo a che fare con tre vettori consideriamo tre scalari arbitrari $a_1, \ a_2, \ a_3 \in \mathbb{R}$ , e imponiamo che la combinazione lineare con i vettori assegnati sia uguale a $\mathbf{0}_{\mathbb{R}^4}=(0,0,0,0)$

$\\ a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0} \\ \\ a_1(1,0,1,-1)+a_2(2,-1,0,3)+a_3(-2,5,2,1)=(0,0,0,0)$

Svolgiamo dapprima i prodotti (vettore per scalare) e successivamente la somma tra vettori a primo membro. In caso di dubbi, fate riferimento alla lezione dedicata alle operazioni con i vettori.

$\\ (a_1,0,a_1,-a_1)+(2a_2,-a_2,0,3a_2) + (-2a_3,5a_3,2a_3,a_3) = (0,0,0,0) \\ \\ (a_1+2a_2-2a_3, \ -a_2+5a_3, \ a_1+2a_3, \ -a_1+3a_2+a_3)=(0,0,0,0)$

Due vettori sono uguali se sono uguali le rispettive componenti, dunque la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare di 4 equazioni nelle incognite $a_1, \ a_2, \ a_3$

$\begin{cases}a_1+2a_2-2a_3=0 \\ -a_2+5a_3=0 \\ a_1+2a_3=0 \\ -a_1+3a_2+a_3=0 \end{cases}$

Scriviamo la matrice incompleta associata al sistema

$A=\begin{pmatrix}1&2&-2 \\ 0&-1&5 \\ 1&0&2 \\ -1&3&1\end{pmatrix}$

Affinché i vettori siano linearmente indipendenti il rango della matrice deve essere uguale al numero delle incognite del sistema, e quindi deve uguagliare il numero dei vettori, che è 3.

Procediamo con il criterio dei minori e consideriamo la sottomatrice di che si ottiene eliminando la quarta riga

$A'=\begin{pmatrix}1&2&-2 \\ 0&-1&5 \\ 1&0&2\end{pmatrix}$

Calcoliamone il determinante procedendo con la regola di Sarrus (lasciamo a voi il compito di svolgere i conti)

$\mbox{det}(A')=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&2&-2 \\ 0&-1&5 \\ 1&0&2\end{pmatrix} = 6 \neq 0$

Avendo trovato una sottomatrice quadrata di ordine 3 con determinante diverso da zero, possiamo concludere che il rango di è 3 e quindi i vettori $\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ \mathbf{v}_3$ sono linearmente indipendenti.

Esempio 2

Siano

$p_1(x)=1+x+x^2\ \ ; \ \ p_2(x)=2+3x^2 \\ \\ p_3(x)=4+x\ \ ; \ \ p_4(x)=2-3x+x^2$

quattro vettori appartenenti a $\mathbb{R}_2[x]$ , lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2. Stabilire se essi costituiscono un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Svolgimento: per stabilire se sono vettori linearmente dipendenti o linearmente indipendenti consideriamo quattro scalari $a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4 \in \mathbb{R}$ e imponiamo che la generica combinazione lineare tra i suddetti polinomi sia uguale a 0, cioè al polinomio nullo.

$\\ a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)+a_4p_4(x)=0 \\ \\ a_1(1+x+x^2)+a_2(2+3x^2)+a_3(4+x)+a_4(2-3x+x^2)=0 \\ \\ a_1+a_1x+a_1x^2+2a_2+3a_2x^2+4a_3+a_3x+2a_4-3a_4x+a_4x^2=0 \\ \\ (a_1+3a_2+a_4)x^2 + (a_1+a_3-3a_4)x + a_1+2a_2+4a_3+2a_4=0$

Per il principio di identità dei polinomi due polinomi sono identici se e solo se hanno lo stesso grado e i coefficienti dei termini con lo stesso grado sono uguali, ragion per cui dobbiamo imporre che siano nulli i coefficienti del polinomio a primo membro

$\begin{cases}a_1+3a_2+a_4=0 \\ a_1+a_3-3a_4=0 \\ a_1+2a_2+4a_3+2a_4=0\end{cases}$

Scriviamo la matrice incompleta associata al precedente sistema

$A=\begin{pmatrix}1&3&0&1 \\ 1&0&1&-3 \\ 1&2&4&2 \end{pmatrix}$

I polinomi assegnati sono linearmente indipendenti se il rango della matrice è 4, cioè se uguaglia il numero di vettori in esame, ma ciò è impossibile. è infatti una matrice con 3 righe e 4 colonne quindi il suo rango può essere al più uguale a 3.

Ciò permette di concludere immediatamente che i polinomi $p_1(x), \ p_2(x), \ p_3(x), \ p_4(x)$ sono linearmente dipendenti tra loro, senza svolgere nessun ulteriore calcolo.

Esempio 3

Determinare se le matrici

$M_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \ \ \ M_2=\begin{pmatrix}-4&2 \\ 0&3 \\ 1&1\end{pmatrix}$

appartenenti a $Mat(3,2,\mathbb{R})$ , spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali con 3 righe e 2 colonne, sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti.

Svolgimento: siano $a_1, \ a_2 \in \mathbb{R}$ due scalari. Indichiamo con $\cdot$ il prodotto di una matrice per uno scalare e con la somma tra matrici e imponiamo che la combinazione lineare

$a_1 \cdot M_1 + a_2 \cdot M_2$

sia uguale allo zero dello spazio vettoriale, cioè alla matrice nulla.

$\\ a_1 \cdot M_1 + a_2 \cdot M_2 = O \\ \\ a_1 \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} + a_2 \cdot \begin{pmatrix}-4&2 \\ 0&3 \\ 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 2a_1 & -a_1 \\ a_1 & 3a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4a_2 & 2a_2 \\ 0 & 3a_2 \\ a_2 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix} a_1-4a_2 & 2a_2 \\ 2a_1 & -a_1+3a_2 \\ a_1+a_2 & 3a_1+a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$

L'uguaglianza è verificata se le due matrici hanno la stessa dimensione e se gli elementi che occupano la stessa posizione sono uguali, il che ci permette di impostare il seguente sistema lineare

$\begin{cases}a_1-4a_2=0 \\ 2a_2=0 \\ 2a_1=0 \\ -a_1+3a_2=0 \\ a_1+a_2=0 \\ 3a_1+a_2=0\end{cases}$

La matrice incompleta associata al sistema è

$A=\begin{pmatrix}1&-4 \\ 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ -1&3 \\ 1&1 \\ 3&1\end{pmatrix}$

il cui rango è 2. Possiamo affermare che le matrici e sono linearmente indipendenti, infatti il rango di è uguale al numero delle incognite.

Studio dell'indipendenza lineare tra vettori di Rⁿ

Se osservate con attenzione il precedente esempio 1) noterete che la matrice , associata al sistema lineare omogeneo costruito basandoci sulla definizione di lineare indipendenza, ha come colonne le componenti dei vettori considerati.

Ciò non è un caso e permette di velocizzare lo studio dell'indipendenza lineare dei vettori di $\mathbb{R}^n$ . Basta infatti costruire direttamente la matrice avente come colonne le componenti dei vettori assegnati e studiarne il rango:

- se il rango di è uguale al numero dei vettori, allora essi sono linearmente indipendenti;

- se il rango di è diverso dal numero dei vettori assegnati, allora essi sono linearmente dipendenti.

Prima di vedere un esempio è utile fare un paio di osservazioni.

1) Il rango della matrice fornisce il numero di vettori linearmente indipendenti dell'insieme considerato, ma non solo. Se per determinare il rango si usa il metodo di eliminazione gaussiana allora i vettori colonna della matrice non ridotta, che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot, sono linearmente indipendenti tra loro.

Allo stesso modo, se per il calcolo del rango è stato usato il criterio dei minori o il teorema di Kronecker, le colonne della matrice di partenza che contengono la sottomatrice con determinante non nullo sono vettori linearmente indipendenti tra loro.

2) Sebbene il suddetto metodo sembri valere solo per vettori di $\mathbb{R}^n$ , esso si può estendere a qualsiasi spazio vettoriale e quindi anche allo spazio dei polinomi e a quello delle matrici. Prima però bisogna sapere cos'è una base di uno spazio vettoriale e, soprattutto, cosa sono e come si determinano le coordinate di un vettore rispetto a una base, argomenti che abbiamo trattato approfonditamente in una delle lezioni successive.

Esempio di studio dell'indipendenza e della dipendenza lineare tra vettori di Rⁿ

Stabilire se i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3:$

$\mathbf{v}_1=(1,-1,1), \ \mathbf{v}_2=(3,1,2), \ \mathbf{v}_3=(1,3,0)$

sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti.

Svolgimento: disponiamo i tre vettori per colonna in una matrice

$A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

Abbiamo ottenuto una matrice quadrata di ordine 3, il cui rango può essere al più uguale 3.

$\mbox{rk}(A) \le 3$

Se è esattamente 3 allora i vettori sono linearmente indipendenti, se invece è minore di 3 sono linearmente dipendenti.

Procediamo con il metodo di eliminazione gaussiana ed effettuiamo le seguenti sostituzioni

$\\ R_2 \to R_1+R_2 = \\ \\ =\begin{pmatrix}1&3&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&4&4\end{pmatrix} \\ \\ R_3 \to -R_1+R_3 = \\ \\ =\begin{pmatrix}-1&-3&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1&-1\end{pmatrix}$

ottenendo la matrice

$A'=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

Per ultimare la riduzione dobbiamo annullare l'elemento $a_{32}'=-1$ e, al proposito, procediamo con la sostituzione

$R_3 \to \frac{1}{4}R_2+R_3 = \\ \\ =\begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}$

La matrice ridotta è

$A''=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

che ha 2 pivot $a_{11}''=1, \ a_{22}''=4$ , dunque il suo rango è 2.

Ciò ci permette di concludere che $\mathbf{v}_1,\ \mathbf{v}_2, \ \mathbf{v}_3$ sono linearmente dipendenti tra loro, e che i due vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai pivot

$\mathbf{v}_1=(1,-1,1), \ \mathbf{v}_2=(3,1,2)$

sono linearmente indipendenti tra loro.

Studio dell'indipendenza lineare di vettori parametrici

Se una o più componenti di uno o più vettori sono date in funzione di un parametro, non cambia nulla nel procedimento esposto finora. Dovremo semplicemente studiare il rango di una matrice parametrica, il cui valore potrebbe variare in funzione dei valori assunti dal parametro.

È davvero tutto! Il metodo migliore per prendere confidenza con lo studio dell'indipendenza lineare tra vettori è quello di fare quanti più esercizi possibili. A tal proposito potete dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi risolti, eventualmente usarne la barra di ricerca interna e aiutarvi con il tool per studiare l'indipendenza lineare online. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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