Stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente

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L'articolo che segue, più di una lezione, è una guida che permette di risolvere uno tra i più frequenti esercizi di Algebra Lineare, ossia stabilire se due o più vettori sono linearmente indipendenti tra loro.

Per raggiungere lo scopo che ci siamo prefissi impareremo ad utilizzare due metodi: il primo sfrutta la definizione di indipendenza lineare, mentre nel secondo utilizzeremo la nozione di rango di una matrice. Inoltre prima di procedere raccomandiamo a chi non l'avesse già fatto di leggere la nostra lezione sulla definizione di vettori linearmente indipendenti.

Prima di passare all'atto pratico ricordiamo un paio di risultati teorici, il secondo dei quali ci permetterà di risparmiare, quando possibile, tempo e fatica:

- un solo vettore è linearmente indipendente se e solo se è diverso dal vettore nullo. In parole povere, se abbiamo un solo vettore non c'è molto da fare: basta semplicemente guardarlo per giungere, in un batter d'occhio, alla conclusione.

- Dato invece un qualsiasi insieme formato da $m \in \mathbb{N}, \ m\ge 2$ vettori appartenenti ad $\mathbb{R}^n$ (o più in generale ad un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione n), se allora gli vettori sono tra loro linearmente dipendenti. Detto in altre parole se il numero dei vettori è strettamente maggiore della dimensione dello spazio vettoriale in cui sono definiti allora essi sono, tra loro, linearmente dipendenti.

Tenendo ben presenti questi due semplici risultati vediamo i due metodi che ci permettono di studiare l'indipendenza lineare di due o più vettori.

Studio dell'indipendenza lineare tra vettori con la definizione

Richiamiamo rapidamente la definizione di indipendenza lineare. Dato un insieme di vettori $\{v_1,v_2, ... v_m\}$ formato da vettori definiti nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^n, \mbox{ con } m\le n$ , essi sono tra loro linearmente indipendenti se e solo se prendendo scalari $a_1, a_2, ... a_m \in \mathbb{R}$ e ponendo

$a_1v_1+a_2v_2+...+a_mv_m=\underline{0}$

l'unica m-upla che annulla la precedente combinazione lineare è la m-upla formata da coefficienti nulli.

Esempio di studio dell'indipendenza lineare tra vettori con la definizione

Stabilire se i tre vettori di $\mathbb{R}^4: \ v_1=(1,0,1,-1), \ v_2=(2,-1,0,3), \ v_3=(-2,5,2,1)$ sono tra loro linearmente indipendenti.

Svolgimento: dal momento che abbiamo a che fare con tre vettori consideriamo tre scalari arbitrari $a_1, a_2 \mbox{ e } a_3 \in \mathbb{R}$ e imponiamo che la loro combinazione lineare con i tre vettori dati sia uguale al vettore nullo, ossia

Svolgiamo dapprima i prodotti (vettore per scalare) e successivamente la somma tra vettori a primo membro. In caso di dubbi, fai un ripasso delle operazioni con i vettori. ;)

Poichè due vettori sono uguali se sono uguali le rispettive componenti, l'uguaglianza precedente si traduce nel seguente sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite

$\begin{cases}a_1+2a_2-2a_3=0 \\ -a_2+5a_3=0 \\ a_1+2a_3=0 \\ -a_1+3a_2+a_3=0 \end{cases}$

Procediamo con il metodo di sostituzione. Dalla seconda e dalla terza equazione possiamo ricavare il valore di $a_1 \mbox{ e } a_2$ in funzione di

$\begin{cases}a_1+2a_2-2a_3=0 \\ a_2=5a_3 \\ a_1=-2a_3 \\ -a_1+3a_2+a_3=0 \end{cases}$

Sostituendo poi tali valori sia nella prima che nella quarta equazione del sistema otteniamo due equazioni di primo grado nell'incognita . Entrambe sono determinate ed hanno come unica soluzione . Ne segue allora che l'unica soluzione del sistema è la 3-upla nulla .

Possiamo così concludere che i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Vediamo ora l'altro metodo, in alcuni casi molto più veloce, che ci permetterà di studiare l'indipendenza lineare tra vettori.

Studio dell'indipendenza lineare tra vettori tramite il rango

Supponiamo di avere un insieme formato da $m\ge 2$ vettori definiti nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^n, \mbox{ con } n\in \mathbb{N}, \ n\ge m$ . Ribadiamo ancora una volta che se il numero dei vettori è maggiore della dimensione dello spazio possiamo subito concludere che i vettori dati sono linearmente dipendenti tra loro, senza dover fare nulla.

Se hai già studiato la teoria su matrici e vettori dovresti sapere cos'è e come si definisce il rango di una matrice. Detto in parole povere, il rango di una matrice è il massimo numero di righe (o colonne) tra loro linearmente indipendenti.

Da quanto appena detto si intuisce subito che, considerato un insieme formato da $m \ge 2$ vettori, per stabilire se essi sono linearmente indipendenti tra loro basta scrivere una matrice avente come righe o come colonne (è indifferente) le componenti dei vettori e calcolarne il rango.

Se il rango di tale matrice è massimo allora l'insieme dei vettori è linearmente indipendente; se il rango non è massimo i vettori sono, tra loro, linearmente dipendenti.

Inoltre, qualora il rango non fosse massimo e quindi i vettori fossero linearmente dipendenti, tale metodo ci permette di stabilire quanti e quali dei vettori appartenenti all'insieme assegnato, sono, tra loro, linearmente indipendenti e il tutto in men che non si dica.

Sarà tutto molto più chiaro dopo aver letto i seguenti esempi.

Esempi di studio dell'indipendenza lineare tra vettori con il rango

1) Riprendiamo i vettori dell'esempio precedente (sappiamo già che sono linearmente indipendenti)

$v_1=(1,0,1,-1), \ v_2=(2,-1,0,3), \ v_3=(-2,5,2,1)$

e, utilizzando il metodo del rango, vediamo se si giunge alla stessa conclusione.

Svolgimento: disponiamo le componenti dei tre vettori a formare le colonne di una matrice

$\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4,3}$

Tale matrice, come possiamo osservare, è una matrice a coefficienti reali avente 4 righe e 3 colonne; di conseguenza il suo rango è massimo se e solo se è uguale a 3. Dal momento che il determinante del minore di ordine 3 che si ottiene eliminando la quarta riga è non nullo - lo possiamo scoprire agilmente usando la regola di Sarrus

$\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=6 \neq 0$

possiamo concludere che il rango della matrice è 3, cioè è massimo e di conseguenza i tre vettori sono linearmente indipendenti.

2) Consideriamo ora i tre vettori di $\mathbb{R}^3: \ v_1=(2,-1,1), \ v_2=(3,1,2), \ v_3=(1,-3,0)$ e disponiamoli in una matrice avente come colonne le componenti dei tre vettori

$\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3,3}$

Siamo ora di fronte ad una matrice quadrata di ordine 3, il cui rango è massimo se e solo se è uguale a 3.

Calcoliamone il determinante. Dato che

$\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}=0$

il rango della matrice non è massimo e, di conseguenza, i tre vettori formano un insieme linearmente dipendente. Inoltre, poiché il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante non nullo

$\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=2+3=5\neq 0$

possiamo concludere che l'insieme considerato ha al massimo due vettori tra loro linearmente indipendenti, e che i vettori $v_1=(2,-1,1) \mbox{ e } v_2=(3,1,2)$ , ossia i vettori della matrice originale che corrispondono al minore di ordine 2 che ci ha fornito il determinante non nullo, sono effettivamente linearmente indipendenti.

Dal momento che anche tutti gli altri minori di ordine due della matrice di partenza hanno determinante non nullo, possiamo a rigor di cronaca concludere che anche $v_1 \mbox{ e } v_3$ così come $v_2 \mbox{ e } v_3$ sono linearmente indipendenti tra loro.

Il metodo appena esposto per il calcolo del rango è il cosiddetto metodo dei minori. Eventualmente, come spiegato nella lezione sul rango di una matrice, per il calcolo del rango e quindi per stabilire se due o più vettori sono linearmente indipendenti, si potrebbe procedere con il metodo di eliminazione gaussiana; in tal caso, il numero dei vettori linearmente indipendenti è dato dal numero di pivot non nulli della matrice ridotta.

Studio dell'indipendenza lineare di vettori parametrici

Se una o più componenti di uno (o più) vettori sono date in funzione di un parametro non cambia nulla nel procedimento esposto finora. Semplicemente, se si opta per il primo metodo bisogna risolvere un sistema lineare parametrico; se invece si sceglie il metodo del rango si deve calcolare il rango di una matrice, il cui valore potrebbe variare in funzione dei valori assunti dal parametro.

È davvero tutto! Il metodo migliore per prendere confidenza con lo studio dell'indipendenza lineare tra vettori è quello di fare quanti più esercizi possibile. Li potete raggiungere con un click sull'icona sottostante, o eventualmente usando la barra di ricerca presente in alto a destra in ogni pagina.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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