Matrice diagonalizzabile

Una matrice diagonalizzabile è una matrice quadrata simile a una matrice diagonale. In altri termini una matrice A è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile P tale che PD=AP, dove D è una matrice diagonale dello stesso ordine di A.

 

In questa lezione daremo la definizione di matrice diagonalizzabile per poi enunciare il teorema di diagonalizzabilità, che fornisce le condizioni che deve soddisfare una matrice quadrata per essere diagonalizzabile. Nel caso in cui fosse possibile mostreremo come diagonalizzare una matrice e come si trova la matrice diagonalizzante, corredando il tutto con molteplici esempi.

 

Prima di procedere oltre è bene che sappiate come calcolare autovalori e autovettori di una matrice e come determinare le molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. In caso di dubbi è consigliabile dare un'occhiata alle pagine dei precedenti link.

 

Definizione di matrice diagonalizzabile

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K}. Si dice che A è una matrice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D di ordine n.

 

Stando alla definizione di matrici simili, ciò equivale ad affermare che A\in Mat(n,n,\mathbb{K}) è diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che D=P^{-1}AP, ossia

 

PD= AP

 

La matrice P è detta matrice diagonalizzante di A.

 

Vista la definizione formale entriamo nel vivo della questione ed enunciamo il teorema di diagonalizzabilità, grazie al quale possiamo stabilire se una matrice è diagonalizzabile, per poi vedere come si calcola la matrice diagonalizzante e la matrice diagonale a cui essa è simile.

 

Teorema di diagonalizzabilità

 

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce delle condizioni necessarie e sufficienti affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile in un campo \mathbb{K}.

 

Eccone l'enunciato: una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo \mathbb{K} se e solo se valgono le seguenti condizioni:

 

1) il numero degli autovalori di A appartenenti al campo \mathbb{K} e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice;

 

2) la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica.

 

 

Prima di vedere un esempio richiamiamo la vostra attenzione su alcuni casi particolari, utili a far risparmiare qualche passaggio negli esercizi.

 

A) Se A=\left(a_{ij}\right) è una matrice simmetrica, cioè se a_{ij}=a_{ji} per ogni i \neq j, allora A è diagonalizzabile.

 

B) Se A è una matrice quadrata di ordine n che ammette esattamente n autovalori distinti in \mathbb{K}, allora A è diagonalizzabile nel campo \mathbb{K}.

 

C) Se \mathbb{K}=\mathbb{C} o, più in generale, \mathbb{K} è un campo algebricamente chiuso, il punto 1) del teorema di diagonalizzabilità è verificato in automatico, infatti il numero degli autovalori (contati con la loro molteplicità) è il numero delle radici del polinomio caratteristico associato ad A, che ha grado pari all'ordine della matrice. Come stabilito da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra, in un campo algebricamente chiuso il numero delle radici di un polinomio è pari al grado di quest'ultimo.

 

Infine, indicando con m_a(\lambda_0) la molteplicità algebrica e con m_g(\lambda_0) la molteplicità geometrica dell'autovalore \lambda_0, è utile ricordare che

 

1 \le m_g(\lambda_0) \le m_a(\lambda_0) \le n

 

Dalla precedente relazione si deduce che se un autovalore ha molteplicità algebrica pari a 1, allora è pari a 1 anche la sua molteplicità geometrica.

 

 

Esempi sullo studio della diagonalizzabilità di una matrice

 

1) Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile

 

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

 

Svolgimento: dobbiamo verificare la validità delle condizioni 1) e 2) del teorema di diagonalizzabilità. Iniziamo calcolando gli autovalori della matrice, che sono gli zeri del polinomio caratteristico

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(1-\lambda)(\lambda^2+1)

 

Per il calcolo del determinante conviene usare la regola di Laplace e sviluppare i calcoli rispetto alla terza colonna, che contiene due zeri; in alternativa si può ricorrere alla regola di Sarrus.

 

Le radici (o zeri) del polinomio caratteristico sono

 

\lambda_0= 1, \ \lambda_1=\imath, \ \lambda_2=-\imath

 

ciascuno con molteplicità 1, dove \imath è l'unità immaginaria.

 

Possiamo allora concludere che la matrice A non è diagonalizzabile in \mathbb{R} perché per \mathbb{K}=\mathbb{R} non è soddisfatta la prima condizione del teorema di diagonalizzabilità. Tale matrice è pero diagonalizzabile in \mathbb{C}, infatti in campo complesso ammette 3 autovalori distinti, tanti quant'è l'ordine della matrice.

 

 

Osservazione (Attenzione al campo!)

 

Col precedente esempio abbiamo voluto mettere in risalto che occorre sempre specificare il campo in cui si vuole studiare la diagonalizzabilità.

 

 

2) Data la matrice

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}

 

stabilire se è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

 

Svolgimento: calcoliamo il polinomio caratteristico associato alla matrice A

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(2-\lambda)[(1-\lambda)(4-\lambda)+2]= \\ \\  = (2-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+6)

 

Per il calcolo del determinante abbiamo applicato la regola di Laplace sviluppando i calcoli rispetto alla prima colonna, che contiene due termini nulli.

 

Gli zeri del polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori della matrice sono:

 

\lambda_0 =2 con molteplicità algebrica 2: m_a(2) = 2

 

\lambda_1 =3 con molteplicità algebrica 1: m_a(3) = 1

 

La somma delle molteplicità degli autovalori reali è uguale all'ordine della matrice, dunque è soddisfatta la prima condizione del teorema di diagonalizzabilità.

 

Per stabilire se A è diagonalizzabile dobbiamo vedere se la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica.

 

La molteplicità geometrica di un autovalore \lambda si calcola con la formula

 

m_g(\lambda)=n-\mbox{rk}(A-\lambda \mbox{Id}_n)

 

dove n è l'ordine di A, \mbox{Id}_n è la matrice identità di ordine n e \mbox{rk} indica il rango di una matrice.

 

Applicando la precedente formula calcoliamo m_g(2)

 

\\ m_g(2)=n-\mbox{rk}(A- 2 \mbox{Id}_3)= \\ \\ = 3-\mbox{rk} \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 3-2 = 1

 

La molteplicità algebrica dell'autovalore \lambda_0=2 è diversa dalla molteplicità geometrica

 

m_a(2)=2\neq 1=m_g(2)

 

dunque A non è diagonalizzabile.

 

Come diagonalizzare una matrice

 

Uno dei più classici esercizi di Algebra Lineare prevede di stabilire se una matrice A è diagonalizzabile e, in caso affermativo, di determinare la matrice P che la diagonalizza e la matrice diagonale D a cui essa è simile, per le quali vale la relazione

 

D=P^{-1}AP

 

Il tutto ruota attorno ad autovalori e autovettori, infatti:

 

- la matrice D è una matrice diagonale i cui elementi della diagonale principale sono gli autovalori della matrice A. Gli autovalori con molteplicità algebrica maggiore di 1 vanno ripetuti un numero di volte pari alla corrispondente molteplicità algebrica;

 

- la matrice diagonalizzante P è la matrice che ha come colonne i vettori che formano le basi degli autospazi relativi a ciascun autovalore.

 

Affinché tutto funzioni ci deve essere una certa corrispondenza nel modo in cui scriviamo le matrici D e P: se la j-esima colonna della matrice P contiene un autovettore associato all'autovalore \lambda_0, allora l'elemento sulla diagonale della j-esima colonna della matrice D deve essere proprio \lambda_0, e viceversa.

 

 

Esempio sulla diagonalizzazione di una matrice

 

Stabilire se la matrice

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}

 

è diagonalizzabile in \mathbb{R} e in caso affermativo calcolare la matrice diagonalizzante e la matrice diagonale a cui essa è simile.

 

Svolgimento: calcoliamo gli autovalori della matrice A, dati dagli zeri del polinomio caratteristico

 

\\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & -2 & 1-\lambda\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=\\ \\ =-\lambda(\lambda-2)^2

 

I suoi zeri, e quindi gli autovalori della matrice, sono

 

\lambda_0= 0 con molteplicità algebrica 1: m_a(0) = 1

 

\lambda_1= 2 con molteplicità algebrica 2: m_a(2) = 2.

 

Entrambi appartengono a \mathbb{R} e la somma delle loro molteplicità è uguale all'ordine della matrice, ma ciò non basta per concludere che A è diagonalizzabile. Dobbiamo individuare le molteplicità geometriche di \lambda_0 \mbox{ e } \lambda_1.

 

Dal momento che m_a(0) = 1, la sua molteplicità geometrica è automaticamente 1:

 

m_a(0) = 1 = m_g(0)

 

dunque rimane da calcolare solo la molteplicità geometrica di \lambda_1=2.

 

\\ m_g(2)=3-\mbox{rk}(A-2 \mbox{Id}_3) = \\ \\ = 3-\mbox{rk} \left[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1\end{pmatrix}=\\ \\ \\ = 3-1 = 2

 

Poiché

 

m_a(2)=2=m_g(2)

 

ciò permette di concludere che la matrice A è diagonalizzabile. La matrice diagonale D a cui essa è simile ha gli elementi della diagonale principale uguale agli autovalori, ossia

 

D=\begin{pmatrix}\underbrace{0}_{\lambda_0}& & 0 & & 0 \\ \\ 0 & & \underbrace{2}_{\lambda_1} & & 0 \\ \\ 0 & & 0 & & \underbrace{2}_{\lambda_1}\end{pmatrix}

 

Per trovare la matrice diagonalizzante dobbiamo determinare una base per l'autospazio V_{\lambda_0} relativo all'autovalore \lambda_0= 0 e una base per l'autospazio V_{\lambda_1} associato a \lambda_1=2.

 

Determinare una base per V_{\lambda} equivale a calcolare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A-\lambda \mbox{Id}_n) \mathbf{x}=\mathbf{0}

 

Poiché \lambda_0= 0

 

(A-0\mbox{Id}_n) \mathbf{x}=\mathbf{0}\\ \\ A \mathbf{x}=\mathbf{0}

 

dove \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{3} è il vettore colonna delle incognite e \mathbf{0}\in \mathbb{R}^{3} è il vettore colonna formato da soli zero. Dunque

 

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\\ \\ \\ \begin{cases} x+2y+z=0 \\ 2y=0 \\ x-2y+z=0\end{cases}

 

Per definizione la molteplicità geometrica di un autovalore \lambda è la dimensione del corrispondente autospazio, che corrisponde alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo (A-\lambda\mbox{Id}_n) \mathbf{x}=\mathbf{0}.

 

In riferimento alla matrice A sappiamo che la molteplicità geometrica dell'autovalore \lambda_0= 0 è m_g(0) = 1, dunque il precedente sistema ammette \infty^1 soluzioni. Assegniamo allora a 1 delle incognite il ruolo di parametro libero.

 

Ponendo ad esempio z=\alpha \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}, le soluzioni del sistema sono

 

(x,y,z)=(-\alpha, 0, \alpha)=\alpha(-1,0,1)

 

Una base per l'autospazio relativo a \lambda_0= 0 è

 

\mathcal{B}_{V_0} = \{(-1,0,1)\}

 

ragion per cui \mathbf{v}_0=(-1,0,1)^T è la prima colonna della matrice diagonalizzante.

 

Procedendo allo stesso modo determiniamo una base per l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_1=2.

 

Ricaviamo la forma estesa del sistema lineare omogeneo e determiniamo una base per lo spazio delle soluzioni

 

(A-2 \mbox{Id}_3) \mathbf{x}=\mathbf{0} \\ \\ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{cases}-x+2y+z=0 \\ x-2y-z=0\end{cases}

 

La molteplicità geometrica di \lambda_1=2 è m_g(2)=2, dunque il sistema ammette \infty^2 soluzioni. Poniamo y=\alpha, \ z=\beta, \mbox{ con } \alpha, \beta \in \mathbb{R}, e calcoliamo le soluzioni del sistema ricavando il valore dell'incognita x in funzione di \alpha \mbox{ e } \beta

 

x-2y-z=0\\ \\ x=2y+z\\ \\ x=2\alpha+\beta

 

Le soluzioni del sistema sono

 

(x,y,z)=(2\alpha+\beta, \alpha, \beta)=\alpha(2,1,0)+\beta(1,0,1)

 

Una base dell'autospazio \mathcal{B}_{V_2} relativo all'autovalore \lambda_1=2 è

 

\mathcal{B}_{V_2}=\{(2,1,0), \ (1,0,1)\}

 

dunque \mathbf{v}_1=(2,1,0)^T \mbox{ e } \mathbf{v}_2=(1,0,1)^T sono le ultime due colonne di P.

 

Abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere la matrice diagonalizzante

 

P=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_0 & \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&2&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix}

 

A voi, se volete, il compito di verificare che D=P^{-1}AP: si tratta di calcolare l'inversa di una matrice per poi svolgere un paio di prodotti tra matrici.

 

Diagonalizzazione di una matrice parametrica

 

Se la matrice di cui si deve studiare la diagonalizzabilità è una matrice parametrica, cioè uno o più dei suoi elementi sono parametri, non cambia nulla nel procedimento esposto finora. Semplicemente, bisogna determinare quali valori dei parametri sono tali da far valere entrambe le condizioni del teorema di diagonalizzabilità. Usando la barra di ricerca interna troverete molteplici esempi al riguardo.

 

 


 

Per il momento è tutto! Nella prossima lezione introdurremo il concetto di matrice triangolarizzabile (o triangolabile) e proprio come fatto in questo articolo vedremo quando e come si può triangolarizzare una matrice quadrata. ;)

 

Per gli esercizi vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi svolti e vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di risorse, tra cui anche un tool per la diagonalizzazione online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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