Prodotto tra matrici

Il prodotto tra matrici, detto anche moltiplicazione di matrici o prodotto riga per colonna, è una delle operazioni tra matrici più delicate, non è commutativo e si può eseguire solo in certe condizioni. Quando si può svolgere restituisce una matrice avente tante righe quante sono quelle della prima matrice e tante colonne quante sono quelle della seconda.

Al termine di questa lezione saprete tutto ciò che riguarda il prodotto riga per colonna, ma le cose da dire sono tante, quindi procediamo con ordine e vediamo quando tale operazione è eseguibile, per poi spiegare come si svolge ed elencare le sue proprietà.

Il tutto sarà arricchito con numerosi esempi e da un'immagine che vi aiuterà a memorizzare il procedimento da seguire; concluderemo con la formula che permette di esprimere in maniera compatta questa operazione. Abbiamo ritenuto opportuno farlo a fine lezione perché potrebbe risultare una formula incomprensibile a chi affronta l'argomento per la prima volta.

Quando è possibile calcolare il prodotto tra matrici

Siano A e B due matrici a elementi in un generico campo K, quale potrebbe essere il campo R dei numeri reali o il campo C dei numeri complessi.

Possiamo eseguire il prodotto tra A e B a patto che il numero delle colonne della matrice A (prima matrice) sia uguale al numero delle righe di B (seconda matrice).

Il prodotto tra le matrici A e B è una nuova matrice, generalmente indicata con A B e detta matrice prodotto, avente tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B.

Se state affrontando quest'argomento per la prima volta potreste avere le idee un po' confuse, ma è normale. Rileggete quanto scritto con molta calma, e date un'occhiata ai seguenti esempi.

1) Siano A una matrice con 3 righe e 4 colonne e B una matrice con 4 righe e 5 colonne.

- È possibile eseguire il prodotto AB ?

Sì: il numero delle colonne di A è infatti uguale al numero di righe di B.

- Che dimensioni avrà la matrice prodotto AB ?

Essa avrà 3 righe (tante quante le righe di A) e 5 colonne (tante quante le colonne di B).

All'atto pratico: come fare per capire se si possono moltiplicare tra loro due matrici e allo stesso tempo vedere che dimensioni avrà la matrice prodotto?

Scriviamo le dimensioni delle due matrici una accanto all'altra

(3,4) (A) (4,5) (B)

Il secondo elemento della prima coppia è uguale al primo elemento della seconda (4=4). Il prodotto è quindi eseguibile e la dimensione della matrice prodotto si ottiene "sopprimendo" tali termini, ossia:

(3, not4)×(not4,5) = (3,5)

La matrice prodotto sarà allora formata da 3 righe e da 5 colonne.

2) È possibile eseguire il prodotto BA ?

Certo che no: il numero delle colonne di B è infatti diverso dal numero di righe di A.

Attenzione quindi. Come vedremo tra un istante, il prodotto tra matrici non è commutativo.

Come calcolare il prodotto tra matrici

Prendiamo due matrici

A = [1 0 2 ; 0 3 -1 ] (2,3) B = [ 4 1 ;-2 2 ; 0 3 ] (3,2)

e proponiamoci di eseguire il prodotto AB. Possiamo farlo? Certo! Qual è la dimensione della matrice prodotto? In base a quanto scritto in precedenza, essa avrà 2 righe e 2 colonne.

Vediamo ora come si esegue praticamente.

1) Consideriamo la prima riga della matrice A

R_1(A) = [1 0 2]

e la prima colonna della matrice B

C_1(B) = [4 ;-2 ; 0 ]

2) Moltiplichiamo il primo elemento di R_1(A) col primo elemento di C_1(B), il secondo elemento di R_1(A) col secondo elemento di C_1(B), e così via, fino ad esaurire tutti gli elementi della riga di A. Dopodiché sommiamo tra loro i vari prodotti

1·4+0·(-2)+2·0 = 4+0+0 = 4

Osservate che, allo stesso tempo, si sono esauriti anche gli elementi della colonna di B, e ciò non è un caso. Per poter eseguire il prodotto tra matrici, il numero delle colonne della prima matrice deve coincidere col numero di righe della seconda e ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui è necessaria questa imposizione.

3) L'elemento ottenuto al punto 2) occupa il posto (1,1) (prima riga, prima colonna) della matrice prodotto.

4) Si ripete il procedimento visto al punto 2) considerando la sempre la prima riga di A

R_1 (A) = [1 0 2]

con, questa volta, la seconda colonna diB

C_2 (B) = [1 ; 2 ; 3 ]

ottenendo

1·1+0·2+2·3 = 1+0+6 = 7

quello ottenuto è l'elemento di posto (1,2) (prima riga, seconda colonna) della matrice prodotto.

Prodotto tra matrici

Prima di terminare il prodotto fermiamoci per un attimo a riflettere. Moltiplicando nel modo visto la prima riga di A con la prima colonna di B abbiamo ottenuto l'elemento che occupa il posto (1,1) (prima riga, prima colonna) della matrice prodotto. Moltiplicando la prima riga con la seconda colonna abbiamo ricavato l'elemento che occupa il posto (1,2) (prima riga, seconda colonna).

Tenete ben presente tutto questo. Spesso, infatti, mentre si svolge il prodotto tra matrici sorgono dubbi riguardo la posizione dell'elemento calcolato: per togliersi ogni incertezza basta controllare il numero di riga e di colonna che abbiamo moltiplicato tra loro.

Giunti a questo punto, tra l'altro, dovrebbe essere chiaro perché il prodotto tra matrici viene detto prodotto riga per colonna: questa particolare operazione si effettua moltiplicando opportunamente gli elementi delle righe della prima matrice per gli elementi delle colonne della seconda.

Riprendiamo ora il calcolo dal punto in cui ci siamo fermati. Eravamo arrivati a:

A B = [ 1 0 2 ; 0 3 -1 ] [ 4 1 ;-2 2 ; 0 3 ] ] = [ 4 7 ; p_(21) p_(22) ]

Ci mancano ancora due elementi della matrice prodotto: p_(21) (seconda riga, prima colonna) e p_(22) (seconda riga, seconda colonna).

L'elemento p_(21) si ottiene dal prodotto tra la seconda riga di A e la prima colonna di B

p_(21) = 0·4+3·-2+(-1)·0 = 0-6+0 = -6

Allo stesso modo, l'elemento p_(22) si calcola svolgendo il prodotto tra la seconda riga di A e la seconda colonna di B

p_(22) = 0·1+3·2+(-1)·3 = 0+6-3 = 3

Possiamo così concludere che

A B = [ 1 0 2 ; 0 3 -1 ] [ 4 1 ;-2 2 ; 0 3 ] = [ 4 7 ;-6 3 ]

Raccogliamo un attimo le idee: ora che abbiamo capito come eseguire il prodotto tra matrici dobbiamo solo acquisire un po' di confidenza, dopodiché il calcolo diventa agevole e lo si può svolgere in due passaggi.

A B = [ 1 0 2 ; 0 3 -1 ] [ 4 1 ;-2 2 ; 0 3 ] = [1·4+0·(-2)+2·0 1·1+0·2+2·3 ; 0·4+3·(-2)+(-1)·0 0·1+3·2+(-1)·3 ] = [ 4+0+0 1+0+6 ; 0-6+0 0+6-3] = [ 4 7 ;-6 3 ]

Esempio di prodotto tra matrici

Calcolare, se possibile, il prodotto tra le matrici

A = [1 0 1 ; 1 5 -1 ; 3 2 0 ] B = [ 7 1 ; 1 0 ; 0 4 ]

Svolgimento: la dimensione di A è (3,3) e quella di B è (3,2), quindi possiamo calcolare la moltiplicazione tra le due matrici, e la dimensione della matrice prodotto è (3,2).

A B = [1 0 1 ; 1 5 -1 ; 3 2 0 ] [ 7 1 ; 1 0 ; 0 4 ] = [ 1·7+0·1+1·0 1·1+0·0+1·4 ; 1·7+5·1+(-1)·0 1·1+5·0+(-1)·4 ; 3·7+2·1+0·0 3·1+2·0+0·4 ] = [ 7 5 ; 12 -3 ; 23 3 ]

Proprietà del prodotto tra matrici

1) Non gode della proprietà commutativa.

Come anticipato in precedenza, il prodotto tra matrici non è commutativo. In particolare, date due matrici A e B, può capitare che il prodotto A B possa essere eseguito e che non si possa calcolare BA.

Se invece siamo di fronte a due matrici quadrate con lo stesso ordine possiamo calcolare sia il prodotto AB sia il prodotto BA, ma non è detto che diano lo stesso risultato.

A titolo di esempio consideriamo le matrici:

A = [1 0 ; 1 -1 ] B = [ 1 2 ; 2 4 ]

Svolgiamo il prodotto AB

A B = [1 0 ; 1 -1 ] [ 1 2 ; 2 4 ] = [1·1+0·2 1·2+0·4 ; 1·1+(-1)·2 1·2+(-1)·4 ] = [ 1 2 ;-1 -2 ]

mentre:

BA = [ 1 2 ; 2 4 ][1 0 ; 1 -1 ] = [ 1·1+2·1 1·0+2·(-1) ; 2·1+4·1 2·0+4·(-1) ] = [ 3 -2 ; 6 -4 ]

2) Proprietà associativa: date tre matrici A, B, C, nell'ipotesi in cui il prodotto sia eseguibile, si ha che

A (B C) = (A B)C

3) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: sempre ammesso che i vari prodotti siano eseguibili, allora

A (B+C) = A B+A C

4) Elemento neutro: la matrice identità è l'elemento neutro del prodotto tra matrici quadrate, ossia se A è una matrice quadrata di ordine n e Id_n è la matrice identità con lo stesso ordine di A, allora

A Id_n = A = Id_n A

5) Moltiplicando una qualsiasi matrice per la matrice nulla O, nell'ipotesi che il prodotto sia eseguibile, si ottiene la matrice nulla.

A O = O

6) Non vale la legge di annullamento del prodotto, cioè il prodotto tra due matrici potrebbe restituire la matrice nulla senza che nessuna delle due sia la matrice nulla.

Per convincersene consideriamo le matrici

A = [3 6 ; 1 2 ] B = [ 0 2 ; 0 -1 ]

Allora

A B = [3 6 ; 1 2 ] [ 0 2 ; 0 -1 ] = [3·0+6·0 3·2+6·(-1) ; 1·0+2·0 1·2+2·(-1) ] = [ 0 0 ; 0 0 ]

Il prodotto tra matrici in formule

Il prodotto tra matrici viene trattato a partire dai corsi universitari di base, ragion per cui riteniamo necessario che uno studente debba essere in grado di esprimere il tutto in termini matematici rigorosi. Vediamo come.

Siano A e B due matrici a elementi in un campo K tali che il numero delle colonne di A sia uguale al numero di righe di B, cioè

A∈ Mat(m,n,K), B ∈ Mat(n,p,K)

Esprimiamo gli elementi di ciascuna matrice in forma compatta

A = (a_(ij))_(1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n) ; B = (b_(ij))_(1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ j ≤ p)

e chiamiamo C = (c_(ij))∈ Mat(m,p,K) la matrice prodotto tra A e B.

Gli elementi di C = AB si ottengono dalla seguente formula

c_(ij) = Σ_(k = 1)^(n) a_(ik) b_(kj), ∀ i ∈ 1,2,...,m, ∀ j ∈ 1,2,...,p

A voi il compito di applicare tale formula e verificare che tutto torna.

Con questa lezione concludiamo il ciclo di articoli dedicati alle operazioni tra matrici. Nel prossimo parleremo del metodo di eliminazione gaussiana attraverso cui è possibile ridurre una qualsiasi matrice in una matrice a scalini.

Nel frattempo, se qualche dubbio vi assilla o se vi occorrono altri esercizi ed esempi sul prodotto tra matrici, potete usare la barra di ricerca interna, consultare la scheda correlata di esercizi risolti sulle operazioni tra matrici e ancora usare il tool per calcolare il prodotto tra matrici online. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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