Matrice e tipi di matrici

Una matrice è una tabella in cui sono riportati in modo ordinato gli elementi di un dato insieme, che generalmente sono numeri, ma potrebbero anche essere vettori, funzioni o loro derivate.

 

Grazie alle matrici si possono rappresentare in maniera precisa e ordinata diversi enti matematici e quindi sono ampiamente utilizzate in ogni ambito della Matematica, e non solo in Algebra Lineare.

 

In questa lezione vedremo dapprima cos'è una matrice, come si costruisce e come si individuano i suoi elementi, per poi parlare di dimensione di una matrice e concludere analizzando i più comuni tipi di matrici, con cui avremo tanto a che fare nelle prossime lezioni.

 

Cos'è una matrice

 

Una matrice è semplicemente una tabella ordinata di elementi appartenenti allo stesso insieme. Ad esempio

 

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\end{pmatrix}

 

è una matrice i cui elementi sono numeri reali. Le righe orizzontali vengono dette righe della matrice, quelle verticali vengono dette colonne.

 

Generalmente una matrice si indica con una lettera maiuscola e viene scritta nel modo seguente:

 

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\end{pmatrix}

 

I pedici di ogni elemento della matrice hanno un significato ben preciso: il primo e il secondo numero indicano rispettivamente la riga e la colonna in cui l'elemento è posizionato.

 

Ecco spiegato il motivo per cui, poco fa, parlavamo di tabella ordinata. Ogni elemento ha una posizione ben precisa e, in generale, con la notazione

 

a_{ij}

 

si indica l'elemento della matrice A che corrisponde all'incrocio tra la riga i-esima e la colonna j-esima.

 

Ad esempio a_{13} indica l'elemento di una matrice A che si trova all'incrocio tra la prima riga e la terza colonna, mentre b_{52} denota l'elemento di una matrice B situato all'incrocio tra la quinta riga e la seconda colonna. Insomma, lavorare con le matrici è un po' come giocare a battaglia navale.

 

Sempre in tema di notazioni, è bene sapere che se da un lato le matrici vengono solitamente indicate con una lettera maiuscola, dall'altro i suoi elementi vengono denotati con la medesima lettera in minuscolo, esattamente come abbiamo fatto negli esempi precedenti.

 

Riprendiamo per un istante la matrice:

 

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\end{pmatrix}

 

Quante righe ha? E quante colonne? Per individuarle basta guardare i pedici dell'ultimo elemento in basso a destra. Esso è a_{mn}, pertanto la matrice in esame ha m righe e n colonne.

 

Un modo alternativo per scrivere una matrice in termini generici, caratterizzandone il numero di righe e di colonne ma senza specificarne gli elementi, prevede di indicare il generico elemento a_{ij} tra parentesi tonde. Nel caso in esame

 

A=(a_{ij})_{i=1...m,\ j=1...n}

 

e attenzione a non confonderla con la notazione per le successioni! ;)

 

Dimensione di una matrice

 

Chiamiamo dimensione di una matrice il prodotto tra il numero di righe e il numero di colonne. Tale prodotto va indicato come tale e non come numero: ad esempio se una matrice A ha m righe e n colonne, diciamo che A ha dimensione m \times n.

 

Inoltre, una matrice di dimensione m \times n viene detta matrice di tipo (m,n), e se i suoi elementi sono numeri reali, si dice che essa appartiene a \mathbb{R}^{m \times n}, spesso indicato come \mathbb{R}^{m,n} oppure come Mat(m,n,\mathbb{R}).

 

Più in generale, se gli elementi di una matrice appartengono al campo \mathbb{K}, si scrive A \in \mathbb{K}^{m,n}, oppure A \in \mathbb{K}^{m \times n} o, ancora, A \in Mat(m,n,\mathbb{K}).

 

Per chi se lo stesse chiedendo, Mat(m,n,\mathbb{K}) denota l'insieme di tutti le matrici a coefficienti nel campo \mathbb{K} con m righe e n colonne.

 

 

Esempio

 

Sia A=\begin{pmatrix} -1 & 5 & 8 \\ 3 & -1 & 7 \\ 15 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}

 

- Di che tipo è, e qual è la sua dimensione?

 

Avendo 4 righe e 3 colonne è una matrice di tipo (4,3), la cui dimensione è 4\times 3.

 

- A cosa appartiene?

 

I suoi elementi numeri reali, dunque A \in \mathbb{R}^{4,3}, oppure A \in Mat(4,3,\mathbb{R})

 

- Quale elemento occupa la posizione a_{41} ?

 

Dobbiamo individuare l'elemento che occupa la posizione: quarta riga, prima colonna. In tale posizione c'è uno zero, pertanto a_{41}=0

 

Tipi di matrici

 

Diamo ora un nome ad alcune particolari tipologie di matrici. Per il momento potrebbero sembrare nomi buttati lì, senza un senso, ma li incontrerete talmente tante volte che faranno parte del vostro bagaglio matematico in eterno. ;)

 

 

Matrice riga: è una matrice di tipo (1,n), ossia è formata da una sola riga, indipendentemente dal numero delle colonne. Le matrici riga vengono usate per riportare le componenti di un vettore, motivo per cui vengono anche dette vettore riga. Ne sono degli esempi:

 

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{1,4} \ \ \ \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 2 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{1,2}

 

 

Matrice colonna: è una matrice formata da una sola colonna, ossia del tipo (m,1) e viene anche detta vettore colonna.

 

\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 3 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{5,1} \ \ \ \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3,1}

 

 

Matrice rettangolare: è una matrice in cui il numero delle righe è diverso dal numero delle colonne, cioè con m \neq n. Non importa quante esse siano, l'importante è che non siano in ugual numero. Eccone due esempi:

 

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,3} \ \ \ \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 3 & -5 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4,2}

 

 

Matrice quadrata: è una matrice che ha il numero di righe uguale al numero di colonne (m=n), e questo numero prende il nome di ordine della matrice.

 

Tali matrici rivestono un ruolo fondamentale in Algebra Lineare. Sono infatti le uniche per cui (spoiler! :) ) si può calcolare il determinante e cercare la matrice inversa (se esiste).

 

Ad esempio

 

\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2} \ \ \ \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3,3}

 

sono due matrici quadrate, la prima di ordine 2 e la seconda di ordine 3.

 

In una matrice quadrata, si dice:

 

diagonale principale, la diagonale che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra;

 

diagonale secondaria (o antidiagonale), la diagonale che va dall'angolo in alto a destra all'angolo in basso a sinistra.

 

Nella seguente matrice abbiamo indicato in rosso gli elementi della diagonale principale e in blu quelli della diagonale secondaria:

 

\begin{pmatrix} \Red{-4} & 9 & 1 \\ 15 & \Red{-81} & 7 \\ 5 & 12 & \Red{44} \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} -4 & 9 & \Blue{1} \\ 15 & \Blue{-81} & 7 \\ \Blue{5} & 12 & 44 \end{pmatrix}

 

 

Matrice diagonale: è una matrice quadrata in cui gli elementi sono tutti nulli ad eccezione di quelli posti sulla diagonale principale. In formule:

 

A \in \mathbb{R}^{n,n} \mbox{ matrice diagonale} \iff \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}, \ i \neq j, a_{ij}=0

 

Le seguenti sono esempi di matrici diagonali:

 

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

 

 

Matrice antidiagonale: è una matrice quadrata in cui i soli termini della diagonale secondaria possono essere diversi da zero.

 

 

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 7 \\ 0 & 15 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

 

 

Matrice identità: si indica generalmente con \mbox{Id},\ \mbox{Id}_{n}, \ I o con I_n ed è una matrice diagonale avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove. In simboli:

 

\mbox{Id}_n \in \mathbb{R}^{n,n}, \ \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}: \ a_{ij}=\begin{cases}0 & \mbox{se} \ i \neq j \\ 1 &\mbox{se} \ i=j \end{cases}

 

Ovviamente non importa quanto valga n, cioè il numero di righe o di colonne di una matrice identità può essere qualsiasi numero naturale non nullo. Eccone alcuni esempi:

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

 

 

Matrice nulla: è una matrice (rettangolare o quadrata) di dimensione qualsiasi, costituita da soli 0 e indicata col simbolo O.

 

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

 

sono tutte matrici nulle.

 

 

Matrice triangolare superiore: è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale uguali a zero. In formule:

 

A \in\mathbb{R}^{n,n} \mbox{ triangolare superiore} \iff \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}, \ i > j: a_{ij}=0

 

Per capirne la definizione e avere un esempio di matrice triangolare superiore, scriviamo una matrice 3x3 nella forma generale:

 

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \Red{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \Red{a_{31}} & \Red{a_{32}} & a_{33}\end{pmatrix}

 

Gli elementi evidenziati in rosso sono quelli in cui l'indice di riga i è maggiore dell'indice di colonna j. Affinché la matrice sia triangolare superiore tali elementi devono essere uguali a zero, quindi, ad esempio, la seguente è una matrice triangolare superiore:

 

\begin{pmatrix} 5 & 7 & 0 \\ 0 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}

 

 

Matrice triangolare inferiore: è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale uguali a 0. A voi il compito di scrivere la definizione rigorosa e di fare un esempio. Suggerimento: seguite passo passo quanto visto per la matrice triangolare superiore.

 

 

Matrice a scalini: una qualsiasi matrice (quadrata o rettangolare) è detta matrice a scalini o matrice a gradini se il primo elemento diverso da zero della i-esima riga, con i>1, è più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente. Ad esempio, le matrici:

 

\begin{pmatrix}1&2&1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}1&2&0&1 \\ 0&2&1&0 \\ 0&0&1&3 \end{pmatrix}

 

sono matrici a scalini, mentre non lo è la matrice

 

\begin{pmatrix}5&0&3&8 \\ 0&2&0&0 \\ 0&9&2&6 \end{pmatrix}

 

Il primo elemento diverso da zero su ogni riga (quando c'è) è detto pivot.

 

Tramite il metodo di eliminazione di Gauss (argomento che tratteremo in una delle successive lezioni) è possibile ridurre qualsiasi matrice in una matrice a scalini.

 

 

Matrice simmetrica e matrice antisimmetrica: una matrice quadrata di ordine n>1 si dice simmetrica se i suoi elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale principale, ossia se per ogni i, \ j \in \{1,2,...,n\}, \mbox{ con } i \neq j: a_{ij}=a_{ji}.

 

\begin{pmatrix}5&0&3 \\ 0&2&9 \\ 3&9&1 \end{pmatrix}

 

è una matrice simmetrica. Di contro, una matrice quadrata è detta antisimmetrica se a_{ij}=-a_{ji} e ne è un esempio la seguente matrice

 

\begin{pmatrix}0&4&1 \\ -4&0&7 \\ -1&-7&0 \end{pmatrix}

 

 

Altri tipi di matrici che avremo modo di trattare approfonditamente in altre pagine sono: la matrice normale, la matrice hermitiana, la matrice unitaria e la matrice ortogonale.

 

Inoltre, fissata una matrice, se ne possono definire altre, come la matrice trasposta, la matrice aggiunta e la matrice complessa coniugata.

 

 


 

Per il momento è tutto! Nel seguito vedremo quali sono le operazioni tra matrici e ne vedremo i tantissimi utilizzi, partendo dalla somma tra matrici, che è l'argomento che tratteremo nella prossima lezione. Se avete dubbi o domande non esitate e cercate qui su YouMath con la barra di ricerca interna, abbiamo risposte per ogni dubbio. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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