Matrici e vettori

Nelle lezioni su matrici e vettori trattiamo la base dell'Algebra Lineare e presentiamo le principali nozioni, i teoremi e svariate guide per la risoluzione delle principali tipologie di esercizi.

 

Si parte dalle nozioni fondamentali, per poi arrivare alle definizioni e alle proposizioni che permettono di costruire la teoria dell'Algebra Lineare che riguarda le applicazioni lineari e la Geometria Cartesiana dello spazio.

 

Nelle lezioni su matrici e vettori mostriamo come risolvere ogni tipo di esercizio da esame. E diamo qualche dritta per ridurre al minimo le probabilità di fare confusione. ;)

 

 

Scendiamo nel dettaglio. Il primo blocco di lezioni [1-9] propone tutte le basi della teoria: vengono fornite le definizioni relative ai vettori e alle matrici, introducendo le relative operazioni e descrivendo nel dettaglio i metodi di svolgimento e tutte le proprietà che le caratterizzano. Suggeriamo particolare cautela riguardo a prodotto scalare, norma e prodotto vettoriale a chi affronta questi argomenti per la prima volta.

 

Nel successivo gruppo [10-17] entriamo nel vivo dell'azione e iniziamo a lavorare con le matrici, introducendo alcuni metodi propedeutici per il successivo sviluppo della teoria: eliminazione gaussiana, calcolo del determinante, definizione e metodi di calcolo della matrice inversa, definizione e calcolo del rango di una matrice, teorema di Rouché Capelli e approccio matriciale alla risoluzione dei sistemi lineari (con una prospettiva tutta nuova rispetto allo studio delle equazioni delle scuole superiori).

 

Ci avviciniamo al cuore della teoria [18-35] passando allo studio di spazi e sottospazi vettoriali, in cui peraltro faremo abbondante utilizzo delle nozioni presentante nei precedenti gruppi. Presenteremo concetti essenziali quali, ad esempio, la nozione di combinazione lineare, di sistema di generatori e di base. Avremo inoltre un occhio di riguardo sempre aperto sulle implicazioni pratiche, vale a dire che proporremo guide per la risoluzione degli esercizi e numerosi esempi svolti.

 

Da ultimo, nel blocco di lezioni finale [36-48] passeremo ad argomenti più avanzati, che peraltro ci permetteranno di allacciarci in profondità con la teoria delle applicazioni lineari. Studieremo ad esempio la diagonalizzabilità delle matrici, la decomposizione di Jordan e affronteremo la nozione di polinomio minimo.

 

Leggere potrebbe non bastare, e noi vogliamo risolvere tutti i vostri problemi. Ricordate sempre che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e altrettante lezioni e spiegazioni fornite su richiesta degli utenti: tutte le risorse sono a vostra disposizione in qualsiasi momento. Da quando YM è nato abbiamo risposto a qualche migliaio di domande, e si è parlato parecchio di vettori e di matrici. Qualche utente con ogni probabilità ha fatto domande sullo specifico argomento che potrebbe interessarvi, dunque potete:

 

- usare la barra di ricerca in cima ad ogni pagina;

 

- sfogliare le discussioni del Forum di Algebra Lineare;

 

- dare un'occhiata alle D&R della categoria "Uni - Algebra Lineare".

 

Se volete allenarvi potete dare un'occhiata agli esercizi svolti su matrici e vettori, e all'occorrenza aiutarvi con i tool per risolvere gli esercizi di Algebra Lineare online. ;)

 
 
1Vettori
2Operazioni tra vettori
3Prodotto scalare e norma di un vettore
4Prodotto vettoriale
5Prodotto misto
6Matrice e tipi di matrici
7Somma di matrici
8Prodotto di una matrice per uno scalare
9Prodotto tra matrici
10Eliminazione gaussiana
11Determinante di una matrice
12Sottomatrice e minori di una matrice
13Matrice inversa
14Rango di una matrice
15Metodi di risoluzione dei sistemi lineari
16Teorema di Rouché Capelli
17Sistemi lineari parametrici
18Spazio vettoriale
19Sottospazio vettoriale
20Come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale
21Combinazioni lineari
22Vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti
23Stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente
24Sistema di generatori
25Span e sottospazio generato
26Equazioni cartesiane da un sistema di generatori
27Base di uno spazio vettoriale
28Coordinate rispetto a una base
29Matrice di cambiamento di base
30Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo
31Come estrarre una base da un sistema di generatori
32Completamento a base e teorema di completamento
33Somma e intersezione di sottospazi vettoriali
34Somma diretta di sottospazi vettoriali
35Sottospazi supplementari e sottospazi complementari
36Autovalori e autovettori di una matrice
37Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
38Matrice diagonalizzabile
39Matrice triangolarizzabile
40Forma canonica di Jordan
41Autovettori generalizzati e matrice jordanizzante
42Polinomio minimo
43Matrice trasposta
44Matrice simmetrica e matrice antisimmetrica
45Matrice definita positiva, negativa, semidefinita, indefinita
46Segnatura di una matrice
47Matrice ortogonale
48Matrice aggiunta