Retta ortogonale a due rette nello spazio

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Mostriamo come esaudire una tipica richiesta degli esercizi di Geometria dello Spazio assegnati nei corsi di Algebra Lineare, ossia come trovare la retta ortogonale a due rette parallele e incidente entrambe le rette.

Il metodo da utilizzare dipende dalla reciproca posizione delle due rette date dall'esercizio, e in particolare nel caso di:

- rette sghembe;

- rette parallele;

- rette incidenti.

Retta ortogonale a due rette sghembe

Supponiamo di avere due rette sghembe nello spazio, che siano individuate da equazioni parametriche o cartesiane, e chiamiamole rispettivamente . Vogliamo determinare la retta ortogonale ad entrambe le rette ed incidente entrambe.

La prima domanda che sorge spontanea riguarda l'esistenza di una tale retta, e a tal proposito viene in nostro soccorso un teorema di Geometria Euclidea di cui non riportiamo la dimostrazione: date due rette sghembe, esiste una ed una sola retta incidente e perpendicolare ad entrambe le rette.

L'approccio iniziale dipende dalla forma in cui sono descritte , che possono essere date mediante equazioni parametriche o equazioni cartesiane: cerchiamo di dare una scaletta che funzioni in generale.

1) Determiniamo la direzione ortogonale sia alla direzione $v_{r}$ di sia alla direzione di . Il metodo per ricavare la direzione di una retta nello spazio è descritto nella lezione del link.

1.a) Se sono descritte da equazioni parametriche ricaviamo immediatamente le loro rispettive direzioni: . Calcoliamo dunque come prodotto vettoriale tra le due direzioni

$v_t=v_r\times v_s$ .

1.b) Se sono date in forma cartesiana, ricaviamo le direzioni con i vettori dei parametri direttori delle coppie di piani che le definiscono (vedi la lezione linkata al punto 1) ). Fatto ciò calcoliamo anche in questo caso il prodotto vettoriale per determinare la direzione :

$v_t=v_r\times v_s$ .

1.c) Se una delle due rette - diciamo - è definita da equazioni parametriche, mentre l'altra ( ) è data in forma cartesiana, ricaviamo con i parametri direttori dei due piani che la definiscono e poi calcoliamo

$v_t=v_r\times v_s$ .

2) A seconda dei casi 1.a), 1.b) e 1.c) ci serve la rappresentazione parametrica di una delle due rette . Nei casi 1.a) e 1.c) non abbiamo problemi e possiamo passare direttamente al punto 3). Nel caso 1.b) ricaviamo una rappresentazione parametrica dalle equazioni cartesiane di una delle due rette. Supponiamo di farlo di

$r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x(l)=x_P+l v_{x,r}\\ y(l)=y_P+l v_{y,r}\\ z(l)=z_P+l v_{z,r}\end{cases}\mbox{ con }l\in\mathbb{R}$

3) Consideriamo il generico punto $P(t)\in\mathbb{R}$ della retta , ossia consideriamo il generico punto di coordinate parametriche

Consideriamo il vettore perpendicolare alle direzioni di e .

Scriviamo le equazioni parametriche di una retta speciale: quella avente come direzione e come punto di passaggio il punto mobile

$\begin{cases}x(l,m)=x(l)+m v_{x,t}\\ y(l,m)=y(l)+m v_{y,t}\\ z(l,m)=z(l)+m v_{z,t}\end{cases}$

dove sono le coordinate parametriche del generico punto della retta , mentre $m\in\mathbb{R}$ è un parametro reale. Non abbiamo fatto nient'altro che scrivere le equazioni parametriche di tutte le rette aventi direzione e passanti per i vari punti della retta .

4) Cerchiamo le intersezioni tra le rette del fascio appena scritto e la retta : per farlo conviene avere in forma cartesiana, dunque nel caso 1.b) o 1.c) non ci sono problemi. In 1.a) passiamo dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana per la retta .

In questo modo ci ritroviamo a descrivere con un sistema di due equazioni della forma

$s:\ \begin{cases}Ax+By+Cz+D=0\\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{cases}$

Per determinare il punto di intersezione dell'unica retta ortogonale ci basterà sostituire le coordinate del punto 3)

$x=x(l,m),\ y=y(l,m),\ z=z(l,m)$

nelle due equazioni cartesiane appena scritte

$s:\ \begin{cases}Ax(l,m)+By(l,m)+Cz(l,m)+D=0\\ A'x(l,m)+B'y(l,m)+C'z(l,m)+D'=0\end{cases}$

In questo modo ci ritroviamo di fronte ad un sistema di due equazioni in due incognite. Risolvendolo determiniamo un'unica coppia di soluzioni $(\overline{l},\overline{m})$ . Sostituendo tali valori nelle equazioni parametriche del fascio di rette del punto 3), otteniamo il punto di intersezione $\left(x_p, y_p, z_p\right)$ tra la generica retta ortogonale alla retta , e la retta .

$\begin{cases}x_p=x(\overline{l})+\overline{m} v_{x,t}\\ y_p=y(\overline{l})+\overline{m} v_{y,t}\\ z_p=z(\overline{l})+\overline{m} v_{z,t}\end{cases}$

5) La retta cercata è dunque la retta passante per il punto $\left(x_p, y_p, z_p\right)$ appena trovato ed avente come direzione , che è la direzione ricavata al punto 1) ossia la direzione ortogonale ad entrambe le rette.

L'equazione parametrica della retta cercata è quindi:

$\begin{cases}x=x_p+lv_{x,t} \\ y=y_p+lv_{y,t} \\ z=z_p+lv_{z,t}\end{cases}, \quad \mbox{ con } l \in \mathbb{R}$

Retta ortogonale a due rette incidenti

Nell'eventualità in cui ci venga richiesto di trovare la retta t perpencolare a due rette incidenti, potremo esaudire la richiesta in tre semplici passaggi...

1) Individuiamo il punto di incidenza tra le due rette ed .

1.a) Se le due rette sono date in forma cartesiana, ci basterà risolvere il sistema lineare 4x3 ottenuto mettendo a sistema le equazioni dei 4 piani che definiscono ed .

1.b) Se le due rette sono date entrambe in forma parametrica, basterà scrivere le tre equazioni di confronto tra le coordinate parametriche del generico punto di e quelle del generico punto di . In pratica si prendono le espressioni di di , quelle di e si confrontano ordinatamente.

L'unica soluzione $l=\overline{l}$ che soddisfa tutte e tre le equazioni è il valore del parametro che individua in una delle due rappresentazioni parametriche di o . Non importa quale scegliamo.

1.c) Se una delle due rette è definita in forma parametrica e l'altra in forma cartesiana, dovremo solamente sostituire le coordinate parametriche al posto delle coordinate cartesiane . Così facendo ricaveremo due equazioni in un'unica incognita , e la soluzione conviene ad entrambe le equazioni individuerà il punto nelle equazioni parametriche della retta inizialmente data in forma parametrica.

2) Ricaviamo le direzioni di come descritto nel caso delle rette sghembe e, dette esse , calcoliamo la direzione della perpendicolare comune calcolando il prodotto vettoriale

$v_t=v_r\times v_s$

3) Abbiamo finito: scriviamo le equazioni parametriche di come

$\begin{cases}x(l)=x_P+l v_{x,t}\\ y(l)=y_P+l v_{y,t}\\ z(l)=z_P+l v_{z,t}\end{cases}$

Retta ortogonale a due rette parallele

Se le due rette sono parallele, la richiesta presuppone un certo grado di arbitrarietà infatti abbiamo infinite rette perpendicolari alle rette e incidenti entrambe.

L'idea è quella di individuare la direzione ortogonale alla direzione di (e dunque di , per parallelismo) e tale da individuare una retta che sia complanare ad entrambe le rette. Ricordiamo infatti che una sola direzione ammette un'infinità di direzioni ortogonali! Procediamo così:

1) Determiniamo un qualsiasi punto appartenente a , cioè un qualsiasi punto le cui coordinate soddisfino l'equazione di . Chiamiamolo .

2) Calcoliamo la direzione di (si veda la lezione del link data nel punto 1) ), e chiamiamola .

3) Scriviamo l'equazione cartesiana del piano $\pi$ passante per e ortogonale a (per chi non sa come fare: come scrivere l'equazione del piano passante per un punto e ortogonale a una retta).

4) Intersechiamo il piano $\pi$ con la retta , individuando così un punto .

5) Consideriamo la direzione , che è necessariamente perpendicolare a quella di e dunque pure ortogonale alla direzione di per parallelismo.

6) Abbiamo finito! Possiamo scrivere le equazioni parametriche di come

$\begin{cases}x(l)=x_P+l(x_Q-x_P)\\ y(l)=y_P+l(y_Q-y_P)\\ z(l)=z_P+l(z_Q-z_P)\end{cases}$

Con questo è tutto. Se volete vedere esempi ed esercizi svolti per i vari casi presentati non dovete fare altro che cercare su YM con la barra di ricerca...abbiamo risolto migliaia e migliaia di esercizi, troverete sicuramente quello che vi serve. E se così non fosse potete sempre aprire una discussione nel Forum!

да пабачэння, see you soon guys!

Agente Ω

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