Retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

Il metodo per determinare l'equazione di una retta ortogonale e incidente due rette nello spazio varia in base alla posizione reciproca tra le rette assegnate. In particolare, si procede in modi differenti a seconda che esse siano sghembe, incidenti o parallele distinte.

In questa lezione mostriamo come esaudire una tipica richiesta degli esercizi di Geometria dello Spazio assegnati nei corsi di Algebra Lineare, ossia come trovare una retta che sia ortogonale a due rette e incidente entrambe. Come già anticipato, il procedimento dipende dalla posizione reciproca delle due rette di partenza. Per questo motivo abbiamo diviso la lezione in tre parti, in cui abbiamo spiegato separatamente come determinare l'equazione di una retta ortogonale e incidente due rette sghembe, due rette incidenti e due rette parallele distinte.

Onde evitare di ribadirlo ogni volta, nel corso di tutta la spiegazione supporremo di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale $RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ .

Retta ortogonale e incidente due rette sghembe

Supponiamo di avere due rette sghembe nello spazio, che siano individuate da equazioni parametriche o cartesiane, e chiamiamole .

Vogliamo determinare una retta ortogonale e incidente entrambe le rette .

La prima domanda che sorge spontanea riguarda l'esistenza di una tale retta, e a questo proposito viene in nostro aiuto un teorema della Geometria Euclidea di cui non riportiamo la dimostrazione: date due rette sghembe, esiste una e una sola retta incidente e perpendicolare a entrambe.

Cerchiamo di dare una scaletta che funzioni in generale, indipendentemente dal fatto che le rette sghembe siano descritte mediante equazioni parametriche o tramite equazioni cartesiane.

1) Ricaviamo le equazioni parametriche di entrambe le rette, avendo l'accortezza di assegnare un nome diverso ai parametri liberi che compaiono nelle rispettive equazioni.

Per fissare le idee chiamiamo il parametro nelle equazioni parametriche di ed il parametro nelle equazioni di .

$\\ r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=x_0'+l'u \\ y=y_0'+m'u \\ z=z_0'+n'u\end{cases}$

2) Determiniamo i vettori direttori delle rette

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')$

3) Consideriamo il generico punto della retta , e il generico punto della retta

$\\ P(t)=(x_0+lt, \ y_0+mt, \ z_0+nt) \in r \\ \\ Q(u)=(x_0'+l'u, \ y_0'+m'u, \ z_0'+n'u) \in s$

4) Calcoliamo le componenti del vettore

$\\ \mathbf{w}:=\overrightarrow{P(t)Q(u)} = Q(u)-P(t) = \\ \\ = (x_0'+l'u-x_0-lt, \ y_0'+m'u-y_0-mt, \ z_0'+n'u-z_0-nt)$

5) Imponiamo che il prodotto scalare euclideo tra i vettori $\mathbf{w},\mathbf{v}_r$ e tra i vettori $\mathbf{w},\mathbf{v}_s$ sia nullo, ottenendo così due equazioni di primo grado nelle incognite . Mettiamole a sistema:

$\begin{cases}\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}_r=0 \\ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v}_s=0\end{cases}$

6) Troviamo la soluzione $(u,t)=(\overline{u}, \overline{t})$ del suddetto sistema lineare.

7) Sostituiamo con $\overline{t}$ nelle coordinate del generico punto della retta , e sostituiamo con $\overline{u}$ nelle coordinate del generico punto della retta .

8) Indicando con $P(x_P,y_P,z_P) \in r$ e con $Q(x_Q,y_Q,z_Q) \in s$ i punti così ottenuti, la retta ortogonale e incidente le rette sghembe è la retta dello spazio passante per i punti $P \mbox{ e } Q$ , le cui equazioni cartesiane sono

$h: \begin{cases} \dfrac{x-x_Q}{x_P-x_Q}=\dfrac{y-y_Q}{y_P-y_Q} \\ \\ \dfrac{y-y_Q}{y_P-y_Q}=\dfrac{z-z_Q}{z_P-z_Q}\end{cases}$

Esempio sul calcolo della retta ortogonale e incidente due rette sghembe

Dopo aver verificato che sono sghembe, determinare l'equazione della retta incidente e perpendicolare alle rette

$\\ r:\ \begin{cases}x-y-5=0 \\ y-z+1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y=0 \\ 3y-z=0\end{cases}$

Svolgimento: in generale, due rette di equazioni cartesiane

$\\ r:\ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}a_3x+b_3y+c_3+d_3=0 \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0 \end{cases}$

sono sghembe se e solo se la matrice avente sulle righe i coefficienti delle equazioni cartesiane dei piani che definiscono le rette

$A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2&b_2&c_2&d_2 \\ a_3&b_3&c_3&d_3 \\ a_4&b_4&c_4&d_4\end{pmatrix}$

ha determinante diverso da zero.

Nel nostro caso la matrice è

$A=\begin{pmatrix}1&-1&0&-5 \\ 0&1&-1&1 \\ 1&1&0&0 \\ 0&3&-1&0\end{pmatrix}$

e il suo determinante è non nullo (a voi il compito di verificarlo), dunque sono sghembe.

Per entrambe le rette passiamo dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane assegnando a una delle incognite il ruolo di parametro libero.

Per quanto concerne la retta poniamo con $t \in \mathbb{R}$ e sostituiamolo nelle equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x=t \\ t-y-5=0 \\ y-z+1=0\end{cases}$

Ricaviamo dalla seconda equazione, sostituiamo nella terza e svolgiamo i conti

$\\ \begin{cases}x=t \\ y=-5+t \\ (-5+t)-z+1=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x=t \\ y=-5+t \\ -4+t-z=0\end{cases}$

In definitiva le equazioni parametriche di sono

$r:\ \begin{cases}x=t \\ y=-5+t \\ z=-4+t\end{cases}$

Per la retta poniamo con $u \in \mathbb{R}$ e sostituiamo nelle equazioni cartesiane

$s:\ \begin{cases}y=u \\ x+u=0 \\ 3u-z=0\end{cases}$

da cui

$s:\ \begin{cases}x=-u \\ y=u \\ z=3u\end{cases}$

Le componenti dei vettori direzione delle due rette sono, rispettivamente, i coefficienti dei termini parametrici

$\\ \mathbf{v}_r=(1,1,1) \\ \\ \mathbf{v}_s=(-1,1,3)$

Un generico punto della retta è

mentre un generico punto della retta è

Determiniamo le componenti del vettore

$\\ \mathbf{w}:=\overrightarrow{P(t)Q(u)} = Q(u)-P(t)= \\ \\ = (-u,u,3u) - (t,-5+t,-4+t) = \\ \\ = (-u-t, \ u-t+5, \ 3u-t+4)$

Calcoliamo il prodotto scalare canonico tra $\mathbf{w} \mbox{ e } \mathbf{v}_r$ e tra $\mathbf{w} \mbox{ e } \mathbf{v}_s$

$\\ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v}_r = (-u-t, \ u-t+5, \ 3u-t+4) \cdot (1,1,1) = \\ \\ = -u-t+u-t+5+3u-t+4 = \\ \\ = 3u-3t+9 \\ \\ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v}_s = (-u-t, \ u-t+5, \ 3u-t+4) \cdot (-1,1,3) = \\ \\ = u+t+u-t+5+9u-3t+12 = \\ \\ = 11u-3t+17$

Imponiamo che i due prodotti scalari siano nulli e mettiamo a sistema le due condizioni

$\begin{cases}3u-3t+9=0 \\ 11u-3t+17=0\end{cases}$

Risolvendolo col metodo di sostituzione lasciamo a voi il compito di verificare che la soluzione del sistema è

$\begin{cases}t=2 \\ u=-1\end{cases}$

Riscriviamo i punti variabili delle rette

$\\ P(t)=(t, -5+t, -4+t) \in r \\ \\ Q(u)=(-u,u,3u) \in s$

e sostituiamo $t=2,\ u=-1$

$\\ P(2)=(2, -5+2, -4+2) = (2,-3,-2) \\ \\ Q(-1)=(1,-1,-3)$

Ci siamo: la retta ortogonale e incidente le rette è la retta dello spazio passante per i punti di coordinate $P(2,-3,2), \ Q(1,-1,-3)$ , ed individuata dalle equazioni cartesiane sono

$\\ h:\ \begin{cases} \dfrac{x-x_Q}{x_P-x_Q}=\dfrac{y-y_Q}{y_P-y_Q} \\ \\ \dfrac{y-y_Q}{y_P-y_Q}=\dfrac{z-z_Q}{z_P-z_Q}\end{cases} \\ \\ \\ h:\ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2-1}=\dfrac{y+1}{-3+1} \\ \\ \dfrac{y-1}{-3+1}=\dfrac{z+3}{-2+3}\end{cases}$

In conclusione, dopo qualche conticino puramente algebrico, si ottiene la retta

$h:\ \begin{cases} 2x+y-1=0 \\ y+2z+7=0\end{cases}$

Retta ortogonale a due rette incidenti nello spazio

Passiamo ad analizzare il secondo caso: vogliamo individuare la retta incidente e perpendicolare a due rette tra loro incidenti nello spazio. Possiamo esaudire la richiesta in quattro semplici passaggi.

Indicando con le due rette incidenti assegnate:

1) individuiamo il punto di incidenza tra le due rette, .

2) Ricaviamo le direzioni delle due rette, $\mathbf{v}_r,\mathbf{v}_s$ .

3) Determiniamo la direzione perpendicolare a entrambe le rette calcolando il prodotto vettoriale tra i rispettivi vettori direzione

$\mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = (l,m,n)$

4) La retta che stiamo cercando è la retta passante per il punto di incidenza e avente come direzione il vettore di componenti , dunque ha equazioni parametriche

$h:\ \begin{cases}x=x_P+lt \\ y=y_P+mt \\ z=z_P+nt \end{cases}$

Esempio sul calcolo della retta ortogonale e incidente due rette incidenti

Date le rette

$\\ r:\ \begin{cases} 2x-y-2=0 \\ x-z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y-1=0 \\ x-y+z-2=0\end{cases}$

verificare che sono incidenti e determinare l'equazione della retta ortogonale e incidente entrambe.

Svolgimento: avendo a disposizione le equazioni cartesiane delle due rette, per verificare che sono incidenti studiamo la compatibilità del sistema formato dalle rispettive equazioni

$\begin{cases} 2x-y-2=0 \\ x-z=0 \\ x+y-1=0 \\ x-y+z-2=0\end{cases}$

Se esso ammette un'unica soluzione allora le rette sono incidenti, e la soluzione fornisce le coordinate cartesiane del punto di incidenza.

Lasciamo a voi il compito di risolverlo ricorrendo a uno dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari, e di scoprire che l'unica soluzione è

dunque le due rette sono incidenti e si intersecano nel punto .

Fatto ciò, calcoliamo i vettori direzione delle due rette. Per ciascuna retta possiamo ricavarne un vettore direzione come prodotto vettoriale tra i vettori direttori dei piani che la definiscono

$\\ \mathbf{v}_r=(2,-1,0) \times (1,0,-1) = (1,2,1) \\ \\ \mathbf{v}_s=(1,1,0) \times (1,-1,1) = (1,-1,-2)$

Possiamo infine determinare il vettore direzione $\mathbf{v}_h$ della retta

$\\ \mathbf{v}_h=(l,m,n) = \mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = \\ \\ = (1,2,1) \times (1,-1,-2) = \\ \\ = (-3,3,-3)$

Abbiamo finito. Le equazioni parametriche della retta ortogonale e incidente le rette sono

$\\ h:\ \begin{cases}x=x_P+lt \\ y=y_P+mt \\ z=z_P+nt \end{cases}\ \to\ \ \begin{cases}x=1-3t \\ y=3t \\ z=1-3t\end{cases}$

Retta ortogonale a due rette parallele distinte nello spazio

Consideriamo l'ultimo caso: se le rette sono parallele distinte, dobbiamo tenere a mente che esistono infinite rette perpendicolari e incidenti entrambe.

Per ovviare a questo inconveniente solitamente le tracce degli esercizi, oltre alle equazioni delle due rette, forniscono le coordinate cartesiane di un punto di o un punto di che deve appartenere alla retta cercata.

Da qui in poi indichiamo tale punto con e supponiamo per fissare le idee che esso appartenga a .

1) Calcoliamo un vettore direttore $\mathbf{v}_r$ di .

2) Scriviamo l'equazione cartesiana del piano $\alpha$ passante per e ortogonale a . Se non ricordate come fare, è spiegato nella lezione come scrivere l'equazione del piano passante per un punto e ortogonale a una retta.

3) Intersechiamo il piano $\alpha$ con la retta , individuando così un punto .

4) Consideriamo la direzione data dal vettore

$\overrightarrow{PQ} = Q-P = \\ \\ =(x_Q-x_P, y_Q-y_P, z_Q-z_P) = (l,m,n)$

che è necessariamente perpendicolare sia a che a , in quanto parallele.

5) Le equazioni parametriche della retta di nostro interesse sono

$h:\ \begin{cases}x=x_P+lt \\ y=y_P+mt \\ z=z_P+nt \end{cases}$

Esempio sul calcolo della retta ortogonale e incidente due rette parallele distinte

Dopo aver verificato il parallelismo tra le rette

$\\ r:\ \begin{cases}x=t \\ y=1-t \\ z=2+t\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-z-1=0 \\ y+z-3=0\end{cases}$

determinare le equazioni della retta perpendicolare a entrambe e passante per il punto .

Svolgimento: dalle equazioni parametriche della retta possiamo risalire immediatamente alle componenti del vettore direzione

$\mathbf{v}_r=(1,-1,1)$

e verificare che il punto appartiene proprio ad .

Calcoliamo un vettore direttore di eseguendo il prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono. Detti:

$\mathbf{n}_{\alpha}=(1,0,-1)$ il vettore dei coefficienti direttori del piano $\alpha:\ x-z-1=0$ ;

$\mathbf{n}_{\beta}=(0,1,1)$ il vettore dei coefficienti direttori del piano $\beta:\ y+z-3=0$ ;

un vettore direttore di è:

$\\ \mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_{\alpha}\times\mathbf{n}_{\beta}= \\ \\ =(1,0,-1)\times (0,1,1)=(1,-1,1)$

L'uguaglianza tra $\mathbf{v}_{r}$ e $\mathbf{v}_{s}$ garantisce che sono rette parallele. Inoltre esse sono certamente distinte perché $P\notin s.$

Determiniamo l'equazione del piano $\alpha$ passante per il punto e ortogonale a : scriviamo l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

$\alpha:\ ax+by+cz+d=0$

e sostituiamo ordinatamente i coefficienti con le componenti di $\mathbf{v}_r$

Per determinare il valore di imponiamo il passaggio del piano per il punto sostituendone le coordinate nella precedente equazione

$1-0+3+d=0\ \to\ d=-4$

In conclusione l'equazione del piano $\alpha$ è

$\alpha:\ x-y+z-4=0$

Calcoliamo le coordinate del punto di intersezione tra il piano $\alpha$ e la retta , risolvendo il sistema lineare formato dalle loro equazioni

$\begin{cases}x-y+z-4=0 \\ x-z-1=0 \\ y+z-3=0\end{cases}$

Applicando il metodo di sostituzione si ricava la soluzione

$\begin{cases}x=3 \\ y=1 \\ z=2\end{cases}$

cosicché le coordinate del punto di intersezione sono .

Determiniamo le componenti del vettore $\overrightarrow{PQ}$ ortogonale a entrambe le rette

$\\ \overrightarrow{PQ} = Q-P = \\ \\ = (3,1,2) - (1,0,3) = \\ \\ = (2,1,-1) = (l,m,n)$

L'esercizio è pressoché terminato. La retta ortogonale alle rette e passante per il punto ha equazioni parametriche

$h:\ \begin{cases}x=x_P+lt \\ y=y_P+mt \\ z=z_P+nt \end{cases}\ \to\ \ \begin{cases}x=1+2t \\ y=t \\ z=3-t \end{cases}$

Con questa lezione termina la parte del corso dedicato a punti, rette e piani. Nelle successive ci occuperemo dell'equazione della sfera e del metodo per individuare il piano tangente la sfera in un punto, dopodiché passeremo allo studio di coniche e quadriche.

Se volete vedere altri esempi ed esercizi svolti, come di consueto, vi raccomandiamo di passare alla scheda correlata e di usare la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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