Distanza di un punto da una retta nello spazio

La distanza di un punto da una retta nello spazio è per definizione la distanza del punto dalla sua proiezione ortogonale sulla retta e, evidentemente, tale distanza è nulla se e solo se il punto appartiene alla retta.

Tra le varie richieste che possono presentarsi negli esercizi potrebbe capitare di dover calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio. In questa lezione presentiamo un metodo di calcolo molto rapido, spiegando l'idea geometrica che ne sta alla base e risolvendo un esercizio.

Prima di procedere, è bene che sappiate come si ricava l'equazione di un piano ortogonale a una retta e passante per un punto. In caso di dubbi al riguardo vi raccomandiamo di leggere l'omonima lezione. ;)

Come calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio

Ragioniamo nello spazio tridimensionale dotato di un sistema di riferimento cartesiano ortonormale. Supponiamo di disporre dell'equazione di una retta e delle coordinate cartesiane di un punto .

La consegna prevede di determinare la distanza punto-retta, che denotiamo con e che è definita come la distanza tra e la proiezione ortogonale del punto sulla retta .

Distanza di un punto da una retta nello spazio

Caso 1: il punto appartiene alla retta

Se il punto appartiene alla retta , ossia se le coordinate cartesiane di soddisfano l'equazione di , allora la distanza punto-retta è nulla in quanto $P\equiv H$

$P \in r \Rightarrow d(P,r)=0$

Caso 2: il punto non appartiene alla retta

Supponiamo che il punto non appartenga alla retta. Per calcolare la distanza punto-retta procediamo nel modo seguente.

2a) Individuiamo un vettore direttore della retta , e indichiamolo con $\mathbf{v}_r$ .

Se è definita in forma parametrica, possiamo scrivere il vettore associato considerando i coefficienti dei termini parametrici

$r:\ \begin{cases} x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases}\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}$

da cui

$\mathbf{v}_r=(l,m,n)$

Se invece è assegnata in forma cartesiana

$r:\ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}$

le componenti del vettore direzione si possono determinare in due modi: passando dalla forma cartesiana alla forma parametrica, oppure calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono

$\mathbf{v}_r=(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$

2b) Scriviamo l'equazione cartesiana del piano

$\alpha:\ ax+by+cz+d=0$

ortogonale alla retta e passante per il punto . Se non ricordate come fare, lo abbiamo spiegato qui: piano passante per un punto e ortogonale a una retta.

2c) Calcoliamo le coordinate cartesiane del punto di intersezione tra retta e piano $\alpha$ . A tal proposito:

- se la retta è data in forma cartesiana, è sufficiente risolvere il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite formato dalle equazioni della retta e dall'equazione del piano $\alpha$ ;

- se la retta è definita parametricamente, è sufficiente sostituire le coordinate parametriche della retta nell'equazione cartesiana del piano $\alpha$ , ottenendo così un'equazione di primo grado nell'incognita . Sostituendo la soluzione di tale equazione nelle equazioni parametriche di si ottengono le coordinate cartesiane del punto di intersezione.

Per com'è stato ottenuto, il punto è la proiezione ortogonale di su .

2d) Ci siamo: la distanza del punto dalla retta è la distanza tra i punti , e può essere calcolata con la formula della distanza tra due punti nello spazio

$d(P,r)=d(P,H)=\sqrt{(x_P-x_{H})^2+(y_P-y_{H})^2+(z_P-z_{H})^2}$

Esempio sul calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio

Calcolare la distanza tra il punto e la retta

$r:\ \begin{cases}x=2-t\\ y=-3t\\ z=4\end{cases}$

Svolgimento: per prima cosa osserviamo che non appartiene alla retta , infatti sostituendone le coordinate nelle equazioni parametriche di si vede subito che non esiste alcun valore di che soddisfa tutte e tre le equazioni.

Possiamo quindi affermare che la distanza punto-retta è non nulla. Per calcolarla ricaviamo il vettore direzione della retta dalle equazioni parametriche

$\mathbf{v}_r=(-1,-3,0)$

Determiniamo l'equazione del piano $\alpha$ ortogonale a e passante per : scriviamo l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

$\alpha:\ ax+by+cz+d=0$

e ricordiamo che il vettore $\mathbf{n}=(a,b,c)$ , che ha per componenti i coefficienti delle incognite, individua la direzione ortogonale al piano. $\alpha$ dev'essere ortogonale a , dunque dev'essere

$\mathbf{n}=\mathbf{v}_r$

di conseguenza, per ricavare l'equazione di $\alpha$ sostituiamo ordinatamente i coefficienti delle incognite con le componenti del vettore $\mathbf{v}_r=(-1,-3,0)$

A questo punto imponiamo il passaggio per così da ricavare il valore del coefficiente incognito

$\\ -(1)-3(1)+d=0 \\ \\ -1-3+d=0 \\ \\ d=4$

Ne deduciamo che il piano ha equazione

Calcoliamo le coordinate cartesiane del punto d'intersezione tra piano e retta sostituendo dapprima le coordinate parametriche di nell'equazione di $\alpha$

$\begin{cases}x=2-t\\ y=-3t\\ z=4\end{cases}\ \ \to\ \ -x-3y+4=0\\ \\ \\ -(2-t)-3(-3t)+4=0 \\ \\ -2+t+9t+4=0 \\ \\ 10t=-2 \\ \\ t=-\frac{1}{5}$

per poi sostituire il valore del parametro nelle equazioni parametriche della retta

$\begin{cases}x=2-\left(-\frac{1}{5}\right) \\ y=-3\left(-\frac{1}{5}\right) \\ z=4\end{cases}$

Svolgendo i calcoli risulta che il punto di intersezione tra retta e piano ha coordinate

$H\left(\frac{11}{5},\frac{3}{5},4\right)$

Per concludere applichiamo la formula per calcolare la distanza tra i punti , ottenendo così la distanza punto-retta richiesta dalla traccia

$\\ d(P,r)=d(P,H)= \sqrt{(x_P-x_H)^2+(y_P-y_H)^2+(z_P-z_H)^2} = \\ \\ = \sqrt{\left(1-\frac{11}{5}\right)^2+\left(1-\frac{3}{5}\right)^2+\left(1-4\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(-\frac{6}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2+(-3)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{36}{25}+\frac{4}{25}+9} = \sqrt{\frac{36+4+225}{25}} = \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{265}{25}}= \sqrt{\frac{53}{5}}$

Per il momento ci fermiamo qui, ma lo studio delle distanze continua nelle prossime lezioni. Vedremo come calcolare la distanza tra due piani e la distanza tra due rette nello spazio.

Nel frattempo per qualsiasi evenienza ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Vi raccomandiamo di partire dalla scheda correlata e, all'occorrenza, di trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti

Giuseppe Carichino (Galois)

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