Piano contenente due rette

Determinare l'equazione del piano contenente due rette è una tra le più classiche richieste in Geometria dello Spazio, e spesso rientra in esercizi ben più articolati.

 

Il procedimento per trovare l'equazione del piano che contiene due rette cambia a seconda della posizione reciproca assunta dalle rette:

 

- nel caso di rette sghembe, non esiste alcun piano che le contiene;

 

- se sono parallele coincidenti, vi sono infiniti piani che le contengono: tutti i piani del fascio avente come sostegno una delle due rette;

 

- se sono incidenti o parallele distinte esiste un unico piano che le contiene, e in questa lezione vi mostreremo come procedere analizzando separatamente i due casi.

 

Piano passante per due rette incidenti

 

Dalla Geometria Euclidea sappiamo che, date due rette incidenti nello spazio, esiste uno e un solo piano che le contiene.

 

Vi sono diversi metodi che consentono di determinare il piano contenente due rette e l'approccio algebrico dipende dalla forma con cui si presentano le due rette, che chiameremo r, s.

 

Supponendo di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}), per determinare il piano \alpha che contiene le rette incidenti r, s distinguiamo tre diversi casi.

 

 

Caso 1 - Rette in forma parametrica

 

Se r, s sono rette in forma parametrica

 

r:\begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \ \ \ s:\begin{cases}x=x_0'+l't \\ y=y_0'+m't \\ z=z_0'+n't\end{cases}

 

il modo più veloce di procedere prevede di:

 

1.1) ricavare i vettori direzione delle due rette, le cui componenti sono i coefficienti dei termini parametrici

 

\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')

 

1.2) Calcolare le coordinate del punto di intersezione tra r, s, e per farlo confrontiamo in un unico sistema le equazioni delle rette.

 

1.3) Detto P(x_P,y_P,z_P) il punto di intersezione, le equazioni parametriche del piano \alpha che contiene le due rette sono:

 

\alpha: \begin{cases}x=x_P+tl+sl' \\ y=y_P+tm+sm' \\ z=z_P+tn+sn'\end{cases} \mbox{ con } t,s \in \mathbb{R}

 

Da qui, volendo, si può ricavare l'equazione cartesiana del piano a partire dalle equazioni parametriche.

 

 

Caso 2 - Rette in forma cartesiana

 

Se entrambe le rette r, s sono definite da equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0 \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0\end{cases}

 

consigliamo di procedere nel modo seguente:

 

2.1) ricavare le direzioni \mathbf{v}_{r} \mbox{ e } \mathbf{v}_{s} delle rette calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che le definiscono

 

\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(a_3,b_3,c_3) \times (a_4,b_4,c_4)

 

2.2) Calcolare le coordinate del punto di intersezione P(x_P,y_P,z_P) tra r, s risolvendo il sistema di quattro equazioni in tre incognite formato dalle equazioni cartesiane di r, s.

 

2.3) Determinare la direzione ortogonale al piano \alpha, che chiamiamo \mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c), calcolando il prodotto vettoriale tra \mathbf{v}_r \mbox{ e } \mathbf{v}_s

 

\mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)=\mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = (l,m,n) \times (l',m',n')

 

2.4) Un vettore ortogonale al piano è, per definizione, il vettore dei parametri direttori del piano, dunque possiamo scrivere l'equazione cartesiana di \alpha come

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0\ (*)

 

dove a, b, c sono già noti, mentre d \in \mathbb{R} è un coefficiente incognito. Per determinarlo imponiamo la condizione di passaggio del piano per il punto P(x_P,y_P,z_P), sostituendo le coordinate di P in (*) e risolvendo l'equazione di primo grado nell'incognita d che ne scaturisce.

 

d=-(ax_P+by_P+cz_P)

 

2.5) Sostituendo il valore di d così ottenuto in (*) si ricava l'equazione del piano cercato

 

\alpha:\ ax+by+cz-(ax_P+by_P+cz_P)=0

 

 

Caso 3 - Una retta in forma parametrica e l'altra in forma cartesiana

 

Se una delle due rette è in forma parametrica e l'altra è in forma cartesiana, possiamo scegliere di portare entrambe le rette in forma parametrica o in forma cartesiana e quindi procedere come nel caso 1) o come nel caso 2). La scelta è del tutto libera, e la lasciamo a voi. ;)

 

Esempio: come determinare un piano contenente due rette incidenti

 

Dopo aver verificato che sono incidenti, determinare l'equazione del piano \alpha che contiene le rette

 

\\ r:\ \begin{cases} x-y-1=0 \\ 2x-z-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y-z=0 \\ x+y+2z-3=0\end{cases}

 

Svolgimento: due rette sono incidenti se e solo se, per definizione, si intersecano in uno e un solo punto, dunque per verificare che r, s sono incidenti possiamo considerare il sistema lineare formato dalle loro equazioni

 

\begin{cases} x-y-1=0 \\ 2x-z-1=0 \\ x+y-z=0 \\ x+y+2z-3=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x-y=1\\ 2x-z=1\\ x+y-z=0\\ x+y+2z=3\end{cases}

 

e studiarne la compatibilità. Se ammette un'unica soluzione allora r, s sono incidenti, e la soluzione del sistema fornisce le coordinate del punto di intersezione che ci servirà per calcolare l'equazione del piano che le contiene.

 

Scriviamo le matrici incompleta e completa associate al sistema

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 2&0&-1 \\ 1&1&-1 \\ 1&1&2\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}1&-1&0&|&1 \\ 2&0&-1&|&1 \\ 1&1&-1&|&0 \\ 1&1&2&|&3\end{pmatrix}

 

e calcoliamone il rango col metodo di eliminazione gaussiana applicato alla matrice completa, così da ottenere una riduzione a scala anche della matrice incompleta.

 

Indichiamo con R_1, R_2, R_3, R_4 le righe di (A|\mathbf{b}) ed effettuiamo le sostituzioni

 

\\ R_2 \to -2R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-2&2&0&|&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&0&-1&|&1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&2&-1&|&-1\end{pmatrix} \\ \\ R_3 \to -R_1+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1&1&0&|&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&1&-1&|&0\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&2&-1&|&-1\end{pmatrix} \\ \\ R_4 \to -R_1+R_4 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1&1&0&|&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&1&2&|&3\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&2&2&|&2\end{pmatrix}

 

In questo modo otteniamo la matrice

 

(A|\mathbf{b})'=\begin{pmatrix}1&-1&0&|&1 \\ 0&2&-1&|&-1 \\ 0&2&-1&|&-1 \\ 0&2&2&|&2\end{pmatrix}

 

Per annullare gli elementi a_{32}'=2 , \ a_{42}'=2 procediamo con le sostituzioni

 

\\ R_3 \to -R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-2&1&|&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&2&-1&|&-1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&|&0\end{pmatrix} \\ \\ R_4 \to -R_2+R_4 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-2&1&|&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&2&2&|&2\end{pmatrix}= \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&3&|&3\end{pmatrix}

 

Il risultato è la matrice

 

(A|\mathbf{b})''=\begin{pmatrix}1&-1&0&|&1 \\ 0&2&-1&|&-1 \\ 0&0&0&|&0 \\ 0&0&3&|&3\end{pmatrix}

 

Infine, scambiando la terza con la quarta riga otteniamo la matrice ridotta

 

(A|\mathbf{b})'''=\begin{pmatrix}1&-1&0&|&1 \\ 0&2&-1&|&-1 \\ 0&0&3&|&3 \\ 0&0&0&|&0\end{pmatrix}

 

nonché la riduzione a scala della matrice incompleta

 

A'=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 0&2&-1 \\ 0&0&3 \\ 0&0&0\end{pmatrix}

 

Entrambe le matrici ridotte hanno 3 pivot, dunque

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

 

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione, dunque r, s sono incidenti.

 

Partendo dalla matrice completa ridotta a scala

 

(A|\mathbf{b})'''=\begin{pmatrix}1&-1&0&|&1 \\ 0&2&-1&|&-1 \\ 0&0&3&|&3 \\ 0&0&0&|&0\end{pmatrix}

 

è immediato determinare la soluzione del sistema, e quindi le coordinate del punto di intersezione tra r, s

 

Componiamo il sistema con matrice associata (A|\mathbf{b})'''

 

\begin{cases}x-y=1 \\ 2y-z=-1 \\ 3z=3\end{cases}

 

e risolviamolo col metodo di sostituzione. Dopo qualche semplice conticino si ricava

 

\begin{cases}x=1 \\ y=0 \\ z=1\end{cases}

 

Abbiamo così ottenuto le coordinate cartesiane del punto di intersezione

 

P(x_P,y_P,z_P)=(1,0,1)

 

Determiniamo le componenti dei vettori direzione delle rette r \mbox{ ed } s, che indichiamo con \mathbf{v}_r \mbox{ e } \mathbf{v}_s.

 

Diciamo

 

\\ \alpha_1:\ x-y-1=0 \ \ ;\ \ \alpha_2:\ 2x-z-1=0

 

i piani che definiscono la retta r,

 

\\ \alpha_3:\ x+y-z=0 \ \ ;\ \ \alpha_4:\ x+y+2z-3=0

 

i piani che individuano la retta s, e scriviamo i vettori dei coefficienti direttori dei quattro piani

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha_1}=(1,-1,0) \ \ ;\ \ \mathbf{n}_{\alpha_2}=(2,0,-1) \\ \\ \mathbf{n}_{\alpha_3}=(1,1,-1) \ \ ;\ \ \mathbf{n}_{\alpha_4}=(1,1,2)

 

Le componenti dei vettori direzione \mathbf{v}_r \mbox{ e } \mathbf{v}_s sono date dai seguenti prodotti vettoriali, che lasciamo a voi il compito di calcolare

 

\\ \mathbf{v}_r=\mathbf{n}_{\alpha_1} \times \mathbf{n}_{\alpha_2} = (1,-1,0) \times (2,0,-1) = (1,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_s=\mathbf{n}_{\alpha_3} \times \mathbf{n}_{\alpha_4} = (1,1,-1) \times (1,1,2) = (3,-3,0)

 

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per risalire all'equazione cartesiana del piano \alpha

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

passante per le rette r \mbox{ ed } s.

 

Il vettore dei coefficienti direttori di \alpha è

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c) = \mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = \\ \\ = (1,1,2) \times (3,-3,0) = (6,6,-6)

 

dunque

 

\alpha:\ 6x+6y-6z+d=0

 

Imponiamo il passaggio per il punto P(1,0,1) e calcoliamo il valore del termine incognito d

 

\\ 6+0-6+d=0 \\ \\ d=0

 

In definitiva

 

\alpha:\ 6x+6y-6z=0

 

e l'esercizio può dirsi concluso.

 

Piano contenente due rette parallele distinte

 

Se le rette r, s sono parallele distinte, il metodo di ricerca del piano \alpha che le contiene entrambe cambia leggermente, almeno nella fase iniziale.

 

Sappiamo che per individuare univocamente un piano nello spazio abbiamo bisogno di un punto e di due direzioni linearmente indipendenti, il problema è che in questo contesto disponiamo di due rette parallele, dunque di due direzioni linearmente dipendenti.

 

Vediamo un piccolo trucco che permette di aggirare questo ostacolo.

 

Indipendentemente dal fatto che r, s siano date in forma cartesiana o parametrica, possiamo determinare la direzione comune ad entrambe, che indichiamo con

 

\mathbf{v}=(l,m,n)

 

Prendiamo un punto qualsiasi della retta r e un punto qualsiasi della retta s

 

P(x_P,y_P,z_P) \in r\ \ ;\ \ Q(x_Q,y_Q,z_Q) \in s

 

e consideriamo il vettore

 

\mathbf{w}:=\overrightarrow{PQ} = Q-P = (x_Q-x_P, \ y_Q-y_P, \ z_Q-z_P)

 

Ci siamo quasi! Dal prodotto vettoriale tra i vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} si ottiene il vettore dei coefficienti direttori del piano \alpha

 

\mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)=\mathbf{v} \times \mathbf{w}

 

cosicché

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

con d parametro incognito che si determina imponendo il passaggio di \alpha o per il punto P o per il punto Q.

 

Esempio su come determinare un piano contenente due rette parallele distinte

 

Scrivere l'equazione cartesiana del piano \alpha passante per le rette

 

\\ r:\ \begin{cases}x=2t \\ y=1+t \\ z=-t\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=-1+2t \\ y=4+t \\ z=1-t\end{cases}

 

Svolgimento: le rette r, s sono parallele distinte, infatti hanno lo stesso vettore direzione

 

\mathbf{v}=(2,1,-1)

 

ed esiste un punto P(0,1,0) \in r che non appartiene a s.

 

Assegniamo un valore qualsiasi al parametro t della retta s, così da ottenere le coordinate di un punto che vi appartiene. Ponendo ad esempio t=0 si ricava il punto

 

Q(-1,4,1)\in s

 

Proseguiamo determinando le componenti del vettore \mathbf{w}:=\overrightarrow{PQ}

 

\mathbf{w}:=\overrightarrow{PQ} = Q-P =\\ \\ = (x_Q-x_P, \ y_Q-y_P, \ z_Q-z_P) = \\ \\ = (-1-0, \ 4-1, \ 1-0) = \\ \\ = (-1,3,1)

 

Possiamo così determinare i parametri direttori del piano

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

che contiene le due rette

 

\mathbf{n}_{\alpha} = (a,b,c) = \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \\ \\ = (2,1,-1) \times (-1,3,1) = \\ \\ = (4,-1,7)

 

cosicché

 

\alpha:\ 4x-y+7z+d=0

 

Imponendo il passaggio per il punto P(0,1,0) ricaviamo il valore di d

 

\\ (4)(0)-1+(7)(0)+d=0 \\ \\ 0-1+0+d=0 \\ \\ d=1

 

In conclusione, l'equazione del piano passante per le due rette è

 

\alpha:\ 4x-y+7z+1=0

 

 


 

Per altri esempi vi basta usare la barra di ricerca e trovare tutto quello che vi serve tra le decine di migliaia di risposte ed esercizi risolti dallo Staff. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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