Coefficienti direttori del piano

Si dicono parametri direttori, o coefficienti direttori di un piano, i coefficienti delle incognite x, y e z dell'equazione cartesiana di un piano, presi ordinatamente.

 

L'articolo che state per leggere è dedicato ai parametri direttori di un piano, un elemento di fondamentale importanza nella caratterizzazione dei piani dello spazio tridimensionale. Come avremo modo di dimostrare, infatti, in un sistema di riferimento ortonormale i coefficienti direttori di un piano individuano la direzione ortogonale al piano stesso.

 

Dopo aver dato la definizione di coefficienti direttori del piano, ne daremo un'interpretazione geometrica per poi mostrare come, all'atto pratico, si determinano i parametri direttori di un piano conoscendone l'equazione cartesiana o essendo note le equazioni parametriche.

 

Cosa sono i coefficienti direttori di un piano?

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano affine o ortonormale sia \pi un piano dello spazio tridimensionale di equazione

 

\pi: ax+by+cz+d=0

 

I coefficienti direttori del piano \pi sono i coefficienti a, b, c delle incognite x, y, z dell'equazione cartesiana del piano, presi ordinatamente.

 

Il vettore

 

\mathbf{n}=(a,b,c)

 

prende il nome di vettore dei coefficienti direttori o vettore dei parametri direttori del piano \pi.

 

Interpretazione geometrica dei coefficienti direttori di un piano

 

In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, il vettore

 

\mathbf{n}=(a,b,c)

 

dei coefficienti direttori del piano

 

ax+by+cz+d=0

 

individua la direzione ortogonale al piano, ossia il vettore \mathbf{n} è ortogonale a ogni vettore del piano e, più in generale, a ogni vettore parallelo al piano.

 

Dimostrazione

 

Siano RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}) un sistema di riferimento ortonormale definito rispetto al prodotto scalare standard,

 

\pi: \ ax+by+cz+d=0

 

un piano, e

 

P_1(x_1, y_1, z_1), \ P_2(x_2, y_2, z_2)

 

due punti di \pi.

 

Evidentemente, il vettore \overrightarrow{P_1P_2} è un vettore del piano, ossia

 

\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1 = (x_2-x_1)\mathbf{i}+(y_2-y_1)\mathbf{j}+(z_2-z_1)\mathbf{k} \in \pi

 

Vogliamo dimostrare che il vettore

 

\mathbf{n}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k}

 

che ha per componenti i coefficienti delle incognite dell'equazione cartesiana di \pi, è ortogonale a \overrightarrow{P_1P_2}.

 

Dal momento che P_1, P_2 \in \pi, le relative coordinate cartesiane (x_1, y_1, z_1), \ (x_2, y_2, z_2) devono soddisfare l'equazione del piano, ossia

 

\\ ax_1+by_1+cz_1+d=0 \\ \\ ax_2+by_2+cz_2+d=0

 

Sottraendo membro a membro si ricade nell'equazione

 

a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)=0

 

Riscrivendo il primo membro come prodotto scalare

 

\\ a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)= \\ \\ = (a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k}) \cdot ((x_2-x_1)\mathbf{i}+(y_2-y_1)\mathbf{j}+(z_2-z_1)\mathbf{k})

 

si ottiene che

 

(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k}) \cdot ((x_2-x_1)\mathbf{i}+(y_2-y_1)\mathbf{j}+(z_2-z_1)\mathbf{k})=0

 

Il prodotto scalare tra due vettori è nullo se e solo se i vettori sono ortogonali tra loro, dunque dalla precedente uguaglianza segue che

 

\mathbf{n}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k}

 

e

 

(x_2-x_1)\mathbf{i}+(y_2-y_1)\mathbf{j}+(z_2-z_1)\mathbf{k}=0

 

sono vettori ortogonali, e dall'arbitrarietà della scelta dei punti P_1 \mbox{ e } P_2 si ha la tesi.

 

Come determinare i coefficienti direttori di un piano

 

Concentriamoci ora sulla parte pratica e vediamo come risalire ai parametri direttori di un piano a seconda di come venga assegnato, se in forma cartesiana o in forma parametrica.

 

Parametri direttori di un piano in forma cartesiana

 

Nel caso in cui si disponga dell'equazione cartesiana di un piano, i relativi coefficienti direttori sono serviti su un piatto d'argento.

 

Come ribadito più volte, il vettore \mathbf{n} dei parametri direttori di un piano di equazione

 

ax+by+cz+d=0

 

è

 

\mathbf{n}=(a,b,c)

 

Esempi (parametri direttori di un piano in forma cartesiana)

 

1) Il vettore dei coefficienti direttori del piano

 

2x+3y-z+1=0

 

è

 

\mathbf{n}=(2,3,-1)

 

 

2) Il vettore dei parametri direttori del piano

 

8x-z=0

 

è

 

\mathbf{n}=(8,0,-1)

 

 

3) \mathbf{n}=(0,0,-3) è il vettore dei coefficienti direttori del piano

 

-3z+7=0

 

Parametri direttori di un piano in forma parametrica

 

Il caso ben più interessante si presenta quando dobbiamo calcolare i parametri direttori dalle equazioni parametriche di un piano

 

\begin{cases}x=x_0+l_1s+l_2t \\ y=y_0+m_1s+m_2t \\ z=z_0+n_1s+n_2t\end{cases}

 

dove s \mbox{ e } t sono due parametri reali liberi, (x_0, y_0, z_0) sono le coordinate cartesiane di un punto del piano, e \mathbf{v}:=(l_1, m_1, n_1), \ \mathbf{w}:=(l_2, m_2, n_2) sono due vettori linearmente indipendenti che esprimono due direzioni parallele al piano, e le cui componenti sono riferite alla base che definisce il sistema di riferimento.

 

In tal caso possiamo passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana del piano, oppure, procedere con un metodo più elegante, ma che può essere usato solo se siamo in un sistema di riferimento ortonormale.

 

Ricordando che il prodotto vettoriale tra due vettori linearmente indipendenti è, per definizione, ortogonale ai due vettori di cui si calcola il prodotto, il vettore dei parametri direttori di un piano in forma parametrica si ottiene dal prodotto vettoriale tra i vettori di giacitura \mathbf{v} \mbox{ e } \mathbf{w} che definiscono le equazioni parametriche del piano, ossia

\mathbf{n}=\mathbf{v} \times \mathbf{w}

 

 

Esempi (parametri direttori di un piano in forma parametrica)

 

1) Individuare i parametri direttori del seguente piano definito da equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+t \\ y=2-t+s \\ z=3\end{cases}

 

Svolgimento: una delle equazioni che definiscono il piano è sprovvista di parametri, dunque proprio tale equazione, ossia

 

z-3=0

 

è l'equazione cartesiana del piano, da cui si evince che il vettore dei parametri direttori è

 

\mathbf{n}=(0,0,1)

 

 

2) In un sistema di riferimento ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}) determinare il vettore dei coefficienti direttori del piano

 

\begin{cases}x=1+s+t \\ y=-2s+3t \\ z=2+t\end{cases}

 

Svolgimento: due vettori di giacitura del piano sono

 

\\ \mathbf{v}=\mathbf{i}-2\mathbf{j} \\ \\ \mathbf{w}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}+\mathbf{k}

 

Per chi avesse dubbi in merito, ricordiamo che dato un piano in forma parametrica, le componenti dei vettori di giacitura sono, rispettivamente, i coefficienti dei parametri s \mbox{ e } t, presi nell'ordine con cui compaiono nelle tre equazioni che definiscono il piano.

 

Chiarito ciò, il vettore \mathbf{n} dei coefficienti direttori si ottiene dal prodotto vettoriale tra \mathbf{v} \mbox{ e } \mathbf{w}, che con un leggero abuso notazionale, si calcola come segue

 

\mathbf{n}=\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mbox{det} \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1& -2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix}

 

Per il calcolo del determinante usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna

 

\\ \mathbf{n}=\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mbox{det} \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1& -2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mathbf{k} \ \mbox{det} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1&3\end{pmatrix} + 1 \ \mbox{det} \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} \\ 1&-2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mathbf{k}(3+2)+(-2\mathbf{i}-\mathbf{j}) = \\ \\ = -2\mathbf{i}-\mathbf{j}+5\mathbf{k}

 

Dunque, il vettore dei parametri direttori del piano è

 

\mathbf{n}=(-2,-1,5)

 

 


 

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Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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