Dalle equazioni parametriche del piano all'equazione cartesiana

Per passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano dello spazio tridimensionale si usa il cosiddetto metodo di cancellazione dei parametri, che permette, appunto, di risalire alla forma cartesiana di un piano disponendo della rappresentazione parametrica.

Dopo aver visto come si definiscono l'equazione cartesiana e le equazioni parametriche di un piano, cerchiamo di capire come si effettua il passaggio dall'una all'altra forma. In questa lezione mostreremo come ricavare l'equazione cartesiana di un piano dalle equazioni parametriche, e nella successiva vedremo come effettuare il passaggio inverso.

Vi anticipiamo che il metodo è semplicissimo e prevede di ricorrere ad alcune operazioni algebriche elementari, prestando attenzione solo a un caso molto particolare. Non perdiamoci in chiacchiere e introduciamo dapprima il procedimento general,e per poi proporre qualche esempio svolto.

Come passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano

Fissato un sistema di riferimento cartesiano affine o ortonormale, le equazioni parametriche di un piano $\pi$ si presentano nella forma

$\pi:\ \begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases} \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}$

dove:

$\bullet\ s, t$ sono due parametri reali;

$\bullet\ (x_0, y_0, z_0)$ sono le coordinate cartesiane di un punto $P_0 \in \pi$

$\bullet\ (l_1, m_1, n_1), \ (l_2, m_2, n_2)$ sono le coordinate di due vettori di giacitura del piano rispetto alla base che definisce il sistema di riferimento.

Vogliamo determinare l'equazione cartesiana del piano $\pi$ , ossia passare dalle equazioni parametriche a un'equazione della forma

$\pi:\ ax+by+cz+d=0$

Procediamo per passi.

1) Se in una delle tre equazioni parametriche non compare alcuno dei parametri , tale equazione è esattamente l'equazione cartesiana che rappresenta il piano.

Più esplicitamente, possono presentarsi le seguenti eventualità:

1a) se un piano ha equazioni parametriche della forma

$\begin{cases}x=x_0 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases}$

l'equazione cartesiana è , ossia

1b) Se le equazioni parametriche sono

$\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases}$

la corrispondente equazione cartesiana è

1c) A equazioni parametriche della forma

$\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0\end{cases}$

risulta associata l'equazione cartesiana

2) Supponiamo che in tutte e tre le equazioni parametriche compaia almeno uno tra i parametri . Per passare all'equazione cartesiana del piano si procede con quello che viene detto metodo di cancellazione dei parametri, che somiglia molto al metodo di sostituzione per i sistemi lineari.

3) Scegliere il parametro ( oppure ) che compare in almeno due equazioni, ed esplicitarne una in termini del parametro scelto.

4) Sostituire l'espressione così ricavata nelle altre due equazioni. Se una tra tali equazione non presenta alcun parametro dopo la sostituzione, allora è proprio l'equazione cartesiana del piano e abbiamo finito. In caso contrario proseguiamo.

5) Scegliere una tra le due equazioni ed esplicitarla rispetto all'altro parametro.

6) Sostituire l'espressione così ottenuta nell'equazione rimanente.

Finito! Svolgendo i conti si ottiene l'equazione cartesiana del piano.

Sebbene il modus operandi possa sembrare complicato in realtà è molto semplice, e con l'aiuto di qualche esempio risulterà tutto chiaro.

Esempi sul passaggio dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano

Vediamo alcuni esempi sul passaggio dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana del piano, in modo da trattare i casi che si presentano più frequentemente negli esercizi.

Esempio 1) Ricavare una rappresentazione cartesiana del piano descritto dalle equazioni parametriche

$\begin{cases}x=2 \\ y=3s+t \\ z=1+s+5t\end{cases}$

Svolgimento: la prima equazione è sprovvista di parametri, dunque l'equazione cartesiana del piano è

Esempio 2) Determinare l'equazione cartesiana del piano assegnato nella forma parametrica

$\begin{cases}x=1+s \\ y=t \\ z=2+s\end{cases}$

Svolgimento: è l'unico parametro che compare in due delle equazioni parametriche, dunque scegliamone una (ad esempio la prima) ed esplicitiamola in favore di

$\\ x=1+s \\ \\ s=x-1$

Sostituendolo nella terza

$\\ z=2+s \\ \\ z=2+x-1 \\ \\ x-z+1=0$

otteniamo un'equazione che non dipende da alcun parametro. Stop: quella che abbiamo scritto è proprio l'equazione cartesiana del piano

Esempio 3) Individuare l'equazione cartesiana del piano dato da

$\begin{cases}x=3+s+2t \\ y=s+t \\ z=1-s+t\end{cases}$

Svolgimento: scegliamo la prima equazione ed esplicitiamola in favore del parametro

$\\ x=3+s+2t \\ \\ s=x-3-2t$

Sostituiamo tale espressione nelle altre due equazioni

$\begin{cases}s=x-3-2t \\ y=s+t \\ z=1-s+t\end{cases} \ \to \ \begin{cases}s=x-3-2t \\ y=x-3-2t+t \\ z=1-(x-3-2t)+t\end{cases}$

e svolgiamo i conti

$\begin{cases}s=x-3-2t \\ y=x-3-t \\ z=-x+4+3t\end{cases}$

Poiché nelle altre due equazioni compare il parametro , proseguiamo. Scegliamo la seconda equazione e usiamola per ricavare un'espressione di

$\\ y=x-3-t \\ \\ t=x-y-3$

Sostituiamolo nell'equazione rimasta, ossia in

$\\ z=-x+4+3(x-y-3) \\ \\ z=-x+4+3x-3y-9 \\ \\ 2x-3y-z-5=0$

Ci siamo: l'equazione cartesiana del piano è

Il passaggio dalle equazioni parametriche alla cartesiana di un piano, più che un esercizio a sé, è spesso un passaggio necessario in esercizi ben più complessi, quindi è bene non avere dubbi a riguardo. A questo proposito vi suggeriamo di fare un po' di sano allenamento: sappiate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi al riguardo, e che potete recuperarli facilmente con l'aiuto della barra di ricerca interna. ;)

Nella prossima lezione ci occuperemo del procedimento inverso, ossia mostreremo come passare dall'equazione cartesiana alle equazioni parametriche del piano.

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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