Piano tangente a una sfera

Il piano tangente a una sfera in un punto è un piano che ha uno ed un solo punto in comune con la sfera, detto punto di tangenza, ed è tale da essere ortogonale alla retta che passa per il centro della sfera e per il punto di tangenza.

 

La ricerca dell'equazione del piano tangente una sfera in un punto prevede di applicare un metodo algebrico piuttosto elegante, che si basa sulla definizione di equazione cartesiana di un piano nello spazio.

 

Capita spesso di imbattersi in esercizi che chiedono di determinare l'equazione del piano tangente una sfera in un punto assegnato, e sarà proprio questo l'argomento di cui ci occuperemo in questa lezione. Com'è nostra abitudine, proporremo dapprima il metodo generale per poi mostrarvi un esempio svolto.

 

Equazione cartesiana del piano tangente a una sfera

 

Supponiamo di disporre dell'equazione di una sfera nello spazio tridimensionale, dotato di un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ), e supponiamo che sia assegnata in forma canonica

 

\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2+\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta=0

 

o, in alternativa, nella forma

 

\mathrm{S}:\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

dove C(x_C,y_C,z_C) è il centro della sfera e r ne indica il raggio.

 

Vogliamo determinare l'equazione del piano tangente la sfera nel punto P(x_P,y_P,z_P).

 

 

1) La prima cosa da fare è verificare che il punto P appartenga alla sfera e, a tal proposito, è sufficiente sostituire le coordinate cartesiane di P nell'equazione della sfera.

 

Se la sostituzione conduce a un'identità, allora P è un punto della sfera e possiamo proseguire. In caso contrario P non appartiene a \mathrm{S} e non esiste alcun piano tangente la sfera in P.

 

 

2) Determiniamo le coordinate cartesiane del centro C della sfera, che indichiamo con C(x_C,y_C,z_C).

 

Per chi non sapesse come fare, ricordiamo che se l'equazione della sfera è della forma

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

allora le coordinate del centro sono servite su un piatto d'argento. Se invece l'equazione della sfera è in forma canonica

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta=0

 

possiamo ricavare le coordinate del centro come

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, -\frac{\gamma}{2}\right)

 

 

3) Per individuare un piano nello spazio bastano un punto di passaggio e la direzione ortogonale al piano.

 

Il punto di passaggio è il punto di tangenza, di cui conosciamo già le coordinate P(x_P,y_P,z_P).

 

Per quanto concerne la direzione ortogonale è sufficiente osservare che la retta passante per il centro della sfera e per il punto di tangenza è ortogonale al piano tangente. Possiamo allora ricavare la direzione normale al piano tangente (parametri direttori del piano) calcolando le componenti del vettore \overrightarrow{CP}, che individua la direzione della retta passante per i punti C,P

 

\overrightarrow{CP}=P-C=(x_P-x_C, \ y_P-y_C, \ z_P-z_C)

 

 

4) Consideriamo la generica equazione cartesiana di un piano

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

e sostituiamo le componenti del vettore \overrightarrow{CP} al posto dei coefficienti a,b,c

 

(x_P-x_C)x+(y_P-y_C)y+(z_P-z_C)z+d=0

 

 

5) Imponiamo il passaggio del piano per il punto di tangenza, sostituendo le coordinate di P(x_P,y_P,z_P) nell'equazione di \pi.

 

d=-((x_P-x_C)x_P+(y_P-y_C)y_P+(z_P-z_C)z_P)

 

In questo modo determiniamo il valore del parametro incognito d e possiamo finalmente scrivere l'equazione cartesiana del piano tangente.

 

Esempio: come determinare l'equazione del piano tangente una sfera in un punto

 

Determinare l'equazione del piano tangente alla sfera

 

\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+10=0

 

nel punto di coordinate P=(2,1,-1).

 

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che P\in\mathrm{S}, infatti le coordinate di P verificano l'equazione della sfera.

 

Le coordinate del centro della sfera sono

 

\\ C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, -\frac{\gamma}{2}\right) = \left(-\frac{-4}{2}, -\frac{-6}{2}, -\frac{2}{2}\right) = \\ \\ = (2,3,-1)

 

Calcoliamo le componenti di un vettore direzione della retta che passa per il centro C(2,3,-1) e per il punto di tangenza assegnato P(2,1,-1)

 

\\ \mathbf{v}=P-C=(x_P-x_C, \ y_P-y_C, \ z_P-z_C) = \\ \\ = (2-2, \ 1-3, \ -1+1) = \\ \\ = (0,-2,0)

 

sicché il piano \pi cercato ha come vettore dei coefficienti direttori

 

\mathbf{n}=(0,-2,0)

 

Sostituendoli nell'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

otteniamo

 

-2y+d=0

 

Imponiamo il passaggio per P(2,1,-1) sostituendone le coordinate nell'ultima equazione

 

\\ -2 \cdot 1 +d=0 \\ \\ -2+d=0 \\ \\ d=2

 

Abbiamo finito! L'equazione del piano tangente la sfera nel punto P è

 

-2y+2=0

 

 


 

In caso di dubbi, o se siete alla ricerca di altri esercizi svolti, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi, a cominciare da quelli proposti nella scheda correlata. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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