Dall'equazione cartesiana del piano alle equazioni parametriche

Lo scopo di questa lezione è spiegare come passare dall'equazione cartesiana alle equazioni parametriche di un piano dello spazio tridimensionale, che più di un esercizio a sé è spesso un passaggio necessario in svariate tipologie di esercizi ben più complessi e articolati.

 

In generale per determinare la forma parametrica di un piano a partire dalla forma cartesiana è sufficiente assegnare a due delle incognite il ruolo di parametro libero, per poi sostituirle nell'equazione cartesiana ed esplicitarla in funzione dell'incognita rimasta. Si tratta quindi di un procedimento meccanico e assai semplice, ma bisogna prestare attenzione ad alcuni casi particolari che avremo modo di analizzare nel dettaglio.

 

Per chi se lo fosse perso, nella lezione precedente abbiamo spiegato come si effettua il passaggio dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana del piano.

 

Come passare dall'equazione cartesiana alle equazioni parametriche di un piano

 

Quale che sia il sistema di riferimento affine o ortonormale scelto, l'equazione cartesiana di un piano \pi dello spazio tridimensionale si presenta nella forma

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

dove a, b, c, d sono numeri reali con a, b, c non contemporaneamente nulli, ossia

 

(a,b,c) \neq (0,0,0)

 

Il nostro obiettivo è determinare le equazioni parametriche del piano \pi, cioè passare dall'equazione cartesiana a equazioni della forma

 

\pi:\ \begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2 \end{cases}

 

in cui:

 

\bullet\ (x_0, y_0, z_0) sono le coordinate cartesiane di un punto del piano \pi

 

\bullet\ s, t sono due parametri reali

 

\bullet\ (l_1, m_1, n_1), \ (l_2, m_2, n_2) rappresentano le componenti di due vettori di giacitura del piano, riferite alla base che definisce il sistema di riferimento scelto.

 

Chiarito ciò, per ricavare le equazioni parametriche dall'equazione cartesiana

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

distinguiamo tre casi.

 

 

Caso 1) Nell'equazione cartesiana compaiono tutte le incognite.

 

Se nell'equazione cartesiana compaiono tutte e tre le incognite x, y, z, se ne scelgono due a piacere e si assegna ad esse il ruolo di parametro libero.

 

Poniamo ad esempio

 

\begin{matrix}x=s\\ y=t\end{matrix}\ \ \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

e scriviamo il seguente sistema lineare

 

\begin{cases} x=s \\ y=t \\ ax+by+cz+d=0 \end{cases}

 

Nella terza equazione sostituiamo x=s e y=t

 

\begin{cases} x=s \\ y=t \\ as+bt+cz+d=0 \end{cases}

 

ed esplicitiamo l'ultima equazione in favore di z

 

\begin{cases} x=s \\ y=t \\ z=-\frac{d}{c}-\frac{a}{c}s-\frac{b}{c}t \end{cases}

 

Finito! Il sistema così ottenuto fornisce la forma parametrica del piano.

 

 

Caso 2) Nell'equazione cartesiana compaiono due incognite.

 

Se nell'equazione cartesiana del piano compaiono solo due incognite, cioè se uno tra i coefficienti a, b, c è nullo, si deve assegnare all'incognita mancante il ruolo di parametro libero e scegliere come secondo parametro una delle due incognite presenti nell'equazione cartesiana.

 

Per fissare le idee, supponiamo che l'equazione cartesiana in esame sia della forma

 

ax+by+d=0\ \ \mbox{ con } a\neq 0 \mbox{ e } b \neq 0

 

L'incognita mancante è z, dunque poniamo

 

z=s\ \ \mbox{ con } s \in \mathbb{R}

 

e come secondo parametro scegliamo una tra x \mbox{ e } y. La scelta è del tutto arbitraria, dunque prendiamo

 

x=t\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

 

Arrivati a questo punto componiamo il sistema

 

\begin{cases}x=t \\ ax+by+d=0 \\ z=s\end{cases}

 

Nella seconda equazione sostituiamo x=t, per poi esplicitarla in favore di y

 

\\ \begin{cases}x=t \\ at+by+d=0 \\ z=s\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x=t \\ y=-\frac{d}{b}-\frac{a}{b}t \\ z=s\end{cases}

 

e ci siamo. Abbiamo ricavato le equazioni parametriche del piano.

 

 

Caso 3) L'equazione cartesiana dipende da una sola incognita.

 

Se nell'equazione cartesiana compare una sola incognita c'è ben poco da fare. Le due incognite mancanti devono necessariamente assumere il ruolo di parametro libero.

 

Ad esempio, se l'equazione cartesiana di un piano è della forma

 

ax+d=0\ \ \mbox{ con } a \neq 0

 

Le equazioni parametriche associate sono

 

\begin{cases}ax+d=0 \\ y=s \\ z=t\end{cases}

 

ossia

 

\begin{cases}x=-\frac{d}{a} \\ y=s \\ z=t\end{cases}

 

Esempi sul passaggio dall'equazione cartesiana alle equazioni parametriche di un piano

 

Concludiamo la lezione con una serie di esercizi risolti sul passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica, proponendo un esempio per ciascun tipo di equazione.

 

 

Esempio 1) Determinare le equazioni parametriche del piano

 

3x+5y-z+2=0

 

Svolgimento: scegliamo due incognite a piacere, ad esempio x, y, e imponiamo che sia

 

x=s,\ \ y=t\ \ \mbox{ con } s, t \in \mathbb{R}

 

Mettiamo il tutto a sistema

 

\begin{cases}x=s \\ y=t \\ 3x+5y-z+2=0 \end{cases}

 

Nella terza equazione sostituiamo x=s e y=t

 

\begin{cases}x=s \\ y=t \\ 3s+5t-z+2=0 \end{cases}

 

Concludiamo esplicitando la terza equazione in favore di z

 

\begin{cases}x=s \\ y=t \\ z=2+3s+5t \end{cases}

 

 

Esempio 2) Scrivere le equazioni parametriche del piano

 

y-5z+2=0

 

Svolgimento: l'equazione cartesiana assegnata è sprovvista dell'incognita x, dunque poniamo

 

x=s,\ z=t,\ \ \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

Procediamo componendo il sistema di equazioni

 

\begin{cases}x=s \\ y-5z+2=0 \\ z=t\end{cases}

 

Nella seconda equazione sostituiamo z=t

 

\begin{cases}x=s \\ y-5t+2=0 \\ z=t\end{cases}

 

e concludiamo l'esercizio esplicitando la seconda equazione rispetto a y

 

\begin{cases}x=s \\ y=-2+5t \\ z=t\end{cases}

 

 

Esempio 3) Calcolare le equazioni parametriche del piano

 

z-5=0

 

Svolgimento: mancano le incognite x, y, dunque poniamo

 

x=s,\ y=t\ \ \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

dopodiché riscriviamo l'equazione assegnata come z=5.

 

Le equazioni parametriche cercate sono

 

\begin{cases}x=s \\ y=t \\ z=5\end{cases}

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui, ma dalla prossima lezione continueremo lo studio sui piani, definendo i cosiddetti parametri direttori di un piano. Nel frattempo, per eventuali dubbi o problemi, non esitate e cercate le risposte alle vostre domande con la barra di ricerca di YouMath: abbiamo risolto tantissimi esercizi, spiegandoli fino all'ultimo passaggio! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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