Equazioni parametriche del piano

Si dicono equazioni parametriche di un piano nello spazio tridimensionale le tre equazioni di un sistema lineare che descrivono le coordinate dei punti del piano. Le equazioni parametriche del piano si scrivono in funzione di un suo punto e delle componenti di due vettori paralleli ad esso, in un opportuno sistema di riferimento.

 

Nello spazio ordinario, dove si suppongono validi i postulati della Geometria Euclidea e dove è stato fissato un riferimento cartesiano affine o ortonormale, un piano può essere descritto considerando un suo punto P_0 e due vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} linearmente indipendenti tra loro e paralleli al piano, detti vettori di giacitura.

 

In questa lezione vedremo cosa si intende per equazione vettoriale di un piano e, a partire da essa, introdurremo le equazioni parametriche del piano descrivendone le caratteristiche e proponendo le relative formule. Vedremo come scrivere le equazioni parametriche a seconda dei dati a disposizione e mostreremo qualche esempio svolto.

 

Equazione vettoriale di un piano e vettori di giacitura

 

Geometricamente un piano \pi può essere individuato considerando un punto P_0\in\pi e due vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} linearmente indipendenti e paralleli a \pi.

 

Il piano \pi passante per P_0 e parallelo ai vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} è l'insieme dei punti P dello spazio tali che i vettori \overrightarrow{P_0P}, \mathbf{v}, \mathbf{w} siano complanari, il che equivale a dire che il vettore \overrightarrow{P_0P} deve dipendere linearmente dai vettori \mathbf{v}, \mathbf{w}.

 

\overrightarrow{P_0P} dipende linearmente dai vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} se e solo se può essere espresso come loro combinazione lineare, ossia se e solo se esistono gli scalari s, t \in \mathbb{R} tali che

 

\overrightarrow{P_0P}=s\mathbf{v}+t\mathbf{w}

 

La precedente equazione prende il nome di equazione vettoriale del piano \pi, e i vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} si dicono vettori di giacitura di \pi.

 

Equazioni parametriche di un piano

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}) e indichiamo con P(x,y,z) un generico punto del piano \pi.

 

Sia quindi P_0(x_0, y_0, z_0) uno specifico punto appartenente a \pi e siano

 

\\ \mathbf{v}=l_1\mathbf{i}+m_1\mathbf{j}+n_1\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{w}=l_2\mathbf{i}+m_2\mathbf{j}+n_2\mathbf{k}

 

due vettori di giacitura di \pi. In questo modo possiamo scrivere esplicitamente le coordinate del vettore

 

\overrightarrow{P_0P}=P-P_0=(x-x_0)\mathbf{i}+(y-y_0)\mathbf{j}+(z-z_0)\mathbf{k}

 

e sostituendole nell'equazione vettoriale del piano

 

\overrightarrow{P_0P}=s\mathbf{v}+t\mathbf{w}\ \ \mbox{ con } s, t \in \mathbb{R}

 

otteniamo

 

(x-x_0)\mathbf{i}+(y-y_0)\mathbf{j}+(z-z_0)\mathbf{k} = s(l_1\mathbf{i}+m_1\mathbf{j}+n_1\mathbf{k})+t(l_2\mathbf{i}+m_2\mathbf{j}+n_2\mathbf{k})

 

ossia

 

(x-x_0)\mathbf{i}+(y-y_0)\mathbf{j}+(z-z_0)\mathbf{k} = (sl_1+tl_2)\mathbf{i}+(sm_1+tm_2)\mathbf{j}+(sn_1+tn_2)\mathbf{k}

 

Due vettori sono uguali se coincidono componente per componente, dunque la precedente uguaglianza si traduce nel sistema lineare

 

\begin{cases}x-x_0=sl_1+tl_2 \\ y-y_0=sm_1+tm_2 \\ z-z_0=sn_1+tn_2\end{cases}

 

che possiamo riscrivere come

 

\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases}

 

Le equazioni di questo sistema prendono il nome di equazioni parametriche del piano.

 

Nulla di difficile, in effetti. Basta ricordare che:

 

\bullet\ (x_0,y_0,z_0) sono le coordinate di un punto P_0 \in \pi

 

\bullet\ (l_1,m_1, n_1);\ (l_2, m_2, n_2) sono le componenti di due vettori di giacitura del piano rispetto alla base che definisce il sistema di riferimento;

 

\bullet\ s, t sono due parametri reali.

 

 

Esempi sulle equazioni parametriche di un piano

 

1) Le equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1-s+3t\\ y=-2s+t\\ z=3+s\end{cases}

 

descrivono il piano passante per il punto P_0=(1,0,3) e parallelo alle direzioni dei due vettori

 

\\ \mathbf{v}=-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{w}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}

 

 

2) Di contro, le equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+s+2t\\ y=3-\frac{3}{2}s-3t\\ z=-5+4s+8t\end{cases}

 

non individuano un piano in quanto i vettori

 

\\ \mathbf{v}=\mathbf{i}-\frac{3}{2}\mathbf{j}+4\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{w}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+8\mathbf{k}

 

sono linearmente dipendenti tra loro, infatti \mathbf{w}=2\mathbf{v}.

 

Come ricavare le equazioni parametriche di un piano

 

A questo punto dovrebbe essere chiaro che per determinare le equazioni parametriche di un piano servono due vettori linearmente indipendenti dello spazio tridimensionale e un punto del piano.

 

Ci sono essenzialmente due modi di procedere, teoricamente analoghi ma praticamente diversi. Vediamoli :)

 

Equazioni parametriche di un piano con due vettori e un punto

 

Se disponiamo di un punto del piano P_0(x_0,y_0,z_0) e di due vettori linearmente indipendenti

 

\\ \mathbf{v}=l_1\mathbf{i}+m_1\mathbf{j}+n_1\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{w}=l_2\mathbf{i}+m_2\mathbf{j}+n_2\mathbf{k}

 

risalire alle equazioni parametriche del piano è immediato; basta infatti comporre il sistema

 

\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases} \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

 

Esempio (Equazioni parametriche di un piano con punto e vettori di giacitura)

 

Determinare le equazioni parametriche del piano \pi passante per il punto P_0(1,-1,2) e parallelo ai vettori

 

\mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}\\ \\ \mathbf{w}=-2\mathbf{i}+4\mathbf{k}

 

Svolgimento: i vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} sono linearmente indipendenti.

 

Per giungere a questa conclusione si può usare la definizione di indipendenza lineare o, molto più velocemente, verificare che la matrice avente per righe (o per colonne) le componenti dei due vettori ha rango massimo.

 

\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ -2&0&4\end{pmatrix} = 2

 

Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla lezione: come verificare se un insieme di vettori è linearmente indipendente.

 

Date le coordinate di un punto del piano e noti due vettori di giacitura possiamo risalire alle equazioni parametriche del piano componendo il sistema

 

\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases} \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

dove:

 

x_0, y_0, z_0 sono le coordinate del punto P_0(1,-1,2)

 

x_0=1, \ y_0=-1, \ z_0=2

 

l_1, m_1 \mbox{ e } n_1 indicano le componenti del vettore \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

 

l_1=1, \ m_1=1, \ n_1=1

 

l_2, m_2 \mbox{ e } n_2 rappresentano le componenti di \mathbf{w}=-2\mathbf{i}+4\mathbf{k}

 

l_2=-2, \ m_2=0, \ n_2=4

 

In definitiva

 

\pi:\ \begin{cases}x=1+s-2t \\ y=-1+s \\ z=2+s+4t\end{cases}

 

Equazioni parametriche di un piano per tre punti

 

Se sono note le coordinate cartesiane di tre punti non allineati dello spazio

 

P_0(x_0, y_0, z_0), \ P_1(x_1, y_1, z_1), \ P_2(x_2, y_2, z_2)

 

per determinare le equazioni parametriche del piano che li contiene è sufficiente considerare i vettori

 

\\ \mathbf{v}=\overrightarrow{P_0P_1} \\ \\ \mathbf{w}=\overrightarrow{P_0P_2}

 

e comporre l'usuale sistema

 

\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases} \mbox{ con } s,t \in \mathbb{R}

 

dove (l_1, m_1, n_1) e (l_2, m_2, n_2) sono rispettivamente le terne di componenti di \mathbf{v} e di \mathbf{w}.

 

 

Esempio (Equazioni parametriche di un piano per tre punti)

 

Scrivere le equazioni parametriche del piano che contiene i punti

 

P_0(1,1,1), \ P_1(1,0,-2) \mbox{ e } P_2(0,3,-3)

 

Svolgimento: i tre punti non sono allineati, dunque due vettori di giacitura del piano sono

 

\\ \mathbf{v}=\overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0=\\ \\ =(1,0,-2)-(1,1,1) = (0,-1,-3) = (l_1,m_1,n_1)\\ \\ \mathbf{w}=\overrightarrow{P_0P_2}=P_2-P_0=\\ \\ =(0,3,-3)-(1,1,1) = (-1,2,-4)=(l_2,m_2,n_2)

 

Abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere le equazioni parametriche del piano

 

\begin{cases}x=x_0+sl_1+tl_2 \\ y=y_0+sm_1+tm_2 \\ z=z_0+sn_1+tn_2\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x=1-t \\ y=1-s+2t \\ z=1-3s-4t\end{cases}

 

 


 

Per adeguarci alla maggior parte dei libri di testo abbiamo introdotto le equazioni parametriche del piano in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, ma come avrete notato tali equazioni non dipendono dall'ortonormalità della base, quindi le stesse considerazioni valgono in generale in un sistema di riferimento affine.

 

Qui abbiamo finito. Nelle prossime lezioni vedremo dapprima come si definisce l'equazione cartesiana di un piano, per poi mostrare:

 

- come si passa dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano;

 

- viceversa, come ricavare le equazioni parametriche da quella cartesiana del piano.

 

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Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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