Direzione di una retta nello spazio

La direzione di una retta dello spazio è la direzione di un qualsiasi vettore parallelo alla retta. Essa viene individuata da infiniti vettori che differiscono tra loro per un fattore di proporzionalità non nullo, ciascuno dei quali prende il nome di vettore direttore della retta.

 

La lezione che state per leggere è dedicata ai coefficienti direttori di una retta, detti anche parametri direttori, e definiti come le componenti di un qualsiasi vettore parallelo alla retta rispetto alla base che definisce il sistema di riferimento in cui si lavora.

 

Vedremo in particolare come determinare la direzione di una retta a partire dalle equazioni parametriche, da quelle cartesiane e, più in generale, dalle coordinate cartesiane di due punti della retta.

 

Cos'è la direzione di una retta?

 

Nello spazio tridimensionale, dove si suppongono validi i postulati della Geometria Euclidea, una retta r è univocamente determinata considerando un punto di passaggio P_0 \in r e un vettore \mathbf{v}\neq \mathbf{0} parallelo a r.

 

Il vettore \mathbf{v} individua la direzione della retta r e prende il nome di vettore direttore della retta (o vettore direzione della retta).

 

Le componenti di \mathbf{v} rispetto alla base del sistema di riferimento affine o ortonormale considerato

 

\mathbf{v}=(l,m,n)

 

prendono il nome di parametri direttori (o coefficienti direttori) della retta.

 

La direzione di una determinata retta può essere individuata mediante infiniti vettori direttori, ognuno dei quali differisce dagli altri per un fattore di proporzionalità non nullo. In altri termini, se \mathbf{v}\neq\mathbf{0} è un vettore direzione di r, allora ogni

 

\lambda\mathbf{v}\ \ \mbox{ con } \lambda \in \mathbb{R}-\{0\}

 

individua ancora la direzione di r.

 

A tal proposito basta osservare che \mathbf{v} e \lambda \mathbf{v} sono linearmente dipendenti, e quindi paralleli, per cui individuano la stessa direzione.

 

Direzione di una retta in forma vettoriale o in forma parametrica

 

Se disponiamo delle equazioni parametriche di una retta r, possiamo ricavarne la direzione in men che non si dica.

 

Una retta in forma vettoriale parametrica è descritta da un'equazione del tipo

 

r:\ \overrightarrow{PP_0}=t\mathbf{v}\ \ \mbox{ con } t\in \mathbb{R}

 

dove P_0 è un punto della retta e \mathbf{v}\neq \mathbf{0} è un vettore parallelo a r. La direzione della retta è evidentemente individuata dal vettore \mathbf{v}, per cui disponiamo da subito di un vettore direttore della retta.

 

Le equazioni parametriche scalari della retta si presentano nella forma

 

r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

 

In tal caso la direzione di r è individuata dal vettore direzione \mathbf{v}=(l,m,n).

 

 

Esempio sulla direzione di una retta in forma parametrica

 

La direzione della retta

 

r:\ \begin{cases}x=1-3t \\ y=-\frac{1}{2}t \\ z=-4\end{cases}

 

è data dal vettore \mathbf{v}=\left(-3,-\frac{1}{2},0\right).

 

Direzione di una retta in forma cartesiana

 

Il caso più interessante si presenta quando bisogna determinare la direzione dalle equazioni cartesiane della retta

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Il sistema, come già sappiamo, è costituito dalle equazioni cartesiane di due piani 

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \pi':\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

la cui intersezione corrisponde alla retta r. Affinché ciò accada è necessario che i due piani non siano paralleli, ossia che la matrice incompleta associata al sistema abbia rango massimo.

 

In tal caso potremmo passare dalle equazioni cartesiane alle parametriche della retta, e quindi ricavare un vettore direzione come in precedenza.

 

In alternativa si può optare per un altro metodo, che può essere usato a patto di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale. In un siffatto sistema di riferimento i parametri direttori dei piani \pi, \pi' individuano le direzioni ortogonali ai rispettivi piani, ossia

 

\\ \mathbf{n}=(a,b,c) \to \mbox{ direzione ortogonale al piano } \pi \\ \\ \mathbf{n}'=(a',b',c') \to \mbox{ direzione ortogonale al piano } \pi'

 

La retta r è generata dall'intersezione tra \pi e \pi', dunque la direzione di r è ortogonale a entrambi i vettori \mathbf{n}, \mathbf{n}'.

 

Ricordando che il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale ai due fattori, possiamo calcolare un vettore direttore \mathbf{v}_r della retta r con la formula

 

\mathbf{v}_r=\mathbf{n} \times \mathbf{n}'

 

Più esplicitamente, in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale la direzione di una retta in forma cartesiana è data dal prodotto vettoriale tra i vettori direttori dei due piani che la definiscono. Da notare che la condizione di rango massimo della matrice incompleta garantisce che il vettore \mathbf{v}_{r} sia non nullo, in quanto \mathbf{n}, \mathbf{n}' non sono paralleli.

 

 

Esempio sulla direzione di una retta in forma cartesiana

 

In un sistema di riferimento ortonormale RC(O, \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) calcolare la direzione della retta definita da

 

r: \begin{cases}x-z=0 \\ 3x+y+2z=0\end{cases}

 

Svolgimento: i vettori che esprimono le direzioni ortogonali ai piani sono rispettivamente

 

\\ \mathbf{n}=\mathbf{i}-\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{n}'=3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}

 

Calcoliamo i coefficienti direttori della retta come prodotto vettoriale tra i vettori direttori dei due piani

 

\mathbf{v}_r=\mathbf{n} \times \mathbf{n}'=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1&0&-1 \\ 3&1&2\end{pmatrix}

 

Per il calcolo del determinante usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colonna

 

\\ \mathbf{v}_r=\mathbf{n} \times \mathbf{n}'=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1&0&-1 \\ 3&1&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = -\mathbf{j} \mbox{ det}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3&2\end{pmatrix} -1 \mbox{ det}\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{k} \\ 1&-1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = -\mathbf{j} (2+3)-1(-\mathbf{i}-\mathbf{k}) = \\ \\ = \mathbf{i}-5\mathbf{j}+\mathbf{k}

 

dunque

 

\mathbf{v}_r=(1,-5,1)

 

Direzione di una retta per due punti

 

Se sono note le coordinate cartesiane di due punti di una retta r

 

P_0(x_0,y_0,z_0), \ P_1(x_1,y_1,z_1)

 

Possiamo calcolare i parametri direttori di r come differenza tra i due punti

 

\mathbf{v}_r=\overrightarrow{P_0P_1} = P_1-P_0 = (x_1-x_0, \ y_1-y_0, \ z_1-z_0)

 

o, indifferentemente

 

\mathbf{v}_r=\overrightarrow{P_1P_0} = P_0-P_1 = (x_0-x_1, \ y_0-y_1, \ z_0-z_1)

 

Sappiamo infatti che l'ordine con cui si considerano i due punti altera l'orientazione della retta, ma non la sua direzione.

 

 

Esempio sulla direzione di una retta passante per due punti

 

La direzione della retta r passante per i punti

 

P_0(1,2,-1), \ P_1(2,-1,3)

 

è

 

\mathbf{v}_r=\overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0 = \\ \\ = (2-1, \ -1-2, \ 3-(-1)) = (1,-3,4)

 

 


 

Questo conclude quanto c'è da sapere sulla direzione di una retta dello spazio. Nelle prossime lezioni studieremo dapprima le posizioni reciproche tra due rette dello spazio, per poi definire il concetto di angolo tra rette nello spazio e spiegare come si calcola.

 

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Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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