Equazioni cartesiane della retta nello spazio

Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio sono una coppia di equazioni che individuano la retta come intersezione di due piani non paralleli. Le due equazioni descrivono la retta mediante un sistema lineare, e ciascuna di esse rappresenta un piano in forma cartesiana.

Quando abbiamo studiato il parallelismo tra piani abbiamo visto che due piani non paralleli (né distinti né coincidenti) si intersecano in una retta, e che il sistema formato dalle equazioni cartesiane dei due piani descrive una retta in forma cartesiana. Successivamente abbiamo trattato nel dettaglio le equazioni parametriche della retta, vedendo cosa sono e come si ricavano.

È giunto il momento di affrontare le equazioni cartesiane della retta nello spazio: in questa lezione ne daremo la formulazione generale, vedremo come si determinano e correderemo la spiegazione con alcuni esempi svolti.

Equazioni cartesiane di una retta

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano affine o ortonormale e siano

π: ax+by+cz+d = 0 ; π': a'x+b'y+c'z+d'= 0

le equazioni cartesiane di due piani non paralleli, né distinti né coincidenti. In altri termini, supponiamo che siano piano incidenti.

Dalla teoria già affrontata sappiamo che tale condizione ha una precisa corrispondenza algebrica: il rango della matrice che ha per righe i coefficienti delle incognite delle due equazioni deve essere pari a 2.

In questa ipotesi i piani si intersecano e la loro intersezione corrisponde a una retta . Le coordinate di tutti e soli i punti di sono le soluzioni del sistema lineare

ax+by+cz+d = 0 ; a'x+b'y+c'z+d'= 0

Si dice quindi che un sistema siffatto descrive una retta mediante equazioni cartesiane.

Esempi sulla rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio

1) Il sistema

2x+4y−5 = 0 ; 3y−2z+6 = 0

descrive una retta nello spazio, infatti la matrice incompleta associata al sistema

ha rango 2, e quindi i piani che definiscono la retta non sono paralleli.

2) Il sistema

x+y+z+1 = 0 ;−3x−3y−3z+5 = 0

non rappresenta una retta in quanto i piani

x+y+z+1 = 0 ;−3x−3y−3z+5 = 0

sono paralleli distinti. Per capirlo basta osservare che il rango della matrice incompleta è 1, mentre quello della matrice completa è 2.

Come determinare le equazioni cartesiane di una retta

Per individuare una retta nello spazio sono sufficienti due punti distinti oppure, equivalentemente, un punto di passaggio e un vettore parallelo a , che ne definisce la direzione.

Sottolineiamo che le due situazioni sono equivalenti perché, come ben saprete, due punti distinti appartenenti a una retta ne individuano automaticamente la direzione

e possiamo considerare come punto di passaggio, indifferentemente, oppure .

Fissato un sistema di riferimento cartesiano , supponiamo di voler calcolare le equazioni cartesiane di una retta conoscendo le coordinate di un punto di passaggio

e la direzione della retta individuata da un vettore dato:

Sono date le seguenti possibilità.

Caso 1) Le componenti del vettore direzione sono tutte non nulle.

Se le componenti del vettore sono tutte e tre non nulle

allora possiamo scrivere le equazioni cartesiane della retta per mezzo della formula

Attenzione perché, pur sembrando un'unica equazione, quella appena scritta è una forma compatta per indicarne due:

r: (x−x_0)/(l) = (y−y_0)/(m) ; (y−y_0)/(m) = (z−z_0)/(n)

Caso 2) Una componente del vettore direzione è nulla.

Se una sola tra le componenti del vettore è nulla, sono dati tre possibili sotto-casi:

2a) nel caso in cui

le equazioni cartesiane della retta sono

r: x = x_0 ; (y−y_0)/(m) = (z−z_0)/(n)

2b) Se invece

allora

r: y = y_0 ; (x−x_0)/(l) = (z−z_0)/(n)

2c) Infine, se

allora

r: z = z_0 ; (x−x_0)/(l) = (y−y_0)/(m)

Caso 3) Due delle tre componenti del vettore direzione sono nulle.

In ultima analisi, se due delle componenti di sono nulle, si distinguono i seguenti sottocasi:

3a) se

le equazioni cartesiane di sono

r: x = x_0 ; y = y_0

3b) Se

la rappresentazione cartesiana di è

r: x = x_0 ; z = z_0

3c) Se

allora

r: y = y_0 ; z = z_0

Esempi: come ricavare le equazioni cartesiane di una retta nello spazio

Concludiamo con una serie di esempi e mostriamo come scrivere le equazioni cartesiane di una retta nello spazio in alcuni dei casi precedentemente elencati.

Esempio 1

Scrivere le equazioni cartesiane della retta passante per il punto e parallela al vettore

Svolgimento: le componenti del vettore rispetto alla base sono

Essendo tutte e tre non nulle, la rappresentazione cartesiana di è data da

r: (x−x_0)/(l) = (y−y_0)/(m) ; (y−y_0)/(m) = (z−z_0)/(n)

ossia

r: (x−2)/(2) = (y−(−2))/(4) ; (y−(−2))/(4) = (z−1)/(2)

Potremmo ritenere l'esercizio concluso, ma per portarlo a termine nel migliore dei modi premuriamoci di scrivere le due equazioni in forma implicita. In ciascuna delle due equazioni spostiamo tutto a primo membro e facciamo le dovute semplificazioni, così da ricondurci alle equazioni cartesiane di due piani

(x−2)/(2)−(y+2)/(4) = 0 ; (y+2)/(4)−(z−1)/(2) = 0 ; (2x−4−y−2)/(4) = 0 ; (y+2−2z+2)/(4) = 0 ; 2x−y−6 = 0 ; y−2z+4 = 0

Esempio 2

Determinare le equazioni cartesiane della retta passante per il punto e parallela al vettore

Svolgimento: le componenti di rispetto alla base costituiscono la tripla

la cui terza entrata è nulla, dunque le equazioni cartesiane della retta sono

r: z = z_0 ; (x−x_0)/(l) = (y−y_0)/(m) → z = 1 ; (x−3)/(1) = (y−1)/(1)

che, con le dovute semplificazioni, possiamo riscrivere come

r: z−1 = 0 ; x−y−2 = 0

Esempio 3

Ricavare le equazioni cartesiane della retta passante per i punti .

Svolgimento: uno degli infiniti vettori paralleli alla retta è

v = overrightarrowP_0P_1 = P_1−P_0 = (2−2, 2−1, 4−4) = (0,1,0)

e ha due componenti nulle , dunque le equazioni cartesiane della retta sono

r: x = x_0 ; z = z_0 → x = 2 ; z = 4

ossia

r: x−2 = 0 ; z−4 = 0

Non perdetevi le prossime lezioni! :) Nella successiva vedremo come passare dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane della retta e, viceversa, dalla forma cartesiana di una retta alla forma parametrica.

Nel frattempo potete cercare le risposte ai vostri dubbi mediante la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante spiegazioni fornite dallo Staff su richiesta degli utenti, a partire dalla scheda correlata di esercizi svolti. ;)

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023