Equazioni cartesiane della retta nello spazio

Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio sono una coppia di equazioni che individuano la retta come intersezione di due piani non paralleli. Le due equazioni descrivono la retta mediante un sistema lineare, e ciascuna di esse rappresenta un piano in forma cartesiana.

 

Quando abbiamo studiato il parallelismo tra piani abbiamo visto che due piani non paralleli (né distinti né coincidenti) si intersecano in una retta, e che il sistema formato dalle equazioni cartesiane dei due piani descrive una retta in forma cartesiana. Successivamente abbiamo trattato nel dettaglio le equazioni parametriche della retta, vedendo cosa sono e come si ricavano.

 

È giunto il momento di affrontare le equazioni cartesiane della retta nello spazio: in questa lezione ne daremo la formulazione generale, vedremo come si determinano e correderemo la spiegazione con alcuni esempi svolti.

 

Equazioni cartesiane di una retta

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano affine o ortonormale e siano

 

\\ \pi:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \pi':\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

le equazioni cartesiane di due piani non paralleli, né distinti né coincidenti. In altri termini, supponiamo che \pi, \pi' siano piano incidenti.

 

Dalla teoria già affrontata sappiamo che tale condizione ha una precisa corrispondenza algebrica: il rango della matrice che ha per righe i coefficienti delle incognite delle due equazioni deve essere pari a 2.

 

In questa ipotesi i piani \pi, \pi' si intersecano e la loro intersezione corrisponde a una retta r. Le coordinate (x,y,z) di tutti e soli i punti di r sono le soluzioni del sistema lineare

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Si dice quindi che un sistema siffatto descrive una retta mediante equazioni cartesiane.

 

 

Esempi sulla rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio

 

1) Il sistema

 

\begin{cases}2x+4y-5=0 \\ 3y-2z+6=0\end{cases}

 

descrive una retta nello spazio, infatti la matrice incompleta associata al sistema

 

\begin{pmatrix}2&4&0 \\ 0&3&-2\end{pmatrix}

 

ha rango 2, e quindi i piani che definiscono la retta non sono paralleli.

 

 

2) Il sistema

 

\begin{cases}x+y+z+1=0 \\ -3x-3y-3z+5=0\end{cases}

 

non rappresenta una retta in quanto i piani

 

\\ x+y+z+1=0 \\ \\ -3x-3y-3z+5=0

 

sono paralleli distinti. Per capirlo basta osservare che il rango della matrice incompleta è 1, mentre quello della matrice completa è 2.

 

 

Come determinare le equazioni cartesiane di una retta

 

Per individuare una retta r nello spazio sono sufficienti due punti distinti P_0, P_1 \in r oppure, equivalentemente, un punto di passaggio e un vettore \mathbf{v} \neq \mathbf{0} parallelo a r, che ne definisce la direzione.

 

Sottolineiamo che le due situazioni sono equivalenti perché, come ben saprete, due punti distinti P_0, P_1 appartenenti a una retta ne individuano automaticamente la direzione

 

\overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0

 

e possiamo considerare come punto di passaggio, indifferentemente, P_0 oppure P_1.

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}), supponiamo di voler calcolare le equazioni cartesiane di una retta r conoscendo le coordinate di un punto di passaggio

 

P_0(x_0,y_0,z_0)

 

e la direzione della retta individuata da un vettore dato:

 

\mathbf{v}=l\mathbf{i}+m\mathbf{j}+n\mathbf{k}

 

Sono date le seguenti possibilità.

 

 

Caso 1) Le componenti del vettore direzione sono tutte non nulle.

 

Se le componenti (l,m,n) del vettore \mathbf{v} sono tutte e tre non nulle

 

l \neq 0,\ \ m\neq 0,\ \ n\neq 0

 

allora possiamo scrivere le equazioni cartesiane della retta r per mezzo della formula

 

\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}

 

Attenzione perché, pur sembrando un'unica equazione, quella appena scritta è una forma compatta per indicarne due:

 

r:\ \begin{cases}\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m} \\ \\ \dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\end{cases}

 

 

Caso 2) Una componente del vettore direzione è nulla.

 

Se una sola tra le componenti del vettore \mathbf{v} è nulla, sono dati tre possibili sotto-casi:

 

2a) nel caso in cui

 

l=0,\ m \neq 0,\ n \neq 0

 

le equazioni cartesiane della retta sono

 

r:\ \begin{cases}x=x_0 \\ \\ \dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\end{cases}

 

2b) Se invece

 

l \neq 0,\ m=0,\ n \neq 0

 

allora

 

r:\ \begin{cases}y=y_0 \\ \\ \dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{z-z_0}{n}\end{cases}

 

2c) Infine, se

 

l\neq 0,\ m \neq 0, \ n=0

 

allora

 

r:\ \begin{cases}z=z_0 \\ \\ \dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}\end{cases}

 

 

Caso 3) Due delle tre componenti del vettore direzione sono nulle.

 

In ultima analisi, se due delle componenti di \mathbf{v} sono nulle, si distinguono i seguenti sottocasi:

 

3a) se

 

l=m=0, \ n\neq 0

 

le equazioni cartesiane di r sono

 

r:\ \begin{cases}x=x_0 \\ y=y_0\end{cases}

 

3b) Se

 

l=n=0, \ m\neq 0

 

la rappresentazione cartesiana di r è

 

r:\ \begin{cases}x=x_0 \\ z=z_0\end{cases}

 

3c) Se

 

m=n=0, \ l \neq 0

 

allora

 

r: \begin{cases}y=y_0 \\ z=z_0\end{cases}

 

Esempi: come ricavare le equazioni cartesiane di una retta nello spazio

 

Concludiamo con una serie di esempi e mostriamo come scrivere le equazioni cartesiane di una retta nello spazio in alcuni dei casi precedentemente elencati.

 

 

Esempio 1

 

Scrivere le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P_0(2,-2,1) e parallela al vettore

 

\mathbf{v}=2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+2\mathbf{k}

 

Svolgimento: le componenti del vettore \mathbf{v} rispetto alla base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\} sono

 

(l,m,n)=(2,4,2)

 

Essendo tutte e tre non nulle, la rappresentazione cartesiana di r è data da

 

r:\ \begin{cases}\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}\\ \\ \dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\end{cases}

 

ossia

 

r:\ \begin{cases}\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-(-2)}{4} \\ \\ \dfrac{y-(-2)}{4}=\dfrac{z-1}{2}\end{cases}

 

Potremmo ritenere l'esercizio concluso, ma per portarlo a termine nel migliore dei modi premuriamoci di scrivere le due equazioni in forma implicita. In ciascuna delle due equazioni spostiamo tutto a primo membro e facciamo le dovute semplificazioni, così da ricondurci alle equazioni cartesiane di due piani

 

\\ \begin{cases}\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{y+2}{4}=0 \\ \\ \dfrac{y+2}{4}-\dfrac{z-1}{2}=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}\dfrac{2x-4-y-2}{4}=0 \\ \\ \dfrac{y+2-2z+2}{4}=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}2x-y-6=0 \\ y-2z+4=0\end{cases}

 

 

Esempio 2

 

Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P_0(3,1,1) e parallela al vettore

 

\mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}

 

Svolgimento: le componenti di \mathbf{v} rispetto alla base \left\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\right\} costituiscono la tripla

 

(l,m,n)=(1,1,0)

 

la cui terza entrata è nulla, dunque le equazioni cartesiane della retta r sono

 

r:\ \begin{cases}z=z_0 \\ \\ \dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}\end{cases} \to \ \begin{cases}z=1 \\ \\ \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}\end{cases}

 

che, con le dovute semplificazioni, possiamo riscrivere come

 

r:\ \begin{cases}z-1=0 \\ x-y-2=0\end{cases}

 

 

Esempio 3

 

Ricavare le equazioni cartesiane della retta r passante per i punti P_0(2,2,4), \ P_1(2,1,4).

 

Svolgimento: uno degli infiniti vettori paralleli alla retta r è

 

\mathbf{v}=\overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0=\\ \\ =(2-2, \ 2-1, \ 4-4) = (0,1,0)

 

e ha due componenti nulle (l=n=0), dunque le equazioni cartesiane della retta r sono

 

r:\ \begin{cases}x=x_0 \\ z=z_0\end{cases} \to \ \begin{cases}x=2 \\ z=4\end{cases}

 

ossia

 

r:\ \begin{cases}x-2=0 \\ z-4=0\end{cases}

 

 


 

Non perdetevi le prossime lezioni! :) Nella successiva vedremo come passare dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane della retta e, viceversa, dalla forma cartesiana di una retta alla forma parametrica.

 

Nel frattempo potete cercare le risposte ai vostri dubbi mediante la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante spiegazioni fornite dallo Staff su richiesta degli utenti, a partire dalla scheda correlata di esercizi svolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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