Ellissoide

In Geometria prende il nome di ellissoide un particolare tipo di quadrica, che corrisponde all'analogo tridimensionale dell'ellisse. Un ellissoide è una superficie chiusa del secondo ordine, con tre assi di simmetria e con un centro di simmetria detti, rispettivamente, assi e centro dell'ellissoide.

 

Quella che state per leggere è un'intera lezione dedicata all'ellissoide. Nella prima parte vedremo quali condizioni deve soddisfare l'equazione di una quadrica affinché descriva un ellissoide, per poi concentrarci sull'equazione dell'ellissoide in forma canonica e ricavare da essa le misure degli assi e le coordinate dei vertici.

 

Concluderemo infine con la classificazione degli ellissoidi in base alla misura dei semiassi, distinguendo tra ellissoide scaleno, sferoide prolato, sferoide oblato e sfera.

 

Quando una quadrica è un ellissoide

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ), consideriamo la generica equazione di una quadrica

 

\\ \mathrm{Q}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+\\ \\ +2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

 

e le corrispondenti matrici associate a \mathrm{Q}

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{44}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

La quadrica \mathrm{Q} è un ellissoide se vengono soddisfatte le seguenti condizioni:

 

(a) il rango di A è 4

 

(b) il rango di A_{44} è 3

 

(c) gli autovalori di A_{44} sono concordi, cioè hanno tutti lo stesso segno

 

\mbox{rk}(A)=4\ ,\ \mbox{rk}(A_{44})=3\\ \\ \mbox{autovalori di }A_{44}\mbox{ concordi}

 

In particolare:

 

(d1) se il determinante di A è positivo, \mathrm{Q} è un ellissoide immaginario

 

(d2) se il determinante di A è negativo, \mathrm{Q} è un ellissoide reale

 

 

Ellissoide reale

Ellissoide reale

 

 

Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla lezione sulla classificazione delle quadriche.

 

 

Esempio: verificare che una quadrica è un ellissoide

 

Verificare che la quadrica di equazione

 

\mathrm{Q}:\ 3x^2+2y^2+3z^2+2xz-4=0

 

è un ellissoide reale.

 

Svolgimento: scriviamo le due matrici associate alla quadrica

 

\\ A=\begin{pmatrix}3&0&1&0 \\ 0&2&0&0 \\ 1&0&3&0 \\ 0&0&0&-4\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{44}=\begin{pmatrix}3&0&1 \\ 0&2&0 \\ 1&0&3 \end{pmatrix}

 

e calcoliamo il determinante di A sviluppando la regola di Laplace rispetto alla quarta riga, così da poter facilmente ricavare anche il valore del determinante di A_{44}.

 

\\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}3&0&1&0 \\ 0&2&0&0 \\ 1&0&3&0 \\ 0&0&0&-4\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = -4 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}3&0&1 \\ 0&2&0 \\ 1&0&3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = -4 \cdot 2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}3&1 \\ 1&3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = -4 \cdot 2 \cdot (9-1) = -64

 

Il determinante di A e quello di A_{44} sono non nulli, dunque le due matrici hanno rango massimo e le condizioni (a) e (b) sono soddisfatte.

 

Calcoliamo i segni degli autovalori della matrice A_{44}. Il suo polinomio caratteristico è

 

\\ p(\lambda) = \mbox{det}(A_{44}-\lambda\mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}3-\lambda&0&1 \\ 0&2-\lambda&0 \\ 1&0&3-\lambda\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (2-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = \\ \\ = (2-\lambda)[(3-\lambda)^2-1] = \\ \\ = (2-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+8) = \\ \\ = -\lambda^3+8\lambda^2-20\lambda+16

 

p(\lambda) è un polinomio completo di grado 3, e tra un coefficiente e il successivo vi sono in totale 3 variazioni di segno. Per la regola di Cartesio le tre radici del polinomio sono positive, e quindi gli autovalori di A_{44} hanno tutti lo stesso segno.

 

Ciò permette di concludere che \mathrm{Q} è un ellissoide; inoltre, essendo il determinante di A negativo, \mathrm{Q} è un ellissoide reale.

 

Ellissoide in forma canonica

 

Il prosieguo della lezione è dedicata esclusivamente all'ellissoide reale. Per brevità, da qui in poi, ci riferiremo ad esso chiamandolo semplicemente ellissoide.

 

L'equazione canonica dell'ellissoide si presenta nella forma

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

 

dove a,b,c sono numeri reali positivi.

 

Un ellissoide in forma canonica è simmetrico rispetto agli assi coordinati, rispetto ai piani coordinati e rispetto all'origine, per cui corrispondono rispettivamente agli assi principali, ai piani principali e al centro dell'ellissoide.

 

 

Ellissoide in forma canonica

Rappresentazione di un ellissoide in forma canonica

 

 

I punti A,A',B,B',C,C' di intersezione tra gli assi principali e l'ellissoide prendono il nome di vertici dell'ellissoide, e hanno coordinate date da

 

\\ A(a,0,0), \ A'(-a,0,0) \\ \\ B(0,b,0), \ B'(0,-b,0) \\ \\ C(0,0,c), \ C'(0,0,-c)

 

 

I segmenti

 

\\ \overline{OA}=\overline{OA'}=a \\ \\ \overline{OB}=\overline{OB'}=b \\ \\ \overline{OC}=\overline{OC'}=c

 

si dicono semiassi dell'ellissoide, mentre i segmenti

 

\\ \overline{AA'}=2a \\ \\ \overline{BB'}=2b \\ \\ \overline{CC'}=2c

 

prendono il nome di assi dell'ellissoide.

 

Infine, intersecando l'ellissoide con i piani principali x=0,\ y=0,\ z=0 si ottengono le ellissi principali, di equazioni

 

\begin{cases}x=0 \\ \\ \dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}-1=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}y=0 \\ \\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}-1=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}z=0 \\ \\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0\end{cases}

 

 

Esempio sullo studio di un'ellissoide in forma canonica

 

Determinare la misura degli assi, le coordinate dei vertici e le equazioni delle ellissi principali dell'ellissoide

 

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{9}-1=0

 

Svolgimento: essendo l'equazione della forma

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

 

con a=5, \ b=4, \ c=3

 

ne ricaviamo facilmente le coordinate dei vertici

 

\\ A(a,0,0)=(5,0,0), \ \ \ A'(-a,0,0)=(-5,0,0) \\ \\ B(0,b,0)=(0,4,0), \ \ \ B'(0,-b,0)=(0,-4,0) \\ \\ C(0,0,c)=(0,0,3), \ \ \ C'(0,0,-c)=(0,0,-3)

 

Le misure degli assi dell'ellissoide sono date da

 

\\ \overline{AA'}=d(A,A')=10 \\ \\ \overline{BB'}=d(B,B')=8 \\ \\ \overline{CC'}=d(C,C')=6

 

Da ultimo scriviamo le equazioni delle ellissi principali intersecando, rispettivamente, l'ellissoide con i piani principali di equazioni x=0, \ y=0, z=0.

 

\begin{cases}x=0\\ \\ \dfrac{y^2}{16}+\dfrac{z^2}{9}-1=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}y=0\\ \\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{z^2}{9}-1=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}z=0\\ \\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}-1=0\end{cases}

 

Classificazione degli ellissoidi

 

Dato un ellissoide in forma canonica

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

 

supponiamo che sia a\ge b \ge c > 0.

 

Tale ipotesi permette di classificare gli ellissoidi al variare delle misure dei semiassi a, b, c, distinguendoli tra ellissoidi scaleni, sferoidi oblati, sferoidi prolati e sfere.

 

 

1) Ellissoide scaleno

 

Se i tre semiassi hanno misure diverse l'ellissoide si dice scaleno.

 

a>b>c>0

 

 

Ellissoide scaleno

Ellissoide scaleno

 

 

2) Sferoide

 

Se due dei tre semiassi hanno la stessa misura, l'ellissoide viene detto sferoide e possiamo effettuare un'ulteriore sotto-classificazione.

 

 

2.1) Sferoide oblato

 

a=b>c

 

 

Sferoide oblato

Sferoide oblato

 

 

2.2) Sferoide prolato

 

a>b=c

 

 

Sferoide prolato

Sferoide prolato

 

 

3) Sfera

 

Se i tre semiassi hanno la stessa misura allora l'ellissoide diviene una sfera.

 

a=b=c>0

 

 

Sfera

Sfera

 

Volume di un ellissoide

 

Il volume di un ellissoide di equazione

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

 

si ottiene moltiplicando per \frac{4}{3}\pi le misure dei tre semiassi, ossia

 

\mbox{Volume ellissoide} = \frac{4}{3}\pi a b c

 

Equazioni parametriche dell'ellissoide

 

Sebbene capiti davvero di rado che vengano introdotte in un corso base di Algebra Lineare, concludiamo questa lezione con le equazioni parametriche dell'ellissoide in forma canonica

 

\begin{cases}x=a \cos(\theta)\sin(\varphi) \\ y=b\sin(\theta)\sin(\varphi) \\ z=c\cos(\varphi)\end{cases}

 

dove a,b,c indicano le misure dei semiassi dell'ellissoide, \theta \in [0, 2\pi] e \varphi \in [0, \pi].

 

 


 

Nelle successive lezioni proseguiamo lo studio delle quadriche generali concentrandoci dapprima sull'iperboloide, per poi passare al paraboloide. Non perdetevele! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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