Quadriche

Una quadrica è una qualsiasi superficie algebrica del secondo ordine, individuata da un'equazione polinomiale di secondo grado in tre o in quattro incognite a seconda che sia descritta, rispettivamente, in coordinate non omogenee o in coordinate omogenee.

 

Dopo esserci occupati della teoria delle coniche possiamo passare alle quadriche, l'ultimo argomento del corso di Geometria dello spazio. In questa prima lezione vedremo cos'è una quadrica, come si definisce l'equazione di una quadrica in coordinate omogenee e in coordinate non omogenee, come si passa dall'una all'altra forma e come si costruiscono le matrici associate a una quadrica.

 

Nella successiva lezione impareremo a classificare le quadriche per poi studiarne le equazioni in forma canonica: ellissoide, paraboloide e iperboloide.

 

Equazioni di una quadrica in coordinate omogenee e in coordinate non omogenee

 

Ragioniamo nello spazio complessificato e ampliato con gli elementi impropri, ove sia stato fissato un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ).

 

Chiamiamo quadrica il luogo dei punti dello spazio, propri o impropri, reali o immaginari, le cui coordinate omogenee soddisfano un'equazione del tipo

 

\\ \mathrm{Q}:\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + \\ \\ + 2a_{14}x_1x_4 + 2a_{24}x_2x_4 + 2a_{34}x_3x_4 + a_{44}x_4^2=0\ \ \ (*)

 

dove per ogni i,j \in \{1,2,3,4\} i coefficienti a_{ij} sono numeri reali non tutti nulli.

 

L'equazione (*) è detta equazione della quadrica in coordinate omogenee.

 

Come nel caso dell'equazione di una conica, il coefficiente a_{ij} di ogni termine ha gli indici uguali agli indici delle incognite x_ix_j presenti nel medesimo termine.

 

Ponendo a_{ij}=a_{ji} per ogni i,j \in \{1,2,3,4\}, l'equazione in coordinate omogenee della quadrica \mathrm{Q} può essere scritta in forma compatta come

 

\mathrm{Q}:\ \sum_{i,j=1}^{4} a_{ij}x_ix_j=0

 

Laddove non sia necessario lavorare nello spazio ampliato possiamo servirci dell'equazione di una quadrica in coordinate non omogenee, detta anche equazione cartesiana di una quadrica

 

\\ \mathrm{Q}:\ a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + \\ \\ + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44}=0\ \ \ (**)

 

 

Esempi (equazioni di quadriche in coordinate omogenee e non omogenee)

 

\\ 2x_1^2 + 3x_2^2 - x_3^2 + 8x_1x_2 + 6_2x_3 +4 x_1x_4 - 2x_3x_4 + 5x_4^2=0 \\ \\ x_1^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_3 + 2x_2x_3 - x_1x_4 + 2x_2x_4 + 9x_4^2=0 \\ \\ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 -4 x_4^2=0

 

sono equazioni di quadriche in coordinate omogenee, mentre

 

\\ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz + 8yz + 2x - 6y + 5z + 1=0 \\ \\ 3x^2 + y^2 - xy + 4yz - 4y + 6z - 5=0 \\ \\ x^2+y^2+z^2-2x-4y+8z=0

 

sono equazioni di quadriche in coordinate non omogenee.

 

Dall'equazione di una quadrica in coordinate omogenee a quella in coordinate non omogenee

 

Passare dall'equazione in coordinate omogenee a quella in coordinate non omogenee di una quadrica è estremamente semplice.

 

La prima cosa da fare è dividere tutti i termini dell'equazione in coordinate omogenee per x_4^2

 

a_{11}\frac{x_1^2}{x_4^2} + a_{22}\frac{x_2^2}{x_4^2} + a_{33}\frac{x_3^2}{x_4^2} + 2a_{12}\frac{x_1 x_2}{x_4^2} + 2a_{13}\frac{x_1x_3}{x_4^2} + 2a_{23}\frac{x_2x_3}{x_4^2} + \\ \\ \\ + 2a_{14}\frac{x_1x_4}{x_4^2} + 2a_{24}\frac{x_2x_4}{x_4^2} + 2a_{34}\frac{x_3x_4}{x_4^2} + a_{44}\frac{x_4^2}{x_4^2}=0

 

per poi riscriverla nella forma

 

a_{11}\left(\frac{x_1}{x_4}\right)^2 + a_{22}\left(\frac{x_2}{x_4}\right)^2 + a_{33}\left(\frac{x_3}{x_4}\right)^2 + 2a_{12}\frac{x_1}{x_4}\frac{x_2}{x_4} + 2a_{13}\frac{x_1}{x_4}\frac{x_3}{x_4} + 2a_{23}\frac{x_2}{x_4}\frac{x_3}{x_4}+ \\ \\ \\ + 2a_{14}\frac{x_1}{x_4} + 2a_{24}\frac{x_2}{x_4} + 2a_{34}\frac{x_3}{x_4} + a_{44}=0

 

A questo punto è sufficiente porre

 

\frac{x_1}{x_4} = x \ \ , \ \ \frac{x_2}{x_4}=y \ \ , \ \ \frac{x_3}{x_4}=z

 

e procedere con le relative sostituzione nella precedente equazione. Così facendo si ottiene l'equazione della quadrica \mathrm{Q} in coordinate non omogenee

 

a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + \\ \\ + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44}=0

 

 

Esempio sul passaggio dalle coordinate omogenee alle non omogenee

 

Determinare l'equazione in coordinate non omogenee della seguente quadrica

 

\mathrm{Q}_1:\ 3x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + x_2x_3 - 7x_1x_4 + 6x_2x_4 - 3 x_4^2=0

 

Svolgimento: dividiamo tutti i termini per x_4^2

 

3\frac{x_1^2}{x_4^2} + \frac{x_3^2}{x_4^2} + 2\frac{x_1x_3}{x_4^2} + \frac{x_2x_3}{x_4^2} - 7\frac{x_1x_4}{x_4^2} + 6\frac{x_2x_4}{x_4^2} - 3 \frac{x_4^2}{x_4^2}=0

 

e riscriviamola nella forma

 

3\left( \frac{x_1}{x_4}\right)^2 + \left(\frac{x_3}{x_4}\right)^2 + 2\frac{x_1}{x_4}\frac{x_3}{x_4} + \frac{x_2}{x_4}\frac{x_3}{x_4} - 7\frac{x_1}{x_4} + 6\frac{x_2}{x_4} - 3=0

 

Poniamo quindi

 

\frac{x_1}{x_4} = x \ \ , \ \ \frac{x_2}{x_4}=y \ \ , \ \ \frac{x_3}{x_4}=z

 

cosicché, effettuando le relative sostituzioni nell'equazione precedente, otteniamo l'equazione cartesiana di \mathrm{Q}_1

 

3x^2 + z^2 + 2xz + yz - 7x + 6y - 3=0

 

Dall'equazione di una quadrica in coordinate non omogenee a quella in coordinate omogenee

 

Per riscrivere l'equazione di una quadrica \mathrm{Q} dalle coordinate non omogenee alle coordinate omogenee partiamo dall'equazione cartesiana

 

a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + \\ \\ + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44}=0

 

ed effettuiamo le sostituzioni

 

x=\frac{x_1}{x_4} \ \ , \ \ y=\frac{x_2}{x_4} \ \ , \ \ z=\frac{x_3}{x_4}

 

In questo modo otteniamo l'equazione

 

a_{11}\left(\frac{x_1}{x_4}\right)^2 + a_{22}\left(\frac{x_2}{x_4}\right)^2 + a_{33}\left(\frac{x_3}{x_4}\right)^2 + 2a_{12}\frac{x_1}{x_4}\frac{x_2}{x_4} + 2a_{13}\frac{x_1}{x_4}\frac{x_3}{x_4} + 2a_{23}\frac{x_2}{x_4}\frac{x_3}{x_4} + \\ \\ \\ + 2a_{14}\frac{x_1}{x_4} + 2a_{24}\frac{x_2}{x_4} + 2a_{34}\frac{x_3}{x_4} + a_{44}=0

 

Svolgendo i calcoli e moltiplicando ciascun termine per x_4^2 ricaviamo l'equazione in coordinate omogenee

 

a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + \\ \\ +2a_{14}x_1x_4 + 2a_{24}x_2x_4 + 2a_{34}x_3x_4 + a_{44}x_4^2=0

 

 

Esempio sul passaggio dalle coordinate non omogenee alle omogenee

 

Esprimere in coordinate omogenee l'equazione della quadrica

 

\mathrm{Q}_2:\ 3x^2 + y^2 - xy + 4yz - 4y + 6z - 5=0

 

Svolgimento: poniamo

 

x=\frac{x_1}{x_4} \ \ , \ \ y=\frac{x_2}{x_4} \ \ , \ \ z=\frac{x_3}{x_4}

 

e sostituiamo nell'equazione di \mathrm{C}_2

 

3\left(\frac{x_1}{x_4}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_4}\right)^2 - \frac{x_1}{x_4}\frac{x_2}{x_4} + 4\frac{x_2}{x_4}\frac{x_3}{x_4} - 4\frac{x_2}{x_4} + 6\frac{x_3}{x_4} - 5=0

 

Svolgiamo i calcoli

 

3\frac{x_1^2}{x_4^2} + \frac{x_2^2}{x_4^2} - \frac{x_1x_2}{x_4^2} + 4\frac{x_2x_3}{x_4^2} - 4\frac{x_2}{x_4} + 6\frac{x_3}{x_4} - 5=0

 

e infine moltiplichiamo ciascun termine per x_4^2, così da ricavare l'equazione in coordinate omogenee

 

3x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 + 4x_2x_3 - 4x_2x_4 + 6x_3x_4 - 5x_4^2=0

 

Matrici associate a una quadrica

 

Come avrete di certo notato, le quadriche nello spazio appaiono come una naturale estensione delle coniche nel piano, dunque molti dei ragionamenti e dei concetti introdotti a proposito delle coniche si estendono anche alle quadriche. Due di questi sono la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini quadratici associate a una quadrica.

 

A partire dall'equazione di una quadrica \mathrm{Q}, indipendentemente che sia espressa in coordinate omogenee

 

\\ \mathrm{Q}:\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + \\ \\ + 2a_{14}x_1x_4 + 2a_{24}x_2x_4 + 2a_{34}x_3x_4 + a_{44}x_4^2=0

 

o in coordinate non omogenee

 

\\ \mathrm{Q}:\ a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + \\ \\ + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44}=0

 

possiamo definire due matrici:

 

- la matrice dei coefficienti, detta anche matrice della quadrica. È la matrice simmetrica di ordine 4 data da

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix}

 

- la matrice dei termini quadratici, una sottomatrice di A ottenuta eliminandone la quarta riga e la quarta colonna, e per questo indicata con

 

A_{44}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

 

La costruzione delle matrici associate a una quadrica è pressoché identica alla costruzione delle matrici riferite a una conica, quindi non ci dilungheremo in particolar modo sull'argomento. Riteniamo comunque utile riportare le due tabelle che permettono di scrivere la matrice di una quadrica partendo dall'equazione, a seconda che essa sia espressa in coordinate omogenee o non omogenee.

 

I due schemi vanno completati a incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale così come sono, dimezzando tutti gli altri e ricordando che bisogna ottenere una matrice simmetrica

 

\begin{array}{c | c c c c c c c} & x_1 && x_2 && x_3 && x_4\\ \cline{1-8} x_1 & & \\ \\ x_2 & & \\ \\ x_3 & & \\ \\ x_4 & &\end{array}

 

(in coordinate omogenee)

 

 

\begin{array}{c | c c c c c c c} & x && y && z && 1 \\ \cline{1-8} x & & \\ \\ y & & \\ \\ z & & \\ \\ 1 & & \end{array}

 

(in coordinate non omogenee)

 

Esempio sulla costruzione delle matrici associate a una quadrica

 

Determinare le matrici associate alla quadrica \mathrm{Q}_3 di equazione

 

\mathrm{Q}_3:\ x^2+3y^2-5z^2+2xy-6yz+8x+10y-1=0

 

Svolgimento: la matrice dei coefficienti è una matrice simmetrica di ordine 4

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix}

 

tale che:

 

a_{11} è il coefficiente di x^2, dunque a_{11}=1

 

a_{22} è il coefficiente di y^2, ossia a_{22}=3

 

a_{33} è il coefficiente di z^2, pertanto a_{33}=-5

 

a_{44} è il termine noto, per cui a_{44}=-1

 

a_{12 } è la metà del coefficiente di xy, dunque a_{12}=1

 

a_{13} è la metà del coefficiente di xz, che è nullo

 

a_{14} è la metà del coefficiente di x, pertanto a_{14}=4

 

a_{23} è la metà del coefficiente di yz, ossia a_{23}=-3

 

a_{24} è la metà del coefficiente di y, quindi a_{24}=5

 

a_{34} è la metà del coefficiente di z, anch'esso nullo.

 

In definitiva

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&0&4 \\ 1&3&-3&5 \\ 0&-3&-5&0 \\ 4&5&0&-1\end{pmatrix}

 

La matrice dei termini quadratici si ottiene da A eliminandone la quarta riga e la quarta colonna

 

A_{44}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&3&-3 \\ 0&-3&-5\end{pmatrix}

 

 


 

Non perdetevi la prossima lezione: vedremo come classificare una quadrica mediante il calcolo del determinante, del rango e del segno degli autovalori delle matrici associate.

 

Per tutto il resto vi ricordiamo, come di consueto, che su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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