Metodo degli invarianti

Il metodo degli invarianti è un procedimento alternativo che permette di ridurre una conica non degenere alla forma canonica molto più velocemente rispetto al classico metodo del cambiamento di coordinate.

 

Nella precedente lezione abbiamo spiegato come ridurre una conica alla forma canonica mediante una duplice trasformazione del sistema di riferimento. Dagli esempi proposti abbiamo visto che si tratta di un procedimento abbastanza laborioso, che però ha il pregio di consentire il passaggio dal nuovo al vecchio sistema di coordinate.

 

Una strada alternativa e sicuramente molto più veloce per ridurre una conica alla forma canonica è data dal metodo degli invarianti. Badate bene, però, che questa tecnica fornisce direttamente l'equazione in forma canonica e non permette di tornare al sistema di coordinate iniziale.

 

Invarianti di una conica

 

Consideriamo l'equazione di una conica non degenere in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y)

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

e scriviamo le due matrici associate alla conica \mathrm{C}

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}

 

Gli invarianti della conica \mathrm{C} sono, per definizione, i seguenti scalari:

 

\\ I_3 := \mbox{det}(A) \\ \\ I_2:=\mbox{det}(A_{33}) \\ \\ I_1:=\mbox{tr}(A_{33})

 

dove \mbox{det}(A), \ \mbox{det}(A_{33}) sono i determinanti delle matrici associate alla conica, e \mbox{tr}(A_{33}) indica la traccia della matrice A_{33}.

 

In particolare:

 

I_3=\mbox{det}(A) si dice invariante cubico;

 

I_2=\mbox{det}(A_{33}) è detto invariante quadratico;

 

I_1=\mbox{tr}(A_{33}) si dice invariante lineare.

 

La terna

 

(I_3, I_2, I_1) = (\mbox{det}(A), \mbox{det}(A_{33}), \mbox{tr}(A_{33}))

 

prende il nome di terna di invarianti della conica \mathrm{C}.

 

Si può dimostrare che, moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica \mathrm{C} per un numero reale \rho non nullo, gli invarianti I_3, I_2, I_1 si tramutano in \rho^3 I_3, \rho^2 I_2, \rho I_1. Le terne di invarianti

 

(I_3, I_2, I_1)\ \ ;\ \ (\rho^3 I_3, \rho^2 I_2, \rho I_1)

 

di dicono terne equivalenti.

 

Teorema sull'equivalenza tra terne di invarianti

 

La riduzione di una conica alla forma canonica con il metodo degli invarianti si basa sul seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione.

 

Data una conica non degenere in un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y), di equazione

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

sia (I_3, I_2, I_1) la corrispondente terna di invarianti. Passando a un nuovo riferimento RC(O'x'y'), l'equazione di \mathrm{C} nel nuovo sistema di coordinate presenta una terna di invarianti (I_3', I_2', I_1') equivalente alla terna (I_3, I_2, I_1), ossia esiste un numero reale \rho\neq 0 tale che

 

(I_3',I_2',I_1')=(\rho^3 I_3, \rho^2 I_2, \rho I_1)

 

Riduzione di una conica alla forma canonica col metodo degli invarianti

 

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per spiegare dettagliatamente come si riduce una conica alla forma canonica col metodo degli invarianti.

 

Per fornire una spiegazione quanto più chiara possibile abbiamo deciso di distinguere due casi: quello in cui \mathrm{C} è una conica a centro (ellisse o iperbole) e quello in cui \mathrm{C} è una parabola.

 

Metodo degli invarianti per le coniche a centro (ellissi o iperboli)

 

Consideriamo l'equazione di una conica a centro in un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y)

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

e sia (I_3, I_2, I_1) la corrispondente terna di invarianti.

 

Nella precedente lezione abbiamo visto che in un opportuno riferimento RC(O',x',y') l'equazione in forma canonica di \mathrm{C} è del tipo

 

\mathrm{C}':\ \alpha x'^2+ \beta y'^2 - 1 = 0

 

con \alpha, \beta numeri reali non nulli. Vogliamo determinare i valori dei parametri \alpha, \beta usando solo gli invarianti della conica \mathrm{C}.

 

Le matrici associate a \mathrm{C}' sono

 

A'=\begin{pmatrix}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}'=\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}

 

e quindi la terna di invarianti riferita a \mathrm{C}' è

 

\\ (I_3',I_2',I_1') = \left(\mbox{det}(A'), \ \mbox{det}(A_{33}'), \ \mbox{tr}(A_{33}')\right) = \\ \\ = (-\alpha\beta, \ \alpha\beta, \ \alpha+\beta)

 

Per il teorema sull'equivalenza tra terne di invarianti segue che

 

(I_3, I_2, I_1)\ \ ;\ \ (-\alpha\beta, \ \alpha\beta, \ \alpha+\beta)

 

sono equivalenti, ossia esiste un numero reale \rho\neq 0 tale che

 

\begin{cases}-\alpha\beta=\rho^3 I_3 \\ \alpha\beta=\rho^2 I_2 \\ \alpha\beta=\rho I_1\end{cases}

 

Dalle prime due equazioni ricaviamo

 

\rho^3 I_3 = -\rho^2 I_2

 

Osserviamo ora che I_3\neq 0, infatti I_3 è il determinante della matrice A associata alla conica \mathrm{C}, che è non degenere, e quindi \mbox{det}(A) \neq 0.

 

Anche \rho \neq 0, per cui possiamo dividere entrambi i membri della precedente equazione per \rho^2 I_3

 

\rho=-\frac{I_2}{I_3}

 

Sostituendo tale valore nelle ultime due equazioni del sistema si ricava

 

\begin{cases} \alpha\beta=\dfrac{(I_2)^3}{(I_3)^2} \\ \\ \alpha+\beta=-\dfrac{I_1 I_2}{I_3}\end{cases}

 

Abbiamo così espresso la somma e il prodotto dei parametri incogniti in funzione degli invarianti della conica \mathrm{C}. Facendo riferimento alla vecchia regola della somma per prodotto tra monomi, possiamo ricavarne \alpha, \beta risolvendo l'equazione di secondo grado

 

t^2+\frac{I_1 I_2}{I_3} t + \frac{(I_2)^3}{(I_3)^2} = 0

 

 

Esempio sulla riduzione alla forma canonica di una conica a centro col metodo degli invarianti

 

Riprendiamo uno degli esempi della precedente lezione, in cui veniva assegnata l'equazione dell'ellisse

 

\mathrm{C}_1: 5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0

 

Abbiamo già provveduto a ridurre \mathrm{C}_1 alla forma canonica col metodo del cambiamento di coordinate; proviamo ora ad applicare il metodo degli invarianti.

 

Svolgimento: le matrici associate alla conica \mathrm{C}_1 sono

 

A=\begin{pmatrix}5&-3&8\sqrt{2} \\ -3&5&0 \\ 8\sqrt{2}&0&38\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}=\begin{pmatrix}5&-3 \\ -3&5 \end{pmatrix}

 

Gli invarianti di \mathrm{C}_1 sono quindi

 

\\ I_3 = \mbox{det}(A)=-32 \\ \\ I_2=\mbox{det}(A_{33})=16 \\ \\ I_1=\mbox{tr}(A_{33}) = 10

 

L'equazione canonica dell'ellisse \mathrm{C}_1 è della forma

 

\alpha x'^2 + \beta y'^2 - 1 = 0

 

dove, a meno dell'ordine, \alpha \mbox{ e } \beta sono le soluzioni dell'equazione

 

t^2+\frac{I_1 I_2}{I_3} t + \frac{(I_2)^3}{(I_3)^2} = 0

 

ossia

 

\\ t^2 + \frac{10 \cdot 16}{-32} t + \frac{16^3}{(-32)^2} = 0 \\ \\ \\ t^2 - 5t +4 = 0

 

le cui soluzioni sono

 

t_1=1 \ , \ t_2=4

 

Ponendo ad esempio

 

\alpha=t_1=1 \ , \ \beta=t_2=4

 

possiamo concludere che l'equazione canonica della conica \mathrm{C}_1 è

 

x'^2+4y'^2-1=0\ \ \ (*)

 

 

Osservazione (Ordinamento dei parametri)

 

Nulla ci vieta di invertire il valore dei parametri, ossia di imporre

 

\alpha=t_2=4 \ , \ \beta=t_1=1

 

L'equazione che ne scaturisce

 

4x'^2+y'^2-1=0

 

rappresenta ancora una volta la medesima ellisse, solo che in questo caso le coordinate del riferimento sono invertite rispetto a (*).

 

Metodi degli invarianti per le coniche non a centro (parabole)

 

Occupiamoci del caso delle parabole, e scriviamo al solito la generica equazione di una conica

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

con riferimento a un sistema cartesiano ortonormale RC(O,x,y). Sia quindi (I_3, I_2, I_1) la terna di invarianti associati a \mathrm{C}.

 

Osserviamo fin da subito che, essendo \mathrm{C} una parabola, l'invariante quadratico I_2 è nullo, dunque la terna di invarianti riferita a \mathrm{C} è (I_3, 0, I_1).

 

In un opportuno sistema di riferimento RC(O',x',y') l'equazione in forma canonica di \mathrm{C} si presenta in una delle seguenti forme

 

\alpha x'^2+ y' = 0\\ \\ x'+ \alpha y'^2 = 0

 

con \alpha \neq 0.

 

La differenza tra le due equazioni è che la prima descrive una parabola con asse coincidente con l'asse y, mentre la seconda è una parabola con asse coincidente con l'asse x.

 

Entrambe le equazioni sono in forma canonica. Scegliamone una:

 

\mathrm{C}':\ \alpha x'^2+ y' = 0

 

Come per le coniche a centro, vogliamo ricavare il valore del parametro \alpha mediante gli invarianti della conica \mathrm{C}.

 

Le matrici associate a \mathrm{C}' sono

 

A'=\begin{pmatrix}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}'=\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

 

La terna di invarianti riferita a \mathrm{C}' è

 

\\ (I_3',I_2',I_1') = \left(\mbox{det}(A'), \ \mbox{det}(A_{33}'), \ \mbox{tr}(A_{33}')\right) = \\ \\ = \left(-\frac{1}{4}\alpha, \ 0, \ \alpha\right)

 

e per il teorema sull'equivalenza tra le terne di invarianti segue che

 

(I_3, 0, I_1)\ \ ;\ \ \left(-\frac{1}{4}\alpha, \ 0, \ \alpha\right)

 

sono equivalenti. Esiste quindi un numero reale \rho\neq 0 tale che

 

\begin{cases}-\frac{1}{4}\alpha = \rho^3 I_3 \\ \\ \alpha = \rho I_1 \end{cases}

 

Dalla seconda equazione risulta

 

\rho = \frac{\alpha}{I_1}

 

cosicché, sostituendolo nella prima, si ottiene

 

-\frac{1}{4}\alpha = \alpha^3\frac{I_3}{(I_1)^3}

 

La soluzione banale \alpha=0 va ovviamente scartata; rimane

 

\alpha= \pm \sqrt{-\frac{(I_1)^3}{4I_3}}

 

Tale relazione che permette di ricavare il valore del parametro \alpha dagli invarianti della parabola \mathrm{C}.

 

 

Osservazione (Scelta del segno e della forma canonica)

 

Tenendo a mente che abbiamo scelto la forma canonica con asse verticale, nella precedente formula il segno determina lo sviluppo della parabola verso l'alto (-) o verso il basso (+).

 

Se avessimo deciso di lavorare con la forma canonica ad asse orizzontale saremmo giunti alla medesima formula e a una conclusione analoga, con la differenza che in tal caso il segno nella formula avrebbe determinato uno sviluppo della concavità verso sinistra (+) o verso destra (-).

 

 

Esempio sulla riduzione alla forma canonica di una parabola col metodo degli invarianti

 

Classificare la conica di equazione

 

\mathrm{C}_2:\ x^2+y^2-2xy-2x+1=0

 

e ridurla alla forma canonica con il metodo degli invarianti.

 

Svolgimento: per classificare la conica è sufficiente scrivere le matrici associate

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&-1 \\ -1&1&0 \\ -1&0&1\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&1\end{pmatrix}

 

e calcolarne i determinanti

 

\mbox{det}(A)=-1

 

quindi \mathrm{C}_2 è non degenere, inoltre

 

\mbox{det}(A_{33}) = 0

 

e quindi \mathrm{C}_2 è una parabola.

 

Gli invarianti associati a \mathrm{C}_2 sono

 

\\ I_3=\mbox{det}(A)=-1 \\ \\ I_2=\mbox{det}(A_{33}) = 0 \\ \\ I_1=\mbox{tr}(A_{33})=2

 

Consideriamo come equazione canonica della parabola \mathrm{C}_2

 

\alpha x'^2 + y' = 0

 

dove \alpha è dato da

 

\alpha= \pm \sqrt{-\frac{(I_1)^3}{4I_3}}=\\ \\ \\ = \pm \sqrt{-\frac{(2)^3}{4 \cdot (-1)}} = \pm \sqrt{-\frac{8}{-4}} = \pm \sqrt{2}

 

Scegliendo il segno meno, così da avere uno sviluppo verso l'alto, possiamo concludere che l'equazione canonica di \mathrm{C}_2 è

 

-\sqrt{2} x'^2 + y' = 0

 

 


 

Non abbiamo altro da aggiungere se non consigliarvi di leggere la prossima lezione, in cui parleremo dei fasci di coniche e chiuderemo definitivamente la parte del corso dedicata alle coniche.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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