Matrici associate a una conica

Prendono il nome di matrici associate a una conica due particolari matrici quadrate, una di ordine 3 e l'altra di ordine 2, costruite a partire dai coefficienti dell'equazione di una conica.

 

All'equazione di ogni conica possiamo associare due matrici: la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini quadratici, che giocano un ruolo da protagonista sia nella classificazione delle coniche che nella riduzione di una conica alla forma canonica.

 

Lo scopo di questa lezione è proprio quello di spiegare come scrivere le matrici di una conica a partire dalla sua equazione, indipendentemente che essa sia in coordinate omogenee o in coordinate non omogenee.

 

Calcolo delle matrici associate a una conica

 

Data l'equazione di una conica \mathrm{C}, assegnata in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2 = 0

 

o in coordinate non omogenee

 

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

possiamo associare a \mathrm{C} due matrici:

 

- la matrice dei coefficienti, detta anche matrice della conica. È la matrice simmetrica di ordine 3 data da

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

- la matrice dei termini quadratici, che è una sottomatrice di A ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna di A, e per questo indicata con

 

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

 

Soprattutto all'inizio, quando ancora si ha poca dimestichezza con queste nuove nozioni, per costruire la matrice di una conica \mathrm{C} possiamo avvalerci dei seguenti schemi. Vanno completati a incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale così come sono, dimezzando tutti gli altri e ricordando che dobbiamo ottenere una matrice simmetrica.

 

\begin{array}{c | c c c c c } & x_1 && x_2 && x_3 \\ \cline{1-6} x_1 & & \\ \\ x_2 & & \\ \\ x_3 & &\end{array}

 

(in coordinate omogenee)

 

 

\begin{array}{c | c c c c c } & x && y && 1 \\ \cline{1-6} x & & \\ \\ y & & \\ \\ 1 & &\end{array}

 

(in coordinate non omogenee)

 

Esempi sul calcolo delle matrici associate a una conica

 

Vediamo ora un paio di esempi spiegati passo passo sulla costruzione delle matrici riferite a una conica; nel primo l'equazione della conica è in coordinate omogenee, nel secondo in coordinate non omogenee.

 

 

Esempio 1 (matrici associate a una conica in coordinate omogenee)

 

\mathrm{C}_1:\ 3x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3+x_3^2=0

 

La matrice dei coefficienti è una matrice simmetrica di ordine 3

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

in cui:

 

a_{11} è il coefficiente di x_1^2, e quindi a_{11}=3

 

a_{22} è il coefficiente di x_2^2, dunque a_{22}=2

 

a_{33} è il coefficiente di x_3^2, per cui a_{33}=1

 

a_{12 } è la metà del coefficiente di x_1x_2, ossia a_{12}=-1

 

a_{13} è la metà del coefficiente di x_1x_3, quindi a_{13}=2

 

a_{23} è la metà del coefficiente di x_2x_3, dunque a_{23}=3

 

In definitiva

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1&2 \\ -1&2&3 \\ 2&3&1\end{pmatrix}

 

La matrice dei termini quadratici è

 

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1 \\ -1&2\end{pmatrix}

 

e si ottiene da A eliminandone la terza riga e la terza colonna.

 

 

Esempio 2 (matrici associate a una conica in coordinate non omogenee)

 

\mathrm{C}_2: x^2+y^2+2x-4y+7=0

 

Ancora una volta, la matrice dei coefficienti è

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

ma, essendo l'equazione della conica in coordinate non omogenee, si ha che

 

a_{11} è il coefficiente di x^2, quindi a_{11}=1

 

a_{22} è il coefficiente di y^2, dunque a_{22}=1

 

a_{33} è il termine noto, pertanto a_{33}=7

 

a_{12} è la metà del coefficiente di xy, che è nullo

 

a_{13} è la metà del coefficiente di x, per cui a_{13}=1

 

a_{23} è la metà del coefficiente di y, dunque a_{23}=-2

 

Possiamo così concludere che la matrice della conica \mathrm{C}_2 è

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&-2 \\ 1&-2&7\end{pmatrix}

 

mentre la matrice dei termini quadratici è

 

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

 


 

È tutto! Per quanto possa apparire semplice, vi raccomandiamo la massima attenzione quando sarete alle prese con la costruzione delle matrici riferite a una conica. Un coefficiente scritto al posto sbagliato o non dimezzato potrebbe, infatti, alterare il valore del determinante e degli autovalori delle due matrici, con conseguenze disastrose nella classificazione e nella riduzione alla forma canonica. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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