Matrici associate a una conica

Prendono il nome di matrici associate a una conica due particolari matrici quadrate, una di ordine 3 e l'altra di ordine 2, costruite a partire dai coefficienti dell'equazione di una conica.

All'equazione di ogni conica possiamo associare due matrici: la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini quadratici, che giocano un ruolo da protagonista sia nella classificazione delle coniche che nella riduzione di una conica alla forma canonica.

Lo scopo di questa lezione è proprio quello di spiegare come scrivere le matrici di una conica a partire dalla sua equazione, indipendentemente che essa sia in coordinate omogenee o in coordinate non omogenee.

Calcolo delle matrici associate a una conica

Data l'equazione di una conica , assegnata in coordinate omogenee

o in coordinate non omogenee

possiamo associare a due matrici:

- la matrice dei coefficienti, detta anche matrice della conica. È la matrice simmetrica di ordine 3 data da

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

- la matrice dei termini quadratici, che è una sottomatrice di ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna di , e per questo indicata con

Soprattutto all'inizio, quando ancora si ha poca dimestichezza con queste nuove nozioni, per costruire la matrice di una conica possiamo avvalerci dei seguenti schemi. Vanno completati a incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale così come sono, dimezzando tutti gli altri e ricordando che dobbiamo ottenere una matrice simmetrica.

beginarrayc | c c c c c x_1 x_2 x_3 ; cline1-6 x_1 ; x_2 ; x_3 endarray

(in coordinate omogenee)

beginarrayc | c c c c c x y 1 ; cline1-6 x ; y ; 1 endarray

(in coordinate non omogenee)

Esempi sul calcolo delle matrici associate a una conica

Vediamo ora un paio di esempi spiegati passo passo sulla costruzione delle matrici riferite a una conica; nel primo l'equazione della conica è in coordinate omogenee, nel secondo in coordinate non omogenee.

Esempio 1 (matrici associate a una conica in coordinate omogenee)

La matrice dei coefficienti è una matrice simmetrica di ordine 3

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

in cui:

è il coefficiente di , e quindi

è il coefficiente di , dunque

è il coefficiente di , per cui

è la metà del coefficiente di , ossia

è la metà del coefficiente di , quindi

è la metà del coefficiente di , dunque

In definitiva

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [3 -1 2 ;-1 2 3 ; 2 3 1]

La matrice dei termini quadratici è

e si ottiene da eliminandone la terza riga e la terza colonna.

Esempio 2 (matrici associate a una conica in coordinate non omogenee)

Ancora una volta, la matrice dei coefficienti è

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

ma, essendo l'equazione della conica in coordinate non omogenee, si ha che

è il coefficiente di , quindi

è il coefficiente di , dunque

è il termine noto, pertanto

è la metà del coefficiente di , che è nullo

è la metà del coefficiente di , per cui

è la metà del coefficiente di , dunque

Possiamo così concludere che la matrice della conica è

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [1 0 1 ; 0 1 -2 ; 1 -2 7]

mentre la matrice dei termini quadratici è

È tutto! Per quanto possa apparire semplice, vi raccomandiamo la massima attenzione quando sarete alle prese con la costruzione delle matrici riferite a una conica. Un coefficiente scritto al posto sbagliato o non dimezzato potrebbe, infatti, alterare il valore del determinante e degli autovalori delle due matrici, con conseguenze disastrose nella classificazione e nella riduzione alla forma canonica. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Tags: matrici associate a una conica - matrice dei coefficienti - matrice dei termini quadratici - come costruire le matrici di una conica.

Ultima modifica: 09/05/2023