Matrici associate a una conica

Prendono il nome di matrici associate a una conica due particolari matrici quadrate, una di ordine 3 e l'altra di ordine 2, costruite a partire dai coefficienti dell'equazione di una conica.

 

All'equazione di ogni conica possiamo associare due matrici: la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini quadratici, che giocano un ruolo da protagonista sia nella classificazione delle coniche che nella riduzione di una conica alla forma canonica.

 

Lo scopo di questa lezione è proprio quello di spiegare come scrivere le matrici di una conica a partire dalla sua equazione, indipendentemente che essa sia in coordinate omogenee o in coordinate non omogenee.

 

Calcolo delle matrici associate a una conica

 

Data l'equazione di una conica mathrmC, assegnata in coordinate omogenee

 

mathrmC: a_(11)x_1^2+a_(22)x_2^2+2a_(12)x_1x_2+2a_(13)x_1x_3+2a_(23)x_2x_3+a_(33)x_3^2 = 0

 

o in coordinate non omogenee

 

mathrmC: a_(11)x^2+a_(22)y^2+2a_(12)xy+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33) = 0

 

possiamo associare a mathrmC due matrici:

 

- la matrice dei coefficienti, detta anche matrice della conica. È la matrice simmetrica di ordine 3 data da

 

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

 

- la matrice dei termini quadratici, che è una sottomatrice di A ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna di A, e per questo indicata con

 

A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22) ]

 

Soprattutto all'inizio, quando ancora si ha poca dimestichezza con queste nuove nozioni, per costruire la matrice di una conica mathrmC possiamo avvalerci dei seguenti schemi. Vanno completati a incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale così come sono, dimezzando tutti gli altri e ricordando che dobbiamo ottenere una matrice simmetrica.

 

beginarrayc | c c c c c x_1 x_2 x_3 ; cline1-6 x_1 ; x_2 ; x_3 endarray

 

(in coordinate omogenee)

 

 

beginarrayc | c c c c c x y 1 ; cline1-6 x ; y ; 1 endarray

 

(in coordinate non omogenee)

 

Esempi sul calcolo delle matrici associate a una conica

 

Vediamo ora un paio di esempi spiegati passo passo sulla costruzione delle matrici riferite a una conica; nel primo l'equazione della conica è in coordinate omogenee, nel secondo in coordinate non omogenee.

 

 

Esempio 1 (matrici associate a una conica in coordinate omogenee)

 

mathrmC_1: 3x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3+x_3^2 = 0

 

La matrice dei coefficienti è una matrice simmetrica di ordine 3

 

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

 

in cui:

 

a_(11) è il coefficiente di x_1^2, e quindi a_(11) = 3

 

a_(22) è il coefficiente di x_2^2, dunque a_(22) = 2

 

a_(33) è il coefficiente di x_3^2, per cui a_(33) = 1

 

a_(12) è la metà del coefficiente di x_1x_2, ossia a_(12) = -1

 

a_(13) è la metà del coefficiente di x_1x_3, quindi a_(13) = 2

 

a_(23) è la metà del coefficiente di x_2x_3, dunque a_(23) = 3

 

In definitiva

 

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [3 -1 2 ;-1 2 3 ; 2 3 1]

 

La matrice dei termini quadratici è

 

A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22)] = [3 -1 ;-1 2]

 

e si ottiene da A eliminandone la terza riga e la terza colonna.

 

 

Esempio 2 (matrici associate a una conica in coordinate non omogenee)

 

mathrmC_2: x^2+y^2+2x-4y+7 = 0

 

Ancora una volta, la matrice dei coefficienti è

 

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

 

ma, essendo l'equazione della conica in coordinate non omogenee, si ha che

 

a_(11) è il coefficiente di x^2, quindi a_(11) = 1

 

a_(22) è il coefficiente di y^2, dunque a_(22) = 1

 

a_(33) è il termine noto, pertanto a_(33) = 7

 

a_(12) è la metà del coefficiente di xy, che è nullo

 

a_(13) è la metà del coefficiente di x, per cui a_(13) = 1

 

a_(23) è la metà del coefficiente di y, dunque a_(23) = -2

 

Possiamo così concludere che la matrice della conica mathrmC_2 è

 

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [1 0 1 ; 0 1 -2 ; 1 -2 7]

 

mentre la matrice dei termini quadratici è

 

A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22)] = [1 0 ; 0 1]

 

 


 

È tutto! Per quanto possa apparire semplice, vi raccomandiamo la massima attenzione quando sarete alle prese con la costruzione delle matrici riferite a una conica. Un coefficiente scritto al posto sbagliato o non dimezzato potrebbe, infatti, alterare il valore del determinante e degli autovalori delle due matrici, con conseguenze disastrose nella classificazione e nella riduzione alla forma canonica. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: matrici associate a una conica - matrice dei coefficienti - matrice dei termini quadratici - come costruire le matrici di una conica.