Equazione di una conica

L'equazione di una conica è un'equazione di secondo grado a coefficienti reali che presenta due o tre incognite, a seconda che venga fornita rispettivamente in coordinate non omogenee o in coordinate omogenee.

In questa lezione, dedicata ai soli studenti universitari, richiameremo la definizione di conica con lo scopo di introdurre le equazioni di una conica in coordinate omogenee e in coordinate non omogenee, nel piano complessificato e ampliato con gli elementi impropri. Fatto ciò vi mostreremo come si passa dall'una all'altra equazione e concluderemo con un piccolo accenno sull'ordine di una conica, che tornerà utile nelle successive lezioni.

Agli studenti delle scuole superiori, o a chiunque voglia fare un ripasso generale, abbiamo dedicato una lezione di riepilogo sulle coniche trattandole così come vengono affrontate in Geometria Analitica.

Equazioni di una conica in coordinate omogenee e in coordinate non omogenee

Nel piano complessificato e ampliato con gli elementi impropri, ove sia stato fissato un sistema di riferimento cartesiano , prende il nome di conica il luogo dei punti propri e impropri, reali e immaginari, le cui coordinate omogenee soddisfano un'equazione di secondo grado del tipo

$\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2 = 0 \ (*)$

dove i coefficienti $a_{ij}$ sono numeri reali non tutti nulli.

L'equazione prende il nome di equazione della conica in coordinate omogenee.

Da notare che il coefficiente $a_{ij}$ di ogni termine ha gli indici uguali, rispettivamente, agli indici delle incognite che compaiono nel medesimo termine. Inoltre è utile sapere che il fattore 2, riportato in alcuni termini, viene indicato per rendere più comoda la costruzione delle matrici associate alla conica.

Se conveniamo di porre $a_{ij} = a_{ji}$ per ogni $i,j \in \{1,2,3\}$ , possiamo scrivere l'equazione in forma compatta come

$\mathrm{C}:\ \sum_{i,j=1}^{3} a_{ij}x_ix_j=0$

Alcuni libri di testo sottintendono il simbolo di sommatoria per facilitare ulteriormente la scrittura dell'equazione , e quindi esprimono l'equazione di una conica in coordinate omogenee nella forma

$\mathrm{C}:\ a_{ij}x_ix_j=0$

Di contro l'equazione di una conica in coordinate non omogenee, detta anche equazione cartesiana di una conica, è

$\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0 \ (**)$

con $a_{ij}$ reali e non tutti nulli.

Esempi (equazioni di coniche in coordinate omogenee e non omogenee)

$\\ 2x_1^2+x_2^2+3x_1x_2-7x_1x_3+x_3^2=0 \\ \\ x_1^2+3x_2^2-4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3+2x_3^2=0 \\ \\ x_1^2+x_2^2+4x_1x_3+6x_2x_3=0$

sono equazioni di coniche in coordinate omogenee, mentre

$\\ x^2+y^2-4xy+7x-2y+3=0 \\ \\ x^2+y^2+4x-5=0 \\ \\ x^2-3xy+8x-4y+1=0$

sono equazioni di coniche in coordinate non omogenee.

Dall'equazione di una conica in coordinate omogenee a quella in coordinate non omogenee

Per passare dall'equazione di una conica in coordinate omogenee a quella in coordinate non omogenee basta dividere tutti i termini dell'equazione in coordinate omogenee

$a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2 = 0\ (*)$

per

$a_{11}\frac{x_1^2}{x_3^2} + a_{22}\frac{x_2^2}{x_3^2} + 2a_{12}\frac{x_1x_2}{x_3^2} + 2a_{13}\frac{x_1x_3}{x_3^2} + 2a_{23}\frac{x_2x_3}{x_3^2} + a_{33}\frac{x_3^2}{x_3^2} = 0$

per poi riscriverla come

$a_{11}\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2 + a_{22}\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2 + 2a_{12}\frac{x_1}{x_3} \frac{x_2}{x_3} + 2a_{13}\frac{x_1}{x_3} + 2a_{23}\frac{x_2}{x_3}+a_{33}=0$

e quindi porre

$x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ , \ \ \ y=\frac{x_2}{x_3}$

Effettuando le dovute sostituzioni nella precedente equazione otteniamo

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0\ (**)$

Esempio: dalle coordinate non omogenee alle omogenee nell'equazione di una conica

Ricavare l'equazione cartesiana della conica

$\mathrm{C}_1:\ x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_3+2x_3^2=0$

Svolgimento: dividiamo tutti i termini per

$\frac{x_1^2}{x_3^2}+2\frac{x_2^2}{x_3^2}+2\frac{x_1x_2}{x_3^2}-2\frac{x_1x_3}{x_3^2}+2\frac{x_3^2}{x_3^2}=0$

e riscriviamola nella forma seguente

$\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+2\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2\frac{x_1}{x_3} \ \frac{x_2}{x_3}-2\frac{x_1}{x_3}+2=0$

A questo punto poniamo

$x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ , \ \ \ y=\frac{x_2}{x_3}$

e sostituiamo nella precedente equazione

Abbiamo così ottenuto l'equazione in coordinate non omogenee di $\mathrm{C}_1$ .

Dall'equazione di una conica in coordinate non omogenee a quella in coordinate omogenee

Viceversa, partendo dall'equazione in coordinate non omogenee

$a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0 \ (**)$

per passare all'equazione in coordinate omogenee si deve porre

$x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ , \ \ \ y=\frac{x_2}{x_3}$

e sostituire in

$a_{11}\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2 + a_{22}\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2 + 2a_{12}\frac{x_1}{x_3} \frac{x_2}{x_3} + 2a_{13}\frac{x_1}{x_3} + 2a_{23}\frac{x_2}{x_3}+a_{33}=0$

Svolgendo i calcoli e moltiplicando ciascun termine per si giungere all'equazione in coordinate omogenee della conica

$a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2 = 0\ (*)$

Esempio: dalle coordinate non omogenee alle omogenee nell'equazione di una conica

Esprimere in coordinate omogenee l'equazione della conica

Svolgimento: poniamo

$x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ , \ \ \ y=\frac{x_2}{x_3}$

Sostituiamo nell'equazione assegnata

$\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+3\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2\frac{x_1}{x_3} \ \frac{x_2}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+2\frac{x_2}{x_3}+1=0$

e svolgiamo i conti che ne conseguono

$\frac{x_1^2}{x_3^2}+3\frac{x_2^2}{x_3^2}+2\frac{x_1x_2}{x_3^2}+\frac{x_1}{x_3}+2\frac{x_2}{x_3}+1=0$

Moltiplicando ciascun termine per otteniamo l'equazione della conica in coordinate omogenee

Ordine di una conica

Prima di definire l'ordine di una conica dobbiamo richiamare i concetti di curva piana algebrica e di ordine di una curva algebrica.

Una curva piana $\mathrm{C}$ si dice algebrica quando si può rappresentare con un'equazione della forma

in cui è un polinomio in e in a coefficienti costanti.

Prende il nome di ordine di una curva algebrica il grado del polinomio che definisce l'equazione della curva.

Il concetto di ordine di una curva algebrica piana ha un preciso significato geometrico: tale ordine uguaglia il numero di punti, reali o immaginari, propri o impropri e contati con le rispettive molteplicità, comuni alla curva e a una qualsiasi retta che non sia una componente della curva stessa.

Attenendoci alle precedenti definizioni possiamo affermare che una conica è una curva algebrica piana del secondo ordine, e quindi che ogni conica interseca una qualsiasi retta del piano che non sia una sua componente sempre in due punti, eventualmente coincidenti.

Siamo giunti al termine di questa prima lezione dedicata alle coniche. Nella prossima vedremo come si costruiscono le matrici associate a una conica per poi spiegare come classificare le coniche, e proseguire con l'introduzione del concetto di polarità definita da una conica.

Per chi se lo stesse chiedendo lo scopo di queste lezioni è essenzialmente quello di porre solide basi che ci permetteranno di affrontare lo studio delle coniche, ossia definire e calcolare gli elementi notevoli di una conica quali centro, vertici, diametri, asintoti, assi e fuochi, nonché di ridurre le coniche alla forma canonica.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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