Punti, rette, piani e spazio complessificati

L'ampliamento complesso dello spazio reale, ossia l'introduzione di punti, rette e piani immaginari permette di trattare nel modo più generale possibile la teoria riguardante coniche e quadriche, due tra gli argomenti cardine dei corsi universitari di Geometria e Algebra Lineare.

Nelle precedenti lezioni ci siamo occupati di punti, di rette e di piani nello spazio tridimensionale. Abbiamo sempre avuto a che fare con equazioni di primo grado e siamo riusciti a fornire una traduzione algebrica di ogni problema geometrico.

Anche se ancora non ne abbiamo parlato espressamente, dovreste sapere dalla Scuola Superiore che l'equazione di una conica è un'equazione di secondo grado. Se ci riflettete un attimo, in Algebra, dopo aver parlato delle equazioni di secondo grado si introduce il campo dei numeri complessi, in cui è possibile enunciare proposizioni e teoremi senza restrizioni. Senza scendere troppo nel dettaglio, per il momento basta sapere che la complessificazione dello spazio reale ha lo stesso identico scopo: ampliando lo spazio con gli elementi immaginari si rimuovono le eventuali eccezioni che si presenterebbero nello spazio reale.

Disclaimer: prima di entrare nel vivo della spiegazione ci teniamo a precisare che non tutti i programmi d'esame prevedono lo studio di questi argomenti. Anche senza definire gli elementi immaginari del piano e dello spazio si possono comunque classificare e studiare le equazioni di coniche e quadriche, seppur con qualche limitazione.

Elementi immaginari del piano e dello spazio

Per definire gli elementi immaginari nel piano e nello spazio tridimensionale partiamo dalla nozione di punto immaginario, per poi passare alla retta immaginaria nel piano e, infine, parlare di piano immaginario e retta immaginaria nello spazio tridimensionale.

Punti immaginari

Un punto proprio P, del piano o dello spazio tridimensionale, si dice punto immaginario se almeno una delle sue coordinate cartesiane è un numero complesso con parte immaginaria non nulla.

Al contrario, da qui in poi denomineremo punto reale un qualsiasi punto le cui coordinate sono numeri reali.

Approfittiamone per introdurre qualche altra definizione:

- il piano, pensato come totalità dei punti reali e dei punti immaginari, prende il nome di piano complessificato;

- lo spazio, inteso come totalità dei punti reali e dei punti immaginari, si dice spazio complessificato.

I punti del piano o dello spazio complessificati si dicono punti complessi, dunque quando si parla di punti complessi ci si riferisce, indistintamente, ai punti reali o ai punti immaginari.

Esempi (punti reali e punti immaginari)

I punti del piano complessificato

A(1, imath), B(1+2 imath, 3), C(−1+ imath,− imath)

sono punti immaginari, mentre

D(0,1), E(2,2), F(−5,0)

sono punti reali.

Analogamente, nello spazio complessificato

G(0, 3, 4 imath), H(4+7 imath, 1, 2), I(−1+ imath,− imath, 5+2 imath)

sono punti immaginari, e

L(1,2,3), M(0,3,−1), N(0,0,−12)

sono punti reali.

Osservazione (coordinate omogenee di un punto complesso)

Nel piano o nello spazio complessificati, qualora si usino le coordinate omogenee, un punto è reale se e solo se le tutte le sue coordinate omogenee possono ridursi a numeri reali dividendole per un opportuno fattore di proporzionalità non nullo, anche immaginario. In caso contrario il punto in coordinate omogenee è immaginario.

Per fissare le idee, il punto del piano ampliato di coordinate omogenee

(2 imath, 3 imath,− imath)

è un punto reale infatti, sebbene tutte le coordinate siano numeri immagini puri, dividendole per l'unità immaginaria ci si riconduce al punto

(2, 3,−1)

che è reale.

Retta immaginaria, retta reale e retta complessa nel piano

Nel piano complessificato una retta r è definita come l'insieme di tutti i punti complessi (reali e immaginari) le cui coordinate soddisfano un'equazione lineare della forma

ax+by+c = 0 (*)

con a, b non contemporaneamente nulli. Nella fattispecie:

r è una retta reale se e solo se i coefficienti sono tutti reali o la terna (a,b,c) dei coefficienti è proporzionale a una terna di numeri reali, con coefficiente di proporzionalità eventualmente complesso e non nullo.

r è una retta immaginaria se e solo se la terna (a,b,c) dei coefficienti non è proporzionale a una terna di numeri reali, nemmeno per mezzo di un coefficiente di proporzionalità complesso e non nullo.

Rette immaginarie e rette reali del piano complessificato prendono il nome di rette complesse.

Esempi (rette reali e rette immaginarie)

r: 2x+3y−1 = 0 ; s: x+ imath y−5 = 0 ; t: 2 imath x+ imath y = 0

sono rette complesse del piano complessificato. In particolare s è una retta immaginaria, infatti la terna dei coefficienti

(a,b,c) = (1, imath,−5)

non è proporzionale ad alcuna terna di numeri reali. Al contrario sia r che t sono rette reali, infatti nella retta r i coefficienti sono tutti reali, e nella retta t la terna dei coefficienti è proporzionale a una terna di numeri reali, con coefficiente di proporzionalità uguale a imath

(a,b,c) = (2 imath, imath, 0) = imath(2,1,0)

Piano immaginario, piano reale e piano complesso nello spazio

Nello spazio complessificato prende il nome di piano la totalità dei punti complessi (reali e immaginari) dello spazio le cui coordinate soddisfano un'equazione lineare della forma

ax+by+cz+d = 0

con a, b, c non contemporaneamente nulli.

Come nel caso della retta, un qualsiasi piano dello spazio complessificato è:

- un piano reale, se i coefficienti a, b, c, d dell'equazione che lo definiscono sono tutti reali, o se la quaterna (a,b,c,d) è proporzionale a una quaterna di numeri reali, con coefficiente di proporzionalità eventualmente complesso e non nullo;

- un piano immaginario, se la quaterna (a,b,c,d) dei coefficienti non è proporzionale a una quaterna di numeri reali, nemmeno per mezzo di un coefficiente di proporzionalità complesso e non nullo.

Infine, piani reali e piani immaginari vengono detti in generale piani complessi.

Esempi (piani reali e piani immaginari)

α: 2 imath x− imath y+3 imath z = 0

è un piano reale, infatti la quaterna dei coefficienti

(a,b,c,d) = (2 imath,− imath, 3 imath, 0)

è proporzionale alla quaterna di numeri reali (2,−1,3,0).

β: 3x−4y+7z−2+ imath = 0

è un piano immaginario, infatti non esiste alcun coefficiente complesso e non nullo tale per cui la quaterna dei coefficienti

(a,b,c,d) = (3,−4,7,−2+ imath)

sia proporzionale a una quaterna di numeri reali.

Retta immaginaria, retta reale e retta complessa nello spazio

Prende il nome di retta immaginaria nello spazio complessificato l'intersezione di due piani complessi al cui fascio appartiene, al più, un piano reale.

Si definisce retta reale nello spazio complessificato l'intersezione di due piani complessi al cui fascio appartengono almeno due piani reali.

Intersezione, parallelismo, perpendicolarità e distanze tra elementi immaginari

Attenzione! A questo punto è d'obbligo osservare che gli aggettivi "reale" e "immaginario" dati a rette e piani del piano e dello spazio complessificati si riferiscono solo alla loro rappresentazione analitica e non alla natura dei loro punti. In altri termini una retta o un piano reali possono contenere punti immaginari, così come una retta o un piano immaginari possono contenere punti reali.

Ad esempio, nel piano complessificato, la retta reale di equazione

r: x+y−1 = 0

contiene il punto immaginario P(imath, 1− imath), così come alla retta immaginaria

s: x+2 imath y−1 = 0

appartiene il punto reale Q(1,0).

Salvo qualche eccezione, su punti, rette e piani immaginari si opera analiticamente come su quelli reali, estendendo le condizioni di parallelismo e di perpendicolarità. Lo stesso dicasi per le formule per il calcolo delle distanze reciproche.

Elementi immaginari coniugati

Dopo aver introdotto i concetti di punti, rette e piani immaginari, è del tutto lecito parlare di punti, rette e piani coniugati, esattamente come avviene per i numeri complessi. In particolare:

- due punti immaginari (P,P), si dicono coniugati quando le coordinate di P sono ordinatamente i numeri complessi coniugati delle coordinate di P;

- due rette (r,r) o due piani (α,α) si dicono coniugati quando sono rappresentabili con equazioni aventi come coefficienti omonimi dei numeri complessi coniugati.

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che si definisce coniugato di un numero complesso z un nuovo numero complesso ottenuto da z cambiando il segno della parte immaginaria, e lo si indica con z.

Esempi (elementi immaginari coniugati)

P(1, imath,0) ; P(1,− imath,0)

sono punti immaginari coniugati dello spazio complessificato.

r: 2x+3y− imath = 0 ; r: 2x+3y+ imath = 0

sono rette immaginarie coniugate.

α: (2−3 imath)x+5y−z = 0 ; α: (2+3 imath)x+5y−z = 0

sono piani immaginari coniugati.

Proprietà degli elementi immaginari coniugati del piano e dello spazio complessificati

Elenchiamo ora una serie di teoremi su punti, rette e piani immaginari coniugati, che potranno tornare utili negli esercizi o nelle trattazioni teoriche che seguiranno, e di cui omettiamo la dimostrazione.

1) Il punto medio di due punti immaginari coniugati è un punto reale.

2) La retta passante per due punti immaginari coniugati è una retta reale.

3) Due rette immaginarie coniugate hanno in comune un punto reale, proprio o improprio.

4) Due piani immaginari coniugati si intersecano lungo una retta reale.

Rette isotrope e punti ciclici

Concludiamo questa lezione concentrando la nostra attenzione su alcune rette e su alcuni punti immaginari di fondamentale importanza, e non solo in Algebra Lineare: le rette isotrope e i punti ciclici.

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y), consideriamo un punto P(x_P,y_P) e scriviamo la generica equazione della retta passante per il punto P

y−y_P = m(x−x_P)

Chiediamoci se esiste una retta passante per P che sia perpendicolare a se stessa. Due rette del piano sono perpendicolari se e solo se il prodotto tra i rispettivi coefficienti angolari è -1, dunque una retta di equazione

y−y_P = m(x−x_P)

è perpendicolare a se stessa se e solo se

m·m = −1

ossia, se e solo se

m^2+1 = 0

In campo reale non esistono ovviamente valori di m che soddisfino la precedente equazione, dunque il problema è privo di soluzioni; in campo complesso però la suddetta equazione ammette due soluzioni complesse coniugate

m = ± imath

Sostituendole nell'equazione della generica retta per P si deduce che da ogni punto P passano due rette immaginarie coniugate, ciascuna perpendicolare a se stessa, di equazioni

y−y_P = ± imath (x−x_P)

Queste due rette prendono il nome di rette isotrope passanti per P.

Si può dimostrare che due punti propri di una retta isotropa hanno tra loro distanza nulla, motivo per cui le rette isotrope vengono anche denominate rette di lunghezza nulla.

Punti ciclici

Scrivendo separatamente le equazioni in forma implicita delle due rette isotrope per P

y−y_P = imath (x−x_P) → imath x−y+y_P+ imath x_P = 0 ; y−y_P = − imath (x−x_P) → imath x+y−y_P− imath x_P = 0

e passando in coordinate omogenee

imath x−y+y_P+ imath x_P = 0 → imath x_1−x_2+(y_P+ imath x_P)x_3 = 0 ; imath x+y−y_P− imath x_P = 0 → imath x_1+x_2−(y_P+ imath x_P)x_3 = 0

è immediato osservare che la retta isotropa

imath x_1−x_2+(y_P+ imath x_P)x_3 = 0

passa per il punto improprio (1, imath, 0), mentre la retta

imath x_1+x_2−(y_P+ imath x_P)x_3 = 0

passa per il punto improprio (1,− imath, 0).

I due punti impropri, tra loro complessi coniugati, di coordinate

(1,± imath, 0)

si dicono punti ciclici del piano complessificato.

Per il momento è tutto! Dalla prossima lezione iniziamo lo studio vero e proprio delle coniche definendo le equazioni di una conica nel piano complessificato e ampliato con gli elementi impropri.

Nel frattempo, in caso di dubbi potete far affidamento sulla barra di ricerca interna e dare uno sguardo alla scheda correlata di esercizi risolti. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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