Coordinate omogenee nel piano e nello spazio

Le coordinate cartesiane omogenee, dette più brevemente coordinate omogenee, sono lo strumento usato per descrivere i punti della retta, del piano e dello spazio ampliati.

Dopo aver introdotto i concetti di retta, piano e spazio ampliati vediamo come si rappresentano le coordinate dei punti propri e dei punti impropri, e come si scrivono le equazioni delle rette (sia proprie che improprie) nel piano ampliato. Fatto ciò estenderemo il discorso allo spazio tridimensionale, mostreremo come si esprimono le coordinate dei punti (sia propri che impropri) e le equazioni di rette e piani (propri e impropri) dello spazio ampliato.

Il nuovo strumento di cui ci serviremo saranno proprio le coordinate omogenee. Come vedremo, esse si definiscono a partire dalle classiche coordinate cartesiane di un punto del piano o dello spazio.

Coordinate omogenee nel piano

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale nel piano  e consideriamo un punto .

Si dicono coordinate cartesiane omogenee del punto tre numeri reali , con , tali che

È immediato osservare che le coordinate omogenee determinano univocamente le coordinate cartesiane del punto . Viceversa le coordinate cartesiane individuano le coordinate omogenee di a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, infatti per ogni con possiamo considerare

Esempio sulle coordinate omogenee nel piano

Le coordinate omogenee o, più in generale

rappresentano tutte lo stesso punto di coordinate cartesiane (non omogenee) .

Coordinate omogenee di un punto improprio nel piano

Per capire come si definiscono le coordinate omogenee di un punto improprio del piano ampliato, consideriamo una retta (propria) del piano di equazioni parametriche

dove sono le coordinate cartesiane di un punto della retta, è il vettore che ne esprime la direzione e è un parametro.

Evidentemente per ogni valore assunto da si ottiene un punto della retta , le cui coordinate sono

Come coordinate omogenee di tali punti si possono considerare le terne

o, equivalentemente per , le terne ad esse proporzionali

In accordo con le equazioni parametriche della retta, facendo tendere i punti si allontano indefinitamente su , nell'uno o nell'altro verso, e la terna di coordinate omogenee tende a

Si conviene allora di attribuire al punto improprio della retta le seguenti coordinate omogenee

Una tale scelta tra l'altro conferma che ogni punto improprio corrisponde a una direzione, e viceversa, infatti ogni retta parallela a ha per definizione parametri direttori proporzionali a e quindi ha lo stesso punto improprio di .

Osservazione (differenza tra coordinate omogenee di un punto proprio o improprio nel piano)

Con l'introduzione delle coordinate omogenee sia i punti propri che i punti impropri si rappresentano mediante terne di numeri reali , ma con una sostanziale differenza:

- nei punti propri la terza coordinata è non nulla;

- nei punti impropri la terza coordinata è nulla, ossia .

Così, ad esempio, sono le coordinate omogenee del punto proprio

mentre sono le coordinate omogenee del punto improprio di una retta del piano la cui direzione è definita dal vettore

Equazione in coordinate omogenee di una retta nel piano ampliato

L'equazione omogenea di una retta del piano è un'equazione lineare omogenea nelle incognite , che si presenta nella forma

con numeri reali non tutti nulli.

In generale, partendo dall'equazione implicita di una retta del piano

per esprimerla in coordinate omogenee poniamo

sostituiamo nell'equazione

e moltiplichiamo ambo i membri per , che abbiamo supposto diverso da zero, ottenendo così

Viceversa, per passare dall'equazione di una retta in coordinate omogenee all'ordinaria equazione in coordinate non omogenee basta dividere termine a termine per

per poi sostituire

Esempi (rette in coordinate omogenee)

è l'equazione in coordinate omogenee della retta

Di contro, l'equazione in coordinate omogenee della retta

è

Equazione della retta impropria

Nella precedente lezione abbiamo definito la retta impropria come quella retta che contiene tutti i punti impropri del piano.

Come abbiamo già osservato, le coordinate omogenee dei punti impropri del piano sono tali da avere la terza coordinata nulla, ossia

Per questa ragione, si assume come equazione della retta impropria

Coordinate omogenee nello spazio

Per descrivere le coordinate omogenee nello spazio ampliato si procede come nel caso del piano.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale  e consideriamo un punto proprio . Definiamo quindi le coordinate omogenee di come una quaterna di numeri reali , con , univocamente determinati a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo e tali che

Coordinate omogenee di un punto improprio nello spazio

Ragionando esattamente come nel caso del piano, per definire le coordinate omogenee di un punto improprio nello spazio si parte dalle equazioni parametriche di una retta

per poi scrivere le coordinate omogenee di un qualsiasi punto di come

Facendo tendere si ottiene la quaterna

che rappresenta le coordinate omogenee del punto improprio della retta .

Esempi sulle coordinate omogenee nello spazio

sono le coordinate omogenee del punto .

è il punto improprio di una retta dello spazio il cui vettore dei coefficienti direttori è

Equazione in coordinate omogenee di un piano

L'equazione omogenea di un piano dello spazio è un'equazione lineare omogenea nelle incognite , del tipo

con numeri reali non tutti nulli.

In generale per esprimere in coordinate omogenee l'equazione cartesiana di un piano

è sufficiente porre

sostituire nell'equazione cartesiana assegnata

e moltiplicare ambo i membri per . Ciò che ne scaturisce è

Viceversa, volendo passare dall'equazione cartesiana di un piano in coordinate omogenee all'ordinaria equazione in coordinate non omogenee, basta dividere l'equazione in coordinate omogenee per

per poi sostituire

Esempi (piani in coordinate omogenee)

è l'equazione in coordinate omogenee del piano

Viceversa, l'equazione in coordinate omogenee del piano

è

Equazioni in coordinate omogenee di una retta nello spazio

Una retta dello spazio ampliato si rappresenta in coordinate omogenee come un sistema lineare formato dalle equazioni in coordinate omogenee di due piani:

In particolare, la retta impropria di un qualsiasi piano  di equazione

si rappresenta mediante il sistema

in cui compare l'equazione del piano improprio

Lo ammettiamo: le coordinate omogenee sono un argomento abbastanza ostico, specie per gli studenti che lo affrontano per la prima volta. Per il momento possiamo dirvi che è del tutto normale e che prenderete maggiore confidenza solo quando inizierete a lavorarci assiduamente.

Per tutto il resto vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi risolti e, come di consueto, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Tags: coordinate omogenee nel piano e nello spazio ampliati - equazioni di rette e piani in coordinate omogenee - equazione della retta impropria - equazione del piano improprio.

Ultima modifica: 09/05/2023