Coordinate omogenee nel piano e nello spazio

Le coordinate cartesiane omogenee, dette più brevemente coordinate omogenee, sono lo strumento usato per descrivere i punti della retta, del piano e dello spazio ampliati.

 

Dopo aver introdotto i concetti di retta, piano e spazio ampliati vediamo come si rappresentano le coordinate dei punti propri e dei punti impropri, e come si scrivono le equazioni delle rette (sia proprie che improprie) nel piano ampliato. Fatto ciò estenderemo il discorso allo spazio tridimensionale, mostreremo come si esprimono le coordinate dei punti (sia propri che impropri) e le equazioni di rette e piani (propri e impropri) dello spazio ampliato.

 

Il nuovo strumento di cui ci serviremo saranno proprio le coordinate omogenee. Come vedremo, esse si definiscono a partire dalle classiche coordinate cartesiane di un punto del piano o dello spazio.

 

Coordinate omogenee nel piano

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale nel piano RC(O,x,y) e consideriamo un punto P(x_P,y_P).

 

Si dicono coordinate cartesiane omogenee del punto P tre numeri reali x_1, x_2, x_3, con x_3 \neq 0, tali che

 

x_P=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ , \ \ \ y_P=\frac{x_2}{x_3}

 

È immediato osservare che le coordinate omogenee determinano univocamente le coordinate cartesiane x_P \mbox{ e } y_P del punto P. Viceversa le coordinate cartesiane (x_P, y_P) individuano le coordinate omogenee di P a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, infatti per ogni \lambda \in \mathbb{R} con \lambda \neq 0 possiamo considerare

 

x_P=\frac{x_1}{x_3}=\frac{\lambda x_1}{\lambda x_3} \ \ \ , \ \ \ y_P=\frac{x_2}{x_3}=\frac{\lambda x_2}{\lambda x_3}

 

 

Esempio sulle coordinate omogenee nel piano

 

Le coordinate omogenee (3,5,1), \ (6,10,2), \ (-3,-5,-1) o, più in generale

 

(3\lambda, \ 5\lambda, \ \lambda) \ \ \mbox{ con } \lambda \in \mathbb{R}-\{0\}

 

rappresentano tutte lo stesso punto P di coordinate cartesiane (non omogenee) P(3,5).

 

Coordinate omogenee di un punto improprio nel piano

 

Per capire come si definiscono le coordinate omogenee di un punto improprio del piano ampliato, consideriamo una retta (propria) r del piano di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt\end{cases}

 

dove (x_0,y_0) sono le coordinate cartesiane di un punto della retta, \mathbf{v}=(l,m) è il vettore che ne esprime la direzione e t \in \mathbb{R} è un parametro.

 

Evidentemente per ogni valore assunto da t si ottiene un punto della retta r, le cui coordinate sono

 

(x_0+lt, \ y_0+mt)

 

Come coordinate omogenee di tali punti si possono considerare le terne

 

(x_0+lt, \ y_0+mt, \ 1)

 

o, equivalentemente per t\ne 0, le terne ad esse proporzionali

 

\left(\frac{x_0}{t}+l, \ \frac{y_0}{t}+m, \ \frac{1}{t}\right)\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}-\{0\}

 

In accordo con le equazioni parametriche della retta, facendo tendere t\to\pm\infty i punti si allontano indefinitamente su r, nell'uno o nell'altro verso, e la terna di coordinate omogenee tende a

 

(l,m,0)

 

Si conviene allora di attribuire al punto improprio P_{\infty} della retta r le seguenti coordinate omogenee

 

P_{\infty} (l,m,0)

 

Una tale scelta tra l'altro conferma che ogni punto improprio corrisponde a una direzione, e viceversa, infatti ogni retta parallela a r ha per definizione parametri direttori proporzionali a (l,m) e quindi ha lo stesso punto improprio di r.

 

 

Osservazione (differenza tra coordinate omogenee di un punto proprio o improprio nel piano)

 

Con l'introduzione delle coordinate omogenee sia i punti propri che i punti impropri si rappresentano mediante terne di numeri reali (x_1, x_2, x_3), ma con una sostanziale differenza:

 

- nei punti propri la terza coordinata x_3 è non nulla;

 

- nei punti impropri la terza coordinata è nulla, ossia x_3=0.

 

Così, ad esempio, (6,8,2) sono le coordinate omogenee del punto proprio

 

\left(\frac{6}{2}, \frac{8}{2}\right)=(3,4)

 

mentre (1,2,0) sono le coordinate omogenee del punto improprio di una retta del piano la cui direzione è definita dal vettore

 

\mathbf{v}=(l,m) = (1,2)

 

Equazione in coordinate omogenee di una retta nel piano ampliato

 

L'equazione omogenea di una retta r del piano è un'equazione lineare omogenea nelle incognite x_1, x_2, x_3, che si presenta nella forma

 

r:\ ax_1+bx_2+cx_3=0

 

con a, b, c numeri reali non tutti nulli.

 

In generale, partendo dall'equazione implicita di una retta del piano

 

r:\ ax+by+c=0 \ (*)

 

per esprimerla in coordinate omogenee poniamo

 

x=\frac{x_1}{x_3}\ \ ,\ \ y=\frac{x_2}{x_3}\ \ \mbox{ con } x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}, \ x_3 \neq 0

 

sostituiamo nell'equazione (*)

 

a\frac{x_1}{x_3}+b\frac{x_2}{x_3}+c=0

 

e moltiplichiamo ambo i membri per x_3, che abbiamo supposto diverso da zero, ottenendo così

 

ax_1+bx_2+cx_3=0

 

Viceversa, per passare dall'equazione di una retta in coordinate omogenee all'ordinaria equazione in coordinate non omogenee basta dividere termine a termine per x_3

 

\\ a\frac{x_1}{x_3}+b\frac{x_2}{x_3}+c\frac{x_3}{x_3}=0 \\ \\ \\ a\frac{x_1}{x_3}+b\frac{x_2}{x_3}+c=0

 

per poi sostituire

 

x=\frac{x_1}{x_3},\ y=\frac{x_2}{x_3}

 

 

Esempi (rette in coordinate omogenee)

 

2x_1+3x_2+x_3=0

 

è l'equazione in coordinate omogenee della retta

 

2x+3y+1=0

 

Di contro, l'equazione in coordinate omogenee della retta

 

4x-5y+7=0

 

è

 

4x_1-5x_2+7x_3=0

 

Equazione della retta impropria

 

Nella precedente lezione abbiamo definito la retta impropria come quella retta che contiene tutti i punti impropri del piano.

 

Come abbiamo già osservato, le coordinate omogenee dei punti impropri del piano sono tali da avere la terza coordinata nulla, ossia

 

P(x_1,x_2,x_3) \mbox{ punto improprio} \iff x_3=0

 

Per questa ragione, si assume come equazione della retta impropria

 

x_3=0

 

Coordinate omogenee nello spazio

 

Per descrivere le coordinate omogenee nello spazio ampliato si procede come nel caso del piano.

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ) e consideriamo un punto proprio P(x_P,y_P,z_P). Definiamo quindi le coordinate omogenee di P come una quaterna di numeri reali x_1, x_2, x_3, x_4, con x_4 \neq 0, univocamente determinati a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo e tali che

 

x_P=\frac{x_1}{x_4} \ \ \ , \ \ \ y_P=\frac{x_2}{x_4} \ \ \ , \ \ \ z_P=\frac{x_3}{x_4}

 

Coordinate omogenee di un punto improprio nello spazio

 

Ragionando esattamente come nel caso del piano, per definire le coordinate omogenee di un punto improprio nello spazio si parte dalle equazioni parametriche di una retta

 

r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases}

 

per poi scrivere le coordinate omogenee di un qualsiasi punto di r come

 

\left(\frac{x_0}{t}+l, \ \frac{y_0}{t}+m, \ \frac{z_0}{t}+n, \ \frac{1}{t}\right)\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}-\{0\}

 

Facendo tendere t\to\pm\infty si ottiene la quaterna

 

(l,m,n,0)

 

che rappresenta le coordinate omogenee del punto improprio P_{\infty} della retta r.

 

P_{\infty}(l,m,n,0)

 

 

Esempi sulle coordinate omogenee nello spazio

 

(-1,2,3,1) sono le coordinate omogenee del punto P(-1,2,3).

 

P_{\infty}(5,-2,1,0) è il punto improprio di una retta dello spazio il cui vettore dei coefficienti direttori è

 

\mathbf{v}=(l,m,n)=(5,-2,1)

 

Equazione in coordinate omogenee di un piano

 

L'equazione omogenea di un piano \alpha dello spazio è un'equazione lineare omogenea nelle incognite x_1, x_2, x_3, x_4, del tipo

 

\alpha:\ ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0

 

con a, b, c, d numeri reali non tutti nulli.

 

In generale per esprimere in coordinate omogenee l'equazione cartesiana di un piano

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

è sufficiente porre

 

x=\frac{x_1}{x_4}, \ y=\frac{x_2}{x_4},\ z=\frac{x_3}{x_4}\ \ \mbox{ con } x_1, x_2, x_3, x_4 \in \mathbb{R}, \ x_4 \neq 0

 

sostituire nell'equazione cartesiana assegnata

 

a\frac{x_1}{x_4}+b\frac{x_2}{x_4}+c\frac{x_3}{x_4}+d=0

 

e moltiplicare ambo i membri per x_4. Ciò che ne scaturisce è

 

ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0

 

Viceversa, volendo passare dall'equazione cartesiana di un piano in coordinate omogenee all'ordinaria equazione in coordinate non omogenee, basta dividere l'equazione in coordinate omogenee per x_4

 

\\ a\frac{x_1}{x_4}+b\frac{x_2}{x_4}+c\frac{x_3}{x_4}+d\frac{x_4}{x_4}=0 \\ \\ \\ a\frac{x_1}{x_4}+b\frac{x_2}{x_4}+c\frac{x_3}{x_4}+d=0

 

per poi sostituire

 

x=\frac{x_1}{x_4},\ y=\frac{x_2}{x_4},\ z=\frac{x_3}{x_4}

 

 

Esempi (piani in coordinate omogenee)

 

x_1+2x_2-4x_3+7x_4=0

 

è l'equazione in coordinate omogenee del piano

 

x+2y-4z+7=0

 

Viceversa, l'equazione in coordinate omogenee del piano

 

2x-3y+z-1=0

 

è

 

2x_1-3x_2+x_3-x_4=0

 

Equazioni in coordinate omogenee di una retta nello spazio

 

Una retta r dello spazio ampliato si rappresenta in coordinate omogenee come un sistema lineare formato dalle equazioni in coordinate omogenee di due piani:

 

r:\ \begin{cases}a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3+d_1x_4=0 \\ a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3+d_2x_4=0\end{cases}

 

In particolare, la retta impropria di un qualsiasi piano \alpha di equazione

 

\alpha:\ ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0

 

si rappresenta mediante il sistema

 

r:\ \begin{cases}ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0 \\ x_4=0\end{cases}

 

in cui compare l'equazione del piano improprio

 

x_4=0

 

 


 

Lo ammettiamo: le coordinate omogenee sono un argomento abbastanza ostico, specie per gli studenti che lo affrontano per la prima volta. Per il momento possiamo dirvi che è del tutto normale e che prenderete maggiore confidenza solo quando inizierete a lavorarci assiduamente.

 

Per tutto il resto vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi risolti e, come di consueto, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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