Distanza di una retta da un piano

La distanza di una retta da un piano è nulla se la retta giace sul piano o se interseca il piano in uno e un solo punto, mentre è diversa da zero se retta e piano sono paralleli e distinti. In quest'ultimo caso la distanza retta-piano uguaglia il valore della distanza di un qualsiasi punto della retta dal piano.

 

Con questa lezione, dedicata al calcolo della distanza retta-piano, concludiamo la parte del corso sulle distanze reciproche tra punti, rette e piani nello spazio. Seguendo lo stesso modus operandi delle precedenti spiegazioni, forniremo dapprima il metodo per determinare la distanza di una retta da un piano, per poi applicarlo in un paio di esempi svolti.

 

Prima di procedere vi consigliamo di leggere le lezioni sulle posizioni reciproche tra retta e piano e sulla distanza punto-piano, che torneranno utili per comprendere a fondo quanto diremo. ;)

 

Come calcolare la distanza tra una retta e un piano

 

Nello spazio tridimensionale, in cui è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}), supponiamo di disporre dell'equazione cartesiana di un piano

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

e delle equazioni cartesiane di una retta

 

r:\ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

Per calcolare la distanza d(r,\alpha) della retta r dal piano \alpha dobbiamo innanzitutto stabilire qual è la posizione reciproca tra r e \alpha, studiando la compatibilità del sistema lineare formato dalle loro equazioni

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

I casi che si possono presentare sono i seguenti.

 

 

Caso 1 - La retta giace sul piano (retta parallela interna al piano)

 

Se il sistema ammette \infty^1 soluzioni allora la retta giace sul piano, quindi la loro distanza è nulla

 

r \in \alpha \Rightarrow\ d(r,\alpha) = 0

 

 

Caso 2 - Retta e piano incidenti

 

Se il sistema ammette un'unica soluzione, la retta e il piano si intersecano in uno e un solo punto P. Anche in questo caso la distanza retta-piano è nulla

 

r \cap \alpha = \{P\} \Rightarrow\ d(r,\alpha) = 0

 

 

Caso 3 - Retta e piano paralleli distinti (retta parallela esterna al piano)

 

Se il sistema è impossibile, cioè se non ammette soluzioni, la retta e il piano sono paralleli e distinti, e la distanza della retta r dal piano \alpha è uguale alla distanza di un qualsiasi punto P(x_p,y_p,z_P) della retta dal piano \alpha

 

r // \alpha \Rightarrow\ d(r,\alpha) = d(P,\alpha)\ \ \mbox{ con } P \in r

 

In caso di dubbi, vi ricordiamo che la distanza di un punto P(x_P,y_P,z_P) da un piano

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

si calcola con la formula

 

d(P,\alpha) = \frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

 

 

Osservazione (distanza di una retta da un piano in forma parametrica)

 

Nel caso di un piano in forma parametrica conviene sempre passare alla forma cartesiana. Se non ricordate come fare, è spiegato qui: come passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano.

 

Se invece sono note le equazioni parametriche della retta, potete scegliere di passare dalla forma parametrica a quella cartesiana e procedere come spiegato in precedenza, oppure determinare la posizione reciproca tra retta e piano con lo studio dei coefficienti direttori di piano e retta.

 

Esempi sul calcolo della distanza di una retta da un piano

 

Esempio 1

 

Determinare il valore della distanza della retta

 

r:\ \begin{cases}x+8y-2z-4=0 \\ 4y+z-2=0\end{cases}

 

dal piano

 

\alpha:\ 3x-2y+4z+1=0

 

Svolgimento: iniziamo col determinare la posizione reciproca tra retta e piano studiando la compatibilità del sistema formato dalle loro equazioni

 

\begin{cases}3x-2y+4z+1=0 \\ x+8y-2z-4=0 \\ 4y+z-2=0\end{cases}

 

La matrice dei coefficienti associata al sistema

 

A=\begin{pmatrix}3&-2&4 \\ 1&8&-2 \\ 0&4&1\end{pmatrix}

 

ha determinante non nullo, e quindi il suo rango è 3; tale sarà, allora, anche il rango della matrice completa

 

(A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}3&-2&4&|&-1 \\ 1&8&-2&|&4 \\ 0&4&1&|&2\end{pmatrix}

 

Il numero delle incognite del sistema è 3, ed essendo

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

 

per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile e ammette un'unica soluzione, dunque retta e piano sono incidenti e la loro distanza è nulla.

 

 

Esempio 2

 

Calcolare la distanza tra il piano

 

\alpha:\ y+z-1=0

 

e la retta

 

r:\ \begin{cases}x=2t \\ y=2+t \\ z=2-t\end{cases}

 

Svolgimento: disponendo delle equazioni parametriche della retta r è immediato risalire alle componenti del vettore direzione, che sono nell'ordine i coefficienti dei termini parametrici

 

\mathbf{v}_r=(2,1,-1)

 

e determinare le coordinate cartesiane di un punto della retta. A tal proposito è sufficiente assegnare un qualsiasi valore al parametro t; ponendo ad esempio t=0 si ricava il punto

 

P(0,2,2) \in r

 

Il vettore dei coefficienti direttori del piano \alpha è

 

\mathbf{n}_{\alpha}=(0,1,1)

 

Per stabilire la posizione tra retta e piano calcoliamo il prodotto scalare canonico tra \mathbf{v}_r \mbox{ e } \mathbf{n}_{\alpha}:

 

- se \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_{\alpha} \neq 0, retta e piano sono incidenti;

 

- se \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_{\alpha} = 0, \mbox{ e } P \in \alpha, il piano contiene la retta;

 

- se \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_{\alpha} = 0, \mbox{ e } P \notin \alpha, retta e piano sono paralleli.

 

Nel caso in esame

 

\\ \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_{\alpha} = \\ \\ = (2,1,-1) \cdot (0,1,1) = \\ \\ = 0+1-1 = 0

 

Inoltre, le coordinate di P(0,2,2) non soddisfano l'equazione del piano, per cui la retta r è parallela esterna al piano \alpha.

 

Se questo metodo non vi aggrada, nulla vieta passare dalle equazioni parametriche alle cartesiane della retta e verificare che il sistema formato dalle equazioni di retta e piano è impossibile.

 

Quale che sia il metodo scelto, essendo r // \alpha , la distanza retta-piano è uguale alla distanza di un qualunque punto di r da \alpha.

 

Avendo già trovato le coordinate di un punto della retta, P(0,2,2) \in r, possiamo calcolare la distanza punto-piano con la formula

 

\\ d(P,\alpha) = \frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|0+(1)(2)+(1)(2)-1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|2+2-1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}

 

In definitiva

 

d(r, \alpha) = d(P,\alpha) = \frac{3}{\sqrt{2}}

 

 


 

Come avrete notato, il calcolo della distanza piano-retta è davvero semplice, ma vi consigliamo di fare quanti più esercizi possibile per prendere confidenza con i calcoli. A tal proposito, ne potete trovare quanti ne volete usando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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